다까수 두 번째 시간 오신 모두들 환영하구요. 수학을 저희가 배울 때 있어 가지고 어떤 갖고 있는 여러 선입견들을 좀 해소해 나가는 것도 필요한데요. 그중에서 특히 이제 입시의 영향을 받아서 갖게 된 선입견 중에 가장 대표적인 게 문제가 나오면 풀 수 있어야 된다는 겁니다. 그래서 풀면 나는 잘하는 거고, 못 풀면 내가 좀 멍청한 거고 그냥 누군가는 풀 테니까라는 정서를 저희가 갖는데요. 인간의 입장에서요 대부분의 문제는 못 풀어요. 정확하게는 한 99.99 %의 수학 문제는 인간이 못 큽니다. 인간이 푸는 건 아주 그중에서 극소수의 희소한 아주 여러 가지 이유가 있어서 어떤 운 좋게 풀리는 경우들이 대부분이거든요.
그래서 저희가 문제를 단순히 어떤 이제 이런 식으로 누군가가 이미 풀어놓은 거를 익히고 그거를 그냥 익숙하게 하는 게 수학 공부가 아니고 문제에 대해서 본인의 관점을 갖고 해보는 것 자체가 중요해요. 하지만 해본다고 해서 풀린다는 뜻은 아니에요. 그래서 첫 번째로는 해본다 그 자체입니다. 근데 해보는 것 자체가 내 관점에서 되어야 되는 것이고 그게 풀려야 되는 당위를 주는 것은 아닙니다. 하지만 풀리면 대박인 거죠. 그게 첫 번째 정서고요. 두 번째 정서는요 풀렸다고 가정하겠습니다. 그러면 풀렸기 때문에 땡이 아니에요. 반대급부에서 왜 풀렸지? 그리고 이게 어떤 함의를 갖는가에 대해서 역시나 생각을 해 봐야 됩니다. 그냥 이 문제가 풀렸기 때문에 그냥 됐다가 아니구요.
그래서 저희는 이 미분계수를 포함하고 있는 방정식들을 풀어나가는 과정에서 저희가 이 수학적인 체계들이 어떻게 그런 식으로 구성될 수밖에 없는지를 좀 약간 저희들의 관점을 유추하고자 하는 방식으로 어떤 이제 특히나 미적분학과 선형대수학이 왜 자연스럽게 등장할 수밖에 없는지들을 좀 보도록 이제 닦아주는 얘기를 좀 하고자 하는데 일단은 오늘은 예를 좀 설명을 좀 해볼까 해요. 그 y' = y라는 이때 수식을 푸는 거 그리고 답은 아마 많은 분들이 이미 알고 계시는 것처럼 exponential function e^x* constant 이게 답이기는 해요. c는 임의 상수. 근데 저희가 요거를 푸는 어떤 방법을 보통 미분 방정식 1주차에 가르치는데 이거를 보통 뭐라고 부르는지 아시나요? 이거 푸는 미분 방정식 1주차 방식 이거를 뭐라고 부르냐면요 separable method라고 부르거든요. 용어가 그렇게 중요하지는 않습니다.
자 혹시나 질문 이거 누가 처음 생각했는지 아시나요? 이 방법은요, 이름을 들어보실 수 있는데, 푸리에라는 사람이 만들었어요. 18세기에요. 정확하게는 조셉 푸리에. 그래서 이 사람이 나폴레옹 재정에서 관료하면서 했던 거구요. 그리고 일단은 요거를 보여드리고 혹시나 여러분들이라면 요 방법을 가지고 어떤 생각을 하실지를 좀 돌아보시라는 의미에서 함의들에 대해 좀 설명을 좀 해드릴게요. 그래서 어떻게 일단은 생각을 하냐면 일단은 저희가 들고 있는 equation으로부터 출발을 해요. 그래서 y' = y에서 이거를 조금 더 일반화해 가지고 제가 요거를 k * y 정도로 놓고 작업을 할게요. k는 이미 상수예요. 그냥 쪼끔 일반화할 생각한 겁니다.
그냥 y' = y는 많이 너무 그냥 간단한 거 같애서 그냥 요 정도로 출발을 하도록 하죠. 자 그러면 자 질문하는 건데요. 어쩔 것이냐? 제가 아는 게 없으니까. y'을 제가 dy / dx 형태를 고쳐서 쓸게요. 할 말 없죠 그냥 아는 게 이거니까 그냥 하겠다는 겁니다. 괜찮나요? 그다음에 어떤 식으로 생각을 하냐면 여기다가 양변에다가 dx를 곱할게요. 양변에다 dx를 곱할게요. 그러면 어떻게 형식을 쓸 수가 있냐면 요렇게 형식을 쓸 수가 있는데, 사실은 요렇게 곱하는 과정은 굉장히 비자명해요. 왜냐하면, 저희는 y'이라고 하는 거를 dy /dx라고 할 때 이거는 기호죠 뭐에 대한 기호냐면 미분계수 와이라는 미분계수에 대한 기호 자체예요. 이거 자체가 그쵸.
근데 여기서 이거 각각을 따로 취급해서 이렇게 쓰겠다라는 것 자체가 사실은 질문해야 되는 포인트 중에 하나거든요. 그래서 보통 대학교 미적분학에서 이거를 보통 치환적분이라고 할 때 이런 테크닉을 많이 써요 그런데 제가 보통 굉장히 칭찬해 주는 질문은 어떤 거냐면 왜 이게 말이 되냐 왜냐하면, 기호로는 그렇게 할 수가 있다라고 보여지더라도 어느 정도는 자연스럽게 저희는 이것 자체를 정의한 것이지, 이것들을 따로 정했다는 말이 아니거든요. 근데 이건 굉장히 빈번하게 쓰이는 기술이에요. 그래서 1학년 학생들이 이거 계산에 대해서 그냥 되는 거에서 되니까. 그거 말고 왜 이렇게 하는 게 타당하냐라고 하면, 전 보통 칭찬을 해줘요 맞는 말이다. 그리고 뭐라고 답을 해주냐면 요거를 보통 뭐라고 부르냐면요 요거를 미분 형식이라고 불러요 영어론 이거를 differential form이라고 부르거든요.
이거는 각각의 잘 정의가 되어 있는 어떤 이제 대상들이에요. 그러면 근데 이거를 왜 어떤 얼버무리고 넘어가냐 정확하게 규정을 안 해주고 이거를 알려면 아무리 적게 잡아도 대학교 수학 전문 기준으로 아무리 빨라도 4학년 때 가야지 이게 무슨 말인지 이해할 수가 있어요. dx랑 dy의 정의를 정확하게 이해하는 겁니다. 그래서 설명을 안 합니다. 그러니까 공대 쪽에선 아예 정 아예 정의를 안 배우는 것 같구요. 그래서 요거를 공부하는 거는 기대수 영상 기준으로는 한 90번대 80번에서 100번 사이에서 언급이 되고 있습니다. 그쵸. 이제 그래서 언급을 안 합니다. 근데 이렇게 하는 거는 사실은 가능은 해요. 아시겠죠. 그래서 요 부분은 너무 자세히 건드리고 가지는 않겠지만, 계속 저희 계산에서 등장은 할 거예요. 질문있으면 좀 해주셔도 됩니다. 이렇게 한 다음에 여기서 저희가 형태를 좀 어떤 식으로 변환해 볼 생각을 하는 거냐면 이걸 저희가 어쨌든 목적은 뭐예요? 이 방정식을 만족하는 y를 찾아내는 거예요. 맞나요? 이 목적이에요.
수단과 방법을 가리지 말고. 근데 저희가 아는 거라고는 기껏해야 아주 초등적으로 미분 어떻게 하는지랑 아주 초등적으로 적분 어떻게 하는지가 고작이라구요. 그니까 그거를 어떻게 해서든지 간에 쓰고 싶어요. 그러면 여기선 할 수 있는 게 별로 없는 것 같으니까. 어떤 식으로 생각하냐면 이게 문자가 일단 두 개인 게 불편해요. 기본적으로 그래서 저는 문자가 하나만 있으면 좋겠어요. 이건 어떤 욕망에 대한 정서입니다. 그러니까 두 개 어떻게 할지 잘 모르겠으니까. 한 개로 바꿔보죠. 그러면 그럼 어떻게 하면 되냐면 Ektl 형태를 바꿔 가지고 제가 양변을 y로 나눌게요 그러면 어떻게 될 거냐면 요렇게 될 거예요. 괜찮나요? 자 이렇게 되면 저희는 일단은 방정식을 들고 있는데, 각 변들은 각 변들은 변수를 한 개만 들고 있어요. 그쵸. 그리고 두 개가 같아야 돼요. 각 변들은 하나는 x에만 의존되고 다른 하나는 y에만 의존되니까. 변수가 사실은 거진 한 개예요. 맞죠.
각각만 본다면 그리고 그거 두 개가 현실 같아야 돼요. 그러면 이거는 좀 써먹을 만할 것 같애 그리고 우리 목적은 무엇입니까? 지금 전부 다 똑같은 수식을 바꾼 거에 지나잖아요. 동의가 되세요. 그냥 같은 수식이 돼요. 전부 다 그러니까 우리는 이거를 만족하는 y를 찾아주시면 되고 여기서 좀 더 적합한 정서로는 우리는 뭐를 할려는 게 목적이냐면 y를 찾는 게 목적인데 이 y는 뭐예요? x에 대한 함수예요. 이해하시나요? 그래서 지금 y는 input을 x로 받아주는 함수이고 저희가 기본적으로 미분 가능한 함수를 생각하고 있는 거예요. 동의가 되세요. 그래서 제가 이거를 그냥 f라는 새로운 기호로 도입 안하고 그냥 y(x) 이 정도로 기호를 적을게요 그러니까 이건 무슨 의미냐면 x라는 인풋을 받아 가지고 y가 되는 함수라는 뜻입니다. 그리고 미분 가능한 함수여야지만 제가 미분을 할 수가 있겠죠. 그러한 y를 우리는 찾는 게 목적이에요. 그리고 그런 y를 찾는다는 거는 이걸 풀 수 있으면 됩니다. 여기까지 이해가 되세요. 자 그러면 여러분들은 여기서 어떻게 하시겠어요.
목적은 y를 수단과 방법을 가지고 찾아내면 됩니다. 자 그리고 지금 이 시점에서는 이거 두 개는 같으니까. 이 각각을 핸들할 수 있으면 되는데 어떻게 하면 되나요? 저희는 y를 찾는 게 목적입니다.
지금 할 수 있는 거는 위에서 쪽 그 식의 notation을 좌우로 옮겨왔던 것처럼 곱셈과 나눗셈을 이용해서 지금 저희가 알고 싶은 건 y를 f(x)라는 함수로 대응시키고 그게 연속적인 f(x)로 만들고 싶은 거니까 그 그 dy를 그러니까 이거 어떻게 해야 되죠. 아예 말이 좀 꼬였는데 dx dy 잠시만요 제가 생각하다가 좀 꼬여
네 좋습니다. 네 좋습니다. 저는 여기서부터 출발하고 싶거든요. 그래서 여기서부터 이 식을 다뤄내고 싶어요. 어떻게 해서든지 간에 우리가 아는 방식을 가지고 괜찮죠. 이제 어떻게가 질문입니다. 자 이런 어떻게들은 약간의 감에 의존하는 거예요. 어떻게든 해보려고 애쓰는 몸부림에 가까운 정서예요. 그래서 이 식을 단순화하는 방법이 뭐가 있을까요? 지금 여기서 이미 주어져 있는 건 뭐냐면 각각은 뭐 어떤 것이다. 한 변수에만 각각 의존되고 있다는 겁니다. 동의가 되시죠. 그래서 한 변수에만 의존된다고 해서 이거를 분리형 방법이라고 부르는 거예요. 변수를 어떻게 한 거냐면 분리한 거예요. 자 한 발자국 더 가보자고요. 어떻게 하시겠어요 여러분들이라면. 답을 듣고 싶은 겁니다. 시도들 생각들을 듣고 싶은 겁니다. 이거 어떤 분리형 미분 방정식 푸는 방법을 이렇게 해서라 레시피 나중에 정확하게 할 거지만 난 레시피 외우는 건 별로 의미가 없어요. 그냥 여러분들이 어떻게 할지에 대해 생각해 보는 게 훨씬 더 중요한 부분이죠.
어떻게 하시겠습니까? 틀려도 됩니다.
되게 단순하게 생각했는데 y를 구해야 된다고 생각하고 그냥 d분의 y를 양변에 곱하면 되지 않을까요?
지금 저희는 변수를 분리했다라는 거를 장점으로 써먹고 싶습니다. 두 개가 꼬여 있으면 이걸 어떻게 핸들 할지가 좀 애매하니까 지금 두 개를 따로 분리를 해버렸어요 기본적으로. 그리고 그거를 계속 활용하고 싶습니다. 그래서 기본적으로 두 변수가 꼬이도록은 다시 안 만들고 싶습니다. 좋습니다. 또 다른 생각 더 있을까요? 힌트는 미적분학입니다.
적분하면 되지 않을까요?
네 정답입니다. 적분할 생각을 합니다. 괜찮나요? 적분해보죠. 왜 적분해도 돼요. 양쪽이 같기 때문입니다. 그래서 여기다가 이제는 더 이상 쌍화살표가 아닙니다. 적분하는 순간 같으리라는 보장은 없어요. 그래서 양변에다가 적분 기호를 똑같이 보시겠습니다. 말이 되나요? 말이 돼요. 그럼 각각이 적분 붙여봤자 원래 똑같은 거였으니까. 적분 기호를 붙이더라도 똑같아 하면 안 된다. 하지만 반대는 일반적으로 아니에요. 왜냐하면, 상수가 만큼 차이가 있을 수 있기 때문입니다. 괜찮나요? 하지만 얘는 돼야 돼요. 만약에 우리가 얘를 만족하는 y를 찾으려면 적어도 얘는 필요조건입니다. 반드시 되어야 돼요. 그래서 이거를 생각을 하면 이게 왜 자연스럽냐 우린 각각은 어떻게 푸는지 알거든요. 그리고 그거가 지금 이퀄이어야 되잖아요. 그니까 뭔가 할 수 있는 게 생기게 되죠. 이해가 되세요. 자 그러면 이제 여기서부터 저희가 미적분학을 알 필요가 생기게 되죠. 이런 식으로 리뷰드를 하나씩 하게 되는데요.
첫 번째 저희가 상수를 적분하게 되면 이거 결과가 뭡니까? 상수 적분하게 되면 그럼 이거는 x에 대한 영차로 따로 바라보고 이거를 k * x가 되게 한다가 미분하는 방식입니다. 그리고 정확하게는 여기다가 상수를 달아줘야 됩니다. 제가 이 상수를 일부러 숫자 그 숫자를 붙일게요 자 이런 계산들은 하실 줄 아셔야 됩니다. 아시겠죠. 그래서 지금 저희가 이 예시들을 보는 것들은 한번 보여드린 것들은 설명을 해드릴 것은 그다음부터는 제가 편하게 쓸 거예요. 지난번처럼 근의 공식 더 이상 내용식 유도하지 않을 겁니다. 이해가셨죠. 그래서 이렇게 계산하면 끝이구요. 괜찮죠 그리고 일반적으로 이렇게 계산되는 거의 이면에는 저희가 x^n이런 형태로 주어져 있으면 얘는 어떤 식으로 계산이 되냐면 이렇게 계산이 되어지죠 만약에 n이 -1이 아니라면 아시겠나요? 이렇게 계산이 됩니다. 이거는 말 그대로 미분과 적분의 역연산 관계로부터 나옵니다.
그래서 저희가 이거를 미분하면 이거를 미분하면 x^n이 나오고 그래서 그거를 반대로 되돌리는 것으로 적분을 정의를 할 때 얘가 나오고 하지만 상수만큼의 차이도가 있습니다. 그래서 이걸 소위 말해서 부정적분 혹은 antiderivative라고 부르죠 괜찮나요? 그니까 요구하는 겁니다. 이것들은 유도하지 않을 겁니다. 이것들을 유도하는 것들은 입시 수준에서 굉장히 많아서 뭔가 구글링을 해보시든 네이버 블로그를 찾아보시면, 많아요. 그래서 그게 궁금하시면 해보시면, 찾아보시면, 되구요. 근데 그것들은 그렇게 제 개인에게는 중요하진 않아요. 이것들은 그냥 어떻게 보면 받아들이고 하는 거가 훨씬 더 자연스럽습니다. 자 그리고 저희가 만약에 이거를 x^-1을 도입할 때 이렇게 도입하면 그러면 이 경우에는 얘가 뭐가 되냐면요 자연 로그라고 부르는 natural log라고 부르는 게 등장합니다. 그래서 ln이라고 보통 기호를 적고요. 그리고 마찬가지로 constant c는 붙어야 돼요. 이렇게 붙습니다. 괜찮나요?
이것도 마찬가지로 저희가 자연 로그를 미분하면 x분의 1이 된다는 거를 팩트로 해 가지고 x 분의 1을 적분하면 얘가 되는 걸로 되돌립니다. 이 형식은 자연과학 쪽을 공부할 때 굉장히 중요한 수식입니다. 왜 중요한 수식이냐면 그 저희가 자연 로그를 그래프로 그려보게 되면 이렇게 생기거든요. 그래서 얘가 x가 양수에서만 정의가 되는데 x가 0으로 갈 때 마이너스 무한대로 수렴을 해요. 마이너스 무한대로 수렴을 하고 그리고 x 분의 1의 형태는 기본적으로 요렇게 생겨있어요. 이렇게 그림이 그려져요 그래서 얘는 x가 0으로 갈 때 기본적으로 불연속이고 어느 쪽에서 가느냐에 의존되어지고 와중에 각각이 다 플러스 마이너스 무한대로 가요. 그래서 이게 보통 자연과학쪽에서 문제들을 모델링을 할 때 문제가 생긴다라고 하는 걸 보통 singularity가 발생한다 이런 식으로 표현하거든요.
이 singularity를 표현하는 가장 대표적인 함수 두 가지가 하나는 잘 ln x고 나머지 하나가 x 분의 1이에요. 이를 조금 형태를 변형하는 거예요. 그래서 이 형태들이 등장하면 보통 이제 수학에서는 어떤 도망가고 싶은 경우 중의 하나예요. 굉장히 핸들하기 어려워집니다. 이 지금 문제가 되는 점을 어떻게 핸들할지가 굉장히 골치 아픈 문제점을 만들어낸 그런 대표적인 함수들이 되겠습니다. 자 그래서 다시 여기 얘기로 돌아가도록 하죠. 그럼 저희가 얘는 n을 0으로 바라보고 괜찮죠 n은 꼭 자연수를 지칭하는 건 아닙니다. 엔은 정수로 바라봐도 돼요. 사실은 실수여도 사실 상관없습니다. 그러면 얘는 저희가 이제 알구요. 우변 끝 얘가 우변이에요. 자 그리고 좌변은 이거잖아요. 자 그런데 사실은 제가 여기서 쪼끔 거짓말한 게 있어요. 자 그래서 제가 이거를 이렇게 쓰고 여기다가 역시 constant c를 구한다고 했습니다. 근데 제가 여기서 이미 틀린 게 있습니다. 솔직히 말씀드리면, 혹시 발견할 수 있으면 좋습니다. 제가 말씀을 드릴 거예요. 여기까지 제가 지금 한 것이 틀린 거 틀렸습니다.
만약에 이렇게 제가 대학교에서 학생들을 가르칠 때 이렇게 쓰면 긋고 넘어갈 겁니다. 적어도 점수를 깐다 깐단 뜻이에요. 정확하지 않으니까. 자 그러면 저희가 여기서 출발했다고 할게요 그럼 여기는 지금 이것들은 각각 임의의 constant니까 제가 이것도 제가 이것도 숫자를 색깔을 해 놓을게요 그리고 임의 상수인데 얘랑 구분하는 의미에서 c랑 얘는 c 틸다라고 이렇게 쓰도록 할게요 네 dx라고 적으셨는데 dy라고 적으셨습니다. 맞습니다. 이거 맞습니다. 네 감사합니다. 근데 이거 말고 한 가지 틀린 점이 있습니다. 자 그래서 저희가 스타로 다시 돌아가면 스타는 그럼 어떻게 이적해 무슨 얘기냐면 ln y + c 틸다 얘가 kx + c 꼴로 표현되어지고 여기서 c랑 c 틸다는 임의의 상수 요렇게 풀린다는 뜻이요. 맞죠.
자 그런데 여기서 c랑 c 틸다는 임의의 상수이므로 제가 이거를 한쪽에만 몰아서 붙여도 되죠. 왜냐하면, 이건 아무렇게나 고를 수 있는 거니까 그래서 이 식은 그냥 제가 사실 어떻게 바꿀 수 있는 식이냐면 ln y는 kx + c가 되고 여기서 c는 임의의 상수라고 해주면 될 겁니다. 자 혹시 제가 여기까지 쓴 거에서 뭐 틀렸는지 아시겠어요. 자 여기서부터 보시면, 됩니다. 여기서부터 보시면, 돼요. 그래서 여기서 적분 했어요. 여기까지는 OK입니다. 그리고 각각 그냥 적분 계산하겠다는 게 이거잖아요. 계산이 맞으면 되거든요. 이 계산 맞나요? 네 정답입니다. y의 범위가 문제가 됩니다. 지금 이거 계산을 다시 보시면, 얘가 지금 되려면 전제가 걸리죠 어떤 전제가 걸리냐면 natural log가, ln이 정의가 되어야 됩니다. 그런데 이 그림은 언제나 이렇게 생깁니다. 즉 x가 양수여야만 정의가 된다.
이해가 되시나요? 그래서 지금 여기서 굉장히 중요한 대전제는 어떤 대전제 가운데 되어지는 거냐면 x가 양수여야 됩니다. 아시겠죠. 실제로 풀 때는요. 그러면 지금 저희가 거기서 문제가 되는 건 어디냐면 여기예요. 여기 왜냐하면, 저희가 이거를 풀 때 맨 처음 시작할 때 y가 양수라는 보장이 있습니다. 그런 거 없습니다. 맞죠. 그러니까 저희가 그렇게 걸고 할 수 없어요. 그러므로, 이렇게 넘어가는 게 문제가 됩니다. 이해가 되셨나요? 이렇게 못 넘어가요 그러면 이거 어떻게 하면 되죠. 두 번째 질문입니다. 이거 어떻게 하면 돼요. 그러면 ln y라고는 할 수 없죠 근데 만약에 y가 양수였으면 문제가 없고요. 맞죠. y가 양수였으면 아무 문제 없는데 y가 양수란 보장이 없잖아요. 그러니까 어떻게 해주면 돼요. 저희가 소위
절댓값을 취해주면 되지 않습니까?
예 자 근데 끝까지 생각해 보시기 바랍니다. 절댓값을 취하는 게 굉장히 쓸 만한 대안이에요. 네 왜냐하면, 절댓값을 취한다는 게 무슨 얘기야 음수는 무조건 양수로 바꾸겠다는 거죠.
네
그러면 될 것도 같아요. 자 혹시 이 생각에 네 말씀하시죠.
x나 y가 0인 축에서는 함수가 정의가 되지 않으니까. 그 부분을 빼고 양쪽을 나눠서 적분을 해야 맞는 수식이 계산이 되는 게 아닌가요?
지금 포인트가 나와야 되는 얘기였던 겁니다. 지금 보십시오. 저희는 y에 대해서 아는 바가 있습니까? 없습니다. 아는 바가 없습니다. 그렇죠. 그러면 이렇게 할려면 저희가 지금 이 방법론을 가지고 풀어주려면 얘를 핸들을 해줘야 되는 과정에서 자연 로그가 자연스럽게 등장을 하고 있죠. 근데 여기서 문제가 되는 포인트는 얘는 양수여지만 정의가 되요. 그러면 이거 만약에 y의 범위가 음수면 어쩔 건데 하면 마이너스를 그냥 다시 마이너스 sign을 붙여주면 되니까. 자연로 여기다가 절댓값을 붙여주면 되겠네라는 점 굉장히 자연스러운 생각이에요. 근데 그래도 해결이 완전히 되지 않죠 왜냐하면, y가 뭐일 가능성은 여전히 배제하지 못하니까 0일 가능성은 배제하지 못하거든요. 그래서 이 방법도 지금 제약이 있는 겁니다. 그러니까 여기서 이렇게 할려면 일단은 y가 0이 아니라고 하자라는 정서를 갖고 있는 거예요. 그렇게 지금 생각을 한 가운데 다시 한번 보겠습니다. 자 그러면 y가 0인 거 문제가 되나요? 안 되나요? 이거를 이렇게 하려면 문제가 됩니다. 맞나요? y가 0인 건 문제가 됩니다.
그러면 일단은 제가 이 부분을 그대로 두고 어떻게 해결할지 생각해내셔야 됩니다. y가 0일 수도 0이 아니라는 보장 없잖아요. 동의가 되세요. 그러면 제가 이렇게 해서 푼다라는 거는 문제점을 여전히 고스란히 들고 푼다는 뜻입니다. 아시겠죠. 그리고 제가 일부러 아직 해소를 안 해드리고 생각하시게끔 만들고 싶어요. 하실 수 있는 겁니다. 스스로가 자 그래서 일단 요렇게 놓겠습니다. 그러면 이렇게 놓으면 지금 얘도 제가 이렇게 절댓값을 달아줘야 됩니다. 괜찮죠 하지만 이 풀이는 문제점이 분명히 존재한다는 걸 저희가 봤습니다. y가 0인 걸 핸들하지 못합니다. 여기까지 이해 가셨어요. 제가 일부러 어떤 식으로 설명을 해드리는 거냐면 그냥 이렇게 하면 완벽하게 풀린다가 아니라 원래 다 이런 식으로 만들어내는 거거든요. 해보면 안 돼요. 그래서 그것들을 안 되는 걸 어떻게 보완할지의 관점에서 어떤 것들이 나오는 거라고요. 그래서 일부러 설명을 그렇게 합니다.
어떻게 푸는지 제가 정확히 몰라서가 아니라. 자 그러면 이제 여기서 저희가 배워야 되는 또 중요한 게 있어요. 이 저희 목적은 뭐예요? 방정식을 만족하는 y를 찾아내는 겁니다. 그게 목적이에요. 근데 지금 거의 다 왔어요. 거의 다 왔어요. 하지만 저희는 끝이 뭘로 끝나야 되냐면 y = something으로 끝나야 돼요. 그래야 끝입니다. 맞죠. 그래서 그걸 하기 위해서 저희가 얘를 다뤄놔야 되는데 이 시점에 이 시점에서 저희가 뭐를 알고 있냐면 지수함수와 역함 로그함수의 관계 지금 이거 하나 푸는 과정에서 굉장히 알아야 되는 게 맞죠. 지수 함수와 로그 함수는 서로 무슨 관계가 있습니까? 역함수 관계입니다. 역함수 관계에 있습니다. 그래서 저희가 뭘 알고 있냐면 지수함수로 y = e^x를 생각하면 이거의 역함수에 대항하는 게 로그 함수인 것 뿐만 아니라 저희가 이거를 어떻게도 쓸 수가 있냐면 x는 ln y 이게 사실은 로그의 정의이기도 합니다.
괜찮으신가요? 그래서 저희가 이 관계를 받아들일 겁니다. 아시겠죠. 알아야 되는 게 실제로 굉장히 많구요. 그게 이게 역함수 관계 있다라는 사실을 이용해 주면 실제로 어떻게 생각하는 거냐면 저는 마음속으로 생각하는 방식은 만약에 수식이 이렇게 생겼어요. 저는 이거 내부가 y x든 뭐든 아예 신경 쓰지 않구요. 이에 어떤 삼각형이 네모 형식이면 아시겠죠. 저희는 네모 세모를 다루고 싶어요. 그러면 이거 어떻게 바꿔주면 되냐면 세모에서 저희가 식을 출발시키고 싶으면 여기다 뭐만 달아주면 돼요. 네모에다가 ln만 달아주면 돼요. 자 반대 만약에 수식이 이렇게 적혀 있으면 네모는 그러니까 뭐인 거예요. e의 세모인 거예요. 이게 지수 함수랑 로그 함수의 역함수 관계를 활용한다는 뜻입니다. 괜찮나요? 자 그리고 저는 여기서 ln을 벗겨버리고 싶어요. 왜냐하면, 수식의 정리를 y로 끝내야 되니까. 괜찮아 괜찮으시죠. 자 그러면 지금 이 식은 다시 풀어주면 하지만 제가 절댓값을 계속 달고 있어야 됩니다.
이거는 절댓값은 ln 안쪽에 있는 거니까 얘는 얘가 그러니까 이거 전체가 저한테는 네모에 해당합니다. 이해 갔어요. 이거 전체가 네모고 이거 전체가 세모입니다. 이해했어요. 이거 전체가 세모입니다. 그러니까 저는 이걸 어떻게 써야 되냐면 e의 세모 그러니까 e의 kx + c를 써야 됩니다. 요렇게 이해했어요. 이거 다 손으로 하실 줄 아셔야 됩니다. 제가 처음이라 설명해 드리면, 나중에 숙달 한 번 이제 설명해 드리면, 나중에 그냥 할 겁니다. 아시겠죠. 그러니까 정확하게 뭐가 필요한지를 말씀을 드리는 거예요. 자 그다음에 저희가 뭐를 필요로 하냐면 이거 하는 과정에서 이거 지금 어떻게 보면 굉장히 심플한 문제인데 굉장히 많은 것들을 자연스럽게 요구하고 있죠. 그쵸. 자 그다음에 알아야 되는 게 지수법칙이에요. 지수법칙이라고 하는 것은 저희가 어떤 1이 아닌 일이 아닌 양수에 대해서 a의 x + y를 a의 x와 a의 y로 분해해서 쓸 수 있다라는 법칙입니다.
이것도 할 얘기는 사실 굉장히 많지만 저희는 계산 레벨에선 받아들이겠습니다. 그렇죠. 저희가 직관적으로 아는 뭐 어떤 이제 곱해지는 것들을 어떤 이 거듭 제곱하는 형태에서부터 나오게 되는 어떤 실수식이죠. 사실은 굉장히 할 얘기는 많습니다. 사실은요, 자 그래서 이걸 받아들이면 저희가 얘를 풀어쓸 수가 있죠. 두 개 곱으로써요 이해가 되세요. 여기서 이는 2.71 어쩌고저쩌고 가는 일보다 큰 어떤 양수구요. 그래서 저희가 이거를 지수법칙을 가지고 풀어쓰면 e의 kx 곱하기 e의 c승이 됩니다. 그리고 좌변은 여전히 y의 절댓값이어야 됩니다. 아시겠어요. 괜찮나요? 자 저희 목적은 y를 얻는 데 있습니다. 자 그러면 저희가 여기 절댓값을 일단은 없애주고 싶은데 절댓값을 없애기 전에 일단은 우변부터 조금 더 관찰을 하겠습니다. 지금 여기까지 어떻게 풀었는지 이해 가시죠.
그래서 적분을 해 가지고 문제를 풀기 위해서 변수들을 분리를 했고 그리고 저희가 적분에 대해서 기본적으로 아는 걸 이용해 가지고 여기까지 지금 만들어냈어요. 여기까지 많잖죠 그리고 여기서 이런 것들이 실제로 쓰였어요. 그러면 여기서 c가 지금 뭐냐면 임의의 상수잖아요. c는 임의의 상수예요. 그러면 e^c는 임의의 상수예요? 아니에요. 얘는 뭐예요? 얘는 임의의 상수가 더 이상 아니에요. c가 임의일지언정 얘는 임의의 상수 아니에요. 왜죠 지수 함수의 성질 때문이에요. 지수 함수는 언제나 뭐를 보장합니까? 그림을 그려보면 지수 함수의 경우는 그림이 이렇게 생기죠 그림이 이렇게 생깁니다. 그래서 지수 함수는 성질상 반드시 모여야 돼요. 반드시 양수여야 돼요. 얘는 임의의 상수였지만 얘는 더 이상 임의의 상수가 될 수 없는 거죠.
왜냐하면, 얘는 지금 지수 함수에 태워서 보낸 거니까 얘가 지금 c가 임의의 값이지만 얘를 그러니까 c축으로 만약에 생각을 해보신다면 그러니까 결국에는 얘는 뭐라는 것만 보장이 되는 거예요. 임의의 양수라는 것만 보장이 되는 겁니다. 이해 가시겠어요. 얘는 임의의 양수예요. 그래서 제가 이거를 기호를 지금은 구분하는 의미에서 틸다를 썼으니까. 제가 틸다틸다라고 쓰겠습니다. 이렇게 쓸게요 괜찮아요. 그래서 씨틸다틸다는 뭐예요? 임의의 양수에요. 이해하셨어요. 제가 일부러 나중에 이런 거 구분 안 할 건데 지금은 정확하게 하는 의미에서 요렇게 합니다. 괜찮죠 자 그러면 일단은 우변은 끝 우변은 일단은 쪼끔 정리할 수 있는 걸 다 정리했구요. 좌변에서 절댓값 없애고 싶어요. 절댓값 어떻게 없애니까 저희가 없애는 방법이 만약에 어떤 거에 절댓값이 세모예요. 그러면 절댓값 없애면 어떻게 합니다. 절댓값 뭐만 영향을 행사합니까? 부호에만 영향을 행사합니다. 그렇기 때문에 그냥 어떻게 해주면 돼요. 이렇게 해주면 돼요.
동의가 됐죠 그래서 요렇게 해주면 저희가 지금 뭐를 만들어 놨냐면 와이의 절댓값이, 즉 어떤 네모에 절댓값이 얘가 되면 되니까. 맞죠. 그러면 저는 이걸 없애고 대신에 여기에다 뭘 달아주면 돼요. +-를 달아주면 돼요. 이해 가시죠. 그러면 어떻게 되냐면 y = +- c 틸다틸다 * e ^ kx 이렇게 됩니다. 이해되시죠. 자 이렇게 했을 때 c 틸다틸다는 임의의 양수입니다. 임의의 양수입니다. 그러니까 저는 여전히 이 기호 좀 맘에 안 들어요. 그래서 다 맞는 말이지만 이거를 다시 하나의 상수로 합치고 있습니다. 그래서 제가 이거를 c 트리플 틸다라고 쓰겠습니다. 이렇게 그러면 c 트리플 틸다의 경우는 뭐를 만족해야 돼요. c 틸다틸다는 양수죠 근데 이제 음수여도 되죠.
그러니까 뭐라고 적으면 돼요. 얘는 무엇이다. 영이 아닌 임의의 상수 0은 불가능하죠. 여전히 이해했어요. 0은 불가능하죠. 양수였으면 마이너스 사인이 달라져서 음수가 되던가 아니면 양수이던가 둘 중 하나밖에 없죠. 자 지금 저희가 뭐 했는지 혹시 눈치셨어요. i.e.라는 건, 즉이라고 그냥 읽으시면 됩니다. 그래서, 즉 우리가 지금 뭘 찾은 거냐면 이런 제가 이제 여기서 c 트리플 틸다 교체하기 다시 이걸 c로 바꿀게요 어차피 이건 임의의 의미만 갖고 있어요. 그래서 이거 c e^kx, c는 영이 아닌 얘가 그거 뭐가 되는 거예요. 얘가 y' = k * y의 해가 된다. 요거를 풀어낸 겁니다. 물론 아직 완벽한 해법이 아니에요. 왜냐하면, 아까 내추얼로그 어떻게 흔들어 할지는 여전히 문제로 남겨놓은 여전히 그건 고스란히 있거든요.
자 이거 실제로 맞는지 확인해 보십시오. 어떻게 됩니까? 미분하면 이거 뭐가 되나요? 이거 미분하면 c * k * e^kx가 나오고 이거 곱해 가지고 보면 똑같죠. 그러니까 저희는 일단은 푼 겁니다. 자 이렇게 푸는 것을 저희는 나중에 이런 해를 일반해라고 부를 겁니다. 영어로는 general solution이라고. 물론 기준을 들여야 되지만 요렇게 부를 거예요. 자 혹시 이 해법에서 아직 완벽하지 않죠 이해하셨어요. 완벽하지 않죠 이 방법으로 지금 해결이 안 된 부분이 있어요. 어떻게 해소할지 눈치였어요. 자 그래서 지금 기본적인 스킴은 문제가 주어져요. 그러면 변수 두 개를 분리를 해요.
왜요? 적분해가야 하는 과정은 따로 다루려고. 괜찮죠. 적분해서 다루는 과정에서 우리는 지금 다뤄지는 것만 한 게 여기까지에요. 근데 안 다뤄지는 부분이 있었어요. 어떻게 하면 되나요? 문제가 되는 것은 무엇입니까? y = 0입니다. 아까 문제가 됐었던 파트는 얘가 문제입니다. 얘 여기서 이렇게 넘어올 때 y가 0이면 어쩔 건데가 문제가 됩니다. 근데 일단 여기서 저희가 미심쩍게 넘어간 건 어떤 거냐면 일단 0이 아니라고 하자 하고 넘어갔죠 일단은 자 그래서 쭉 풀었어요. 푼 결과가 뭐예요? 예에요. 이해했어요. 일단 요거 보겠습니다. 이거 0이 되는 순간 있습니까? 없습니까? e^kx은 이거 언제나 뭐예요? 언제나 양수예요.
얘는 0이 되지 않아요. 문제가 될 수 있는 건 얘예요. 근데 얘 저희가 처음부터 0이 아니라고 했죠. 그러니까 일단은 얘는 0이 되는 순간은 존재하지 않아요. 이해했어요. 얘는 0이 되는 순간이 분명히 존재하지 않기 때문에, 아까 찜찜하게 왜냐하면, 이걸 지금 이렇게 해 가지고 했을 때 이거 y가 만약에 0이 되면 어쩔 건데 에서 실제로 이걸 푼 결과는 y가 0이 되는 걸 요구하지 않아요. 그래서 일단은 이 풀이법은 OK예요. 오해하지 마세요. 그러니까 풀이법이 OK니까 풀었다가 아니라 해보니까, 운이 좋게 얻어 걸리는 거예요. 정서가 좀 이해가 가시나요? 자 그런데 두 번째 지금 이재성 선생님께서 포인트 해주신 거 같이 근데 만약에 y가 0이면 어쩔 것 없이 근데 적어도 얘는 그런 일이 존재하지 않죠 얘는 그런 일이 존재하죠. 그러면 처음에 우리가 시작한 방정식에서 y가 0이라고 한번 생각을 해보세요. y가 0이면 우변은 뭐가 됩니까? y가 0이니까. 얘는 0이에요. 맞죠.
상수에 대합 미분하면 뭐예요? 0이에요. 그니까 y가 0인 것도 뭐가 만족이 돼요. 얘도 해가 돼요. 지금 이해가셨어요. 뭔 말인지 그러니까 y는 사실 0이어도 됐던 거예요. 근데 y가 0일려면 어떻게 해야 돼요. everywhere 0여야 되는 거예요. 상수로서 그런 얘기는 무슨 얘기예요. 사실은 다시 이 형태 보겠습니다. 지금 이렇게 풀어낸 거는 얘가 이것의 해인거는 맞아요. 근데 그때는 저희가 풀어낸 방식으로는 c가 0이 아닐 때 이렇게 푼 거예요. 근데 사실 저희가 발견한 건 뭐예요? c가 뭐여도 된다. 사실은 0이어도 된다는 겁니다. c가 0이면 y=0잖아요. 그것도 되잖아요. 그러면 완전히 문제점이 다 사라진 거죠. 그니까 우리가 푼 방법은 y=0이 아니라는 대전제에서 푼 건데 실제로 우리가 찾아낸 해가 전제를 만족을 하고 근데 만약에 y가 0이라고 하더라도 그렇죠. 그래서 지금 말씀드린 전제가 뭐냐면 지금 이렇게 풀어낸 방법에서 y가 0이 아니라는 게 반드시 필요하잖아요. 이것도 마찬가지 얘기입니다.
이것도 똑한 얘기죠 그래서 이렇게 푼 과정에서 y가 0인 거가 없다라는 전제가 있어야 되는데 저희가 푼 게 공교롭게도 그거를 만족을 하고 그렇죠. 그리고 만약에 y가 0일려면 전체에서 0일 수밖에 없었다는 거죠. 그래서 저희가 찾아낸 해는 얘도 포함, 즉 모든 해는 어떻게 그냥 쓰면 사실 끝났던 거예요. 이렇게 썼으면 끝났던 거예요. c는 그냥 무엇이다. 결국에는 임의의 상수 이해가 되세요. 그래서 이런 식으로 변칙적으로 등장하는 걸 보통 뭐라고 부르냐면 이런 거를요 특이해라고 부릅니다. 영어로는 singular solution이라고 불러요
교수님 제가 좀 이해 놓친 거 같은데, 아까 와이는 c의 e에 x e^kx인데 요거는 반드시 y는 0이 될 수가 없다고 했는데, 밑에는
그러니까 지금 저희가 이렇게 풀어서 나온 거가 얘구요. 얘는 그래서 그때는 c가 0일 수가 없고요. 맞고요. 근데 제가 말씀드린 건 뭐냐면 그때는 y가 0이 아니라는 대전제에서 풀었던 것이고. 만약에 y가 0이라면 어떨 것인지 보니까, 여기다가 y = 0을 집어넣으니까. 얘가 만족이 된단 말이에요.
네,
그러니까 y가 0인 것도 해가 된다는 뜻이에요. 비록 우리가 만든 해법에서 나오진 않았지만 그러니까 얘기는 그냥 c를 0으로 두면 얘를 실제로 0으로 두면 얘도 되잖아요. 그니까 두 개가 다른 거죠. 우리가 풀어낸 거에선 이게 맞고요. 근데 사실은 c가 0이어도 되었었던 거죠. 이 어떤 문제의 경우에는 그러니까 실제로 해는 이 형태가 나온다
0을 포함한 임의 상수도 된다는 얘기
저 0을 포함한다는 네 그래서 저희가 일반해를 구했던 해법에서는 c가 0이 아니라 0이 아니라는 걸 명확하게 해야 됐던 포인트였는데 실제로는 c가 0이어도 해가 된다.
이해했습니다. 감사합니다.
자 괜찮죠
질문이 있습니다. 지금 일반회랑 특이해를 저희가 다루는 과정을 보면서 생각을 해봤는데 이제 이 접근이 저희가 알고 있는 지식을 이용해서 풀기 위해서 적분을 통해서 계속 바꿔나가지 않았습니까? 그러다 보니까, 제가 생각하기에는 처음에 우리가 풀고자 했던 문제는 y와 y'이 같은 함수를 찾는 것이 문제로 정의가 되어 있었는데, 푸는 과정에서 그 적분에 적합한 함수 조건들을 계속하다 보니까, 일반해에선 0이 빠졌었지만 실제로 처음에 우리가 찾고 싶었던 것에서는 y = 0이 당연히 성립하기 때문에 그 특이해로 존재한다. 이런 식으로 이해하면 정확하게 이해를 한 게 맞습니까?
네 질문은 이해했고요.
저는 그러니까 c가 y = 0이라는 특이해가 저는 처음에 시작한 문제점 문제를 정의한 것과 저희가 풀어가는 과정에서 사실 그 하나 빠진 거라고 생각을 하면서 들었거든요. 놓쳤다고 생각을 했는데 이유가 뭔가를 생각해 본 결과는 y' y를 y' = y를 우리가 풀기가 어려우니 알고있는 것들을 가져다 풀다 보니까, 약간 우당탕탕 풀이로 풀어서 그 부분이 그냥 안 된다하고 그냥 정의하고 넘어가자 이랬는데 사실은 그러면 안 됐었던 것이 아닌가 애초에 함수를 두 개로 나눠서 그 y는 0일 때 y는 0이 아닐 때 이런 식으로 정의를 해 놓고, 풀었어야 맞는 풀이가 아닌가
그렇게 생각하셔도 일단은 무방합니다. 좋습니다. 자 혹시 여기까지 지금 해주신 좋은 코멘트를 포함해 가지고 질문이나 혹시 코멘트나 그런 거 있으면 듣겠습니다. 일단은 쫌 확인하고 싶은 정서 중에 하나는요 할 만하지 않으세요. 쉽죠 진짜 쉽죠 그냥 그냥 분리해 가지고 적분 해 가지고 나오네 이거죠. 네 질문하십시오. 채팅방으로 하셔야 됩니까? 그러면 인제 적으시는 동안 또 다른 분들 있으신가요?
궁금한 게 있는데, 미분 방정식을 differential form으로 나타내는 게 모든 조건에서 저렇게 다 나타낼 수 있는 건가요?
y가 미분 가능한 함수이면 이 조건을 만족하도록 미분 형식의 정의가 맞춰져 있습니다.
그러면은 미분방정식이 주어졌었을 때 y는 c e^kx는 유일한 솔루션이라고 생각을 해도 되는 건가요?
좋은 지적 중의 하나입니다. 그러니까 지금 보시면, 저희가 풀었죠. 그런데 방금 제가 일부러 대답을 좀 꺼리고 있는 이유는 한 번에 섞어서 한 번에 몰아서 얘기를 좀 하고자 하는 건데 이우철 선생님께서 지적해 주신 것처럼 실제로는 y가 0이 아닌 거랑 0인 거 케이스를 나눠야 되는 게 아니냐 사실 이제 풀이법 자체에서 애시당초 처음부터 결과적으로 분명히 100만 번 맞는 말인데 이제 어떤 정서를 좀 확인할 수가 있냐면 그러니까 분리를 해 가지고 분리를 해가지고 풀었어요. 맞죠. 근데 그게 공교롭게도 어떤 거를 포함한 거냐면 해법에서 풀리지 않는 거를 포함하고 있었던 거예요. 그렇기 때문에 더 나아가서 그러면 이렇게 푸는 게 모든 애를 포함한다고 할 수가 있겠느냐 그러니까 지금 이런 거죠. 뭔가 우리가 좋은 방법을 찾 어떤 제시를 해 가지고 했는데, 이거 이건 빠졌네 이거 빨리 넣자 이런 느낌 아니세요. 근데 그러면 이게 전부인지 어떻게 알아 라는 거가 자연스러운 질문이 됩니다. 물론 이게 전부예요.
근데 확신이 좀 안 되시죠. 좀 더 빼놓은 게 있을지 어떻게 알아. 빼먹은 거 맞죠. 그게 남습니다. 좋은 지적입니다
그 만약에 저기 변수가 여러 개 있거나 해서 해가 여러 개인 방정식일 때 일반해로 구한 방식이
왜 해집합이 존재한다고 했을 때 특이해까지 포함하는 더 큰 집합이었다. 이렇게 이해해도 무방한 건가요?
그렇죠. 그러니까 해의 모임이 특위에까지 포함하는 경우였던 겁니다. 자 그리고 지금 이대영 선생님의 코멘트도 굉장히 도움이 되는 코멘트예요. 그러니까 상수라는 것과 일부만 0이라는 게 분명히 차이가 있죠. 그러니까 지금 결과적으로 우리가 구한 거는 0이면 완전히 0이던가 0이 없으면 아예 0이 없던 가인데요. 일부만 0이 될 수도 있잖아요. 그러니까 함숫값에 일부만 0이 되고, 다른 데서 0이 안 되는 그런 함수가 존재할 수도 있잖아요. 괜찮나요? 자 그러니까 지금 여기서 어떤 가장 기본적인 블록들을 확인하고 넘어간 부분들도 굉장히 소중한 부분이지만 비판들이 좀 남으시죠. 이해하셨어요. 비판들이 좀 남습니다. 자 역사적인 얘기를 좀 하겠습니다.
저희가 수학을 배울 때요 수학이 사실은 보통 약간 학을 떼는 한국인들 입장에서 정서가 입시 때 정서 때문입니다. 이 경쟁과 이런 정서들이죠. 근데 그때까지 배운 게 혹시 언제까지 수학인지 아세요. 저희가 입시 범위에서 배우는 수학이 언제 그니까 세기로 얘기를 할까요? 몇 세기 범위인지 아세요. 혹시 17세기 정도 아닌가요 17세기입니다. 정확하게 맞습니다. 그러니까 한 300년 전 아무리 잘 쳐줘봤자. 그리고 수학은 지금도 발전하고 있거든요. 어떤 아카이브나 이런 서버 보면 맨날 수학 논문들 900편씩 쏟아져요 그니까 그리고 보통 대학교에서 수학 전공을 시리어스하기 위한 몇 세기까지 가는지 아세요. 뭐 탑스쿨이라고 하죠. 가장 좋은 학교 뭐 하버드 이런 학교라고도 하죠. 어디까지 가는지 아세요. 100년 전 정도일 것 같습니다. 알가주면 100년 전까지 가면 대단한 겁니다. 1900년대 초반까지 가면 정말로 대단한 겁니다. 그러면 좀 더 지적을 해볼까요?
그러면 여러분들 중에서 수학에 관심 있어 가지고 석사로 한 이 년 정도 공부했다고 하겠습니다. 몇 년도까지 가는지 아시나요? 잘 가면 1950명까지 갑니다. 박사 과정 시작하면 한 이삼 년 공부하면 제너럴 알리지가 몇 년도까지 가는지 혹시 아시나요? 잘 쳐주면 한 70년도 그리고 그중에서 아주 일부 분야까지 가면 이제 2023년도까지 가서 새로운 걸 뚫어내면 이제 박사 학위를 받는 거예요. 그래서 일단은 여러분들이 수학이라고 생각하는 거는 300년도 더 전에 골동품이야 조선 시대도 언제적 시 언제적 무슨 왕조인지도 모르겠어요. 나폴레옹 제정 때 얘기니까 그때 얘기입니다. 어떤 조선시대 이제 수학 보면 마방진 해 가지고 거북이 등껍질에다가 뭐 이런 것들 아시죠.
그런 이건 수학이라고 하기보다는 그런 것들을 그런데 저희가 그런 ancient mathematics라 부르는 게 맞는지 모르겠는데 이게 modern mathematics로 넘어가는 기준이 되어지는 사람이 푸리에입니다. 그리고 기준이 되어지는 풀이가 저희가 오늘 본 이 풀이법이에요. 이게 근대수학의 시작이에요. 온 뭔 헛소리냐 무슨 이 해법이 어떻게 근대 어떤 출발점이 되어지는데 당시에 18세기에 나폴레옹 제정 시 문제가 되었던 게 뭐였냐면 뭐를 이해하고 싶었냐면 열이라는 걸 이해하고 싶었어요. 얘를 이해하고 싶었어요. 근데 당시에 열이 어떤 이게 유체의 흐름인지 뭔가가 흘러가는 건지 아니면 뭔가 알갱이가 실제로 존재하는 건지 뭔가 그게 불분명한 상황이었어요. 물리적으로 그래서 저희가 그런 것들을 잘 몰랐을 때 오늘 제가 말씀드리려는 약간 정서는 그리고 앞으로도 계속 정서를 느낄 건데 일단은 저희는 정답을 모르잖아요.
그러니까 어떤 식으로 저희가 공부를 해야 되냐면 물론 과거에 저희가 공부가 되어져 있는 것들을 체계들을 배워 나가겠지만, 저희가 실제로 여러분들이 살면서 수학이랑 관련된 꼭 어떤 비단 순수학적인 정서뿐만 아니라 수학이랑 관련된 것들을 하려면 대부분 어떻게 할지 몰라요. 그래서 그런 경우에 공부를 할 수도 있고 하지만 일단은 우리가 의존해야 되는 건 직감이에요. 상황과 문제에 대해서 이해를 한 다음에 일단 이렇게 해볼래 근데 지금 이 해법도 보시면, 문제점이 많죠 맞죠. 근데 일단은 해봐야 되는 것이 어쩌겠어요. 시 어떤 완벽하지 않다고 시작조차 안 해버리면 뭐 아무것도 못 한다고요. 그러니까 되게 제가 지금 어떤 정서를 말씀드리면, 이거 수학인데 분명히 수학의 영역이거든요. 논리적으로 완벽하다고 말하는 수학의 영역도 어떻게 하는 거냐면 일단 아씨 모르겠으니까.
일단 해보자 해보고 나서 생각하자. 약간 이런 묻지도 말고 따지지 말고 일단 할 거를 해보고 나서 뭐 어떻게든 되겠지라는 되게 그 비논리적인 약간 정서에서 출발하는 건데 푸리에가 어떤 식으로 생각했나 아이 그래 나는 물리적으로 당시 진짜 몰랐습니다. 지금은 알지만 물리적으로 열이라는 게 어떤 현상인지 모르겠어 하지만 열이 뭐가 되든지 간에 나는 알 바 아니고 이게 어떻게 생각할 수 있냐면 열이 있으면 온도가 있고 온도가 변해 이건 제가 좀 가르치는 의미가 아니라 그냥 교양 정도 지식으로 들어주십시오. 열이 변하는 거가 보통 그래디언트로 표현이 되어집니다. 이건 직문수에도 참고로 있으니까. 만약에 어떤 것들이 정 궁금하시면 보시거나 나중에 다까수에서도 다 할 겁니다. 걱정하지 마십시오. 아시겠어 지금 단지 일 변수를 다루고 있을 뿐입니다. 그래서 열이 변하는 거에 원천을 검출한 걸 이걸 divergence라고 그래서 열이 변하는 벡터의 원천을 검출하는 것이 얘가 열이 시간에 따라서 바뀌는 것이어야 돼.
그래서 열이 공간에서 온도가 온간이 온도가 공간에서 변해가는 거의 원천을 검출하는 게 온도가 시간에 따라서 변하는 거를 만족하도록 열이 움직여야 돼 이거를 heat equation이라고 불러요 그래서 일단은 푸리에는 이거를 세웠어요. 일단은 열이 만족하는 걸 이거라고 하죠. 그리고 혹시나 중학교 때 저랑 이제 세대가 좀 다르긴 하지만 저때는 기술 과정이란 과목이 있었거든요. 근데 거기서 약간 여러 이제 댐 이 납댐이나 이런 것들도 했었던 기억이 나는데 저희가 어떤 전자회로 같은 거 배우면 회로 같은 거 배우면 옴의 법칙 이런 거 혹시 기억나시나요? V = IR 이런 거 있었거든요. 옴이 뭐 한 거냐면요 푸리에가 이거 한 거 딱 따라한 거예요. 똑같애요. 옴의 법칙 사실 이겁니다. heat equation이라고 부르지만 이거는 굉장히 넓은 범용성을 들고 있어요. 유체 흐름들을 어떤 이제 어떤 오브젝트의 어떤 흐름을 서술하는 어떤 방식이 되는 거죠. 공간에 따른 변화에 원천을 검출하면 그게 오브젝트의 시간에 따른 변화가 돼야 된다. 라는 생각이 열방정식의 방정식에 formula의 뜻이에요.
자 그랬을 때 푸리에가 어떻게 했냐면 딱 이 상태였어요. 모르겠음 그래서 어떻게 하냐면 apply the separable method 얘를 합니다. 오늘 저희가 한 거 그거예요. 이거를 해요. 이건 무슨 얘기냐면 T라고 하는 게 뭐의 함수냐면 얘가 공간과 시간에 대한 함수를 본 다음에 이 방정식 풀면 되거든요. 이것도 미분 방정식이에요. 기본적으로 이 형태를 실제로 적어보면 이거 실제로 적으면 어떻게 적히냐면 one variable이라고 하면, 이게 그냥 가장 단순한 경우가 이것저건 풀 줄 알아야 된다고 설명하는 게 아니라, 교양 정도로만 들어주시길 바랍니다. 물론 나중에는 다까수 다 끝날 즈음에는 이게 사실 푸는 것도 요구할 건데 그런데 어쨌거나 지금은 교양 정도로 들어주십시오. 그래서 이렇게 적히거든요. 그래서 이게 이차 미분 방식이 되어져요 실제로 해보면 그래서 이거 어떻게 푸는지 모르겠으니까.
얘를 어떻게 치사하게 놓냐면 나는 x 따로 놀고 t 따로 논다라고 할래 오늘 우리가 한 거 그러니까 분리를 해요. 그리고 분리를 해 가지고 풀어요. 집어넣어요. 진짜로 집어넣잖아요. 그럼 이거 어떻게 풀리냐면요 이게 시리즈가 나오거든요. 해가 한 개가 아니에요. 요렇게 나와요. 그리고 이렇게 풀어가지고 나 구했음 하고 당시에 푸리에의 스승이라고 할 수 있는 유명한 사람 중의 하나가 혹시 푸리에랑 대응되어진 좋은 이름 중의 하나가 라플라스란 사람이 있어요. 라플라스 변환이라는 걸 들어보실 수 있습니다. 그 푸리에가 이거를 라플라스랑 그리고 대수학 지금 기대수 스터디하시는 분들 있죠. 거기 대수학의 어떤 대가 중의 한 명이 라그랑지라는 사람이 있어요. 이 두 사람한테 자 본인의 논문을 보내요. 그리고 대차게 까입니다. 왜요 문제점이 해법의 문제점이 한두 개가 아니었거든요.
근데 그중에서 당시에 18세기는 저희가 보통 수학 공부 쪼끔 해보신 분들은 수학 전공한 친구들이 해석학개론을 가면 굉장히 싫어하거든요. 입실론 델타 이렇게 말하면 나 그거 싫어라고 하는 그게 개발되기 전이었어요. 즉 이걸 좀 정확하게 말하면 미적분학을 엄밀하게 서술하는 수학적 토대가 개발되기 역사적으로 전이었어요. 그러니까 뭐가 없었냐면 급수의 수렴성이 보장이 안 됐어요. 급수라는 개념도 정의가 안 되는 상황이거든요. 이게 무한합이랑 급수는 사실 구분해야 되는 개념이에요. 무한합이랑 수학적으로 정의되지 않아요. 엄밀하게는 급수라는 개념은 어떤 특정 수열의 극한으로 정해야 되는 게 그러니까 풀이의 방법은 너무 앞서갔던 거예요. 뭘 앞서 갔다 왔냐 기존의 수학적인 프레임하기 못 담는 방식이었던 거예요. 그러니까 평가하는 입장은 얼마나 쉬워요 내 점수는요 이거 다 틀렸잖아요. 비판하는 거 얼마나 쉬워요 그러니까 되차게 당시의 대수학자들에게 까였던 거죠. 급수의 수렴성과 그리고 무엇보다 뭐가 문제였냐면 푸리에가 푼 방법이 진짜로 이렇게만 풀어야 되는 건지를 확신할 수 없었어요.
그러니까 저희가 지금 어떤 걸 확신할 수가 없냐면 이렇게 풀었어요. 이거밖에 없느냐 지난번에도 강조한 포인트죠 이렇게 해서 얘가 해가 된다는 것과 별개로 다른 거가 없다라는 걸 어떻게 배제할 것이냐. 그래서 푸리에의 방법은 일단 이거 자체가 정의도 안 될 거니와 이 방법이 사실은 보 푸리에의 해가 유일하다는 걸 보장할 방법이 없어요. 왜냐하면, 우리가 지금 한 거랑 똑같은 건 다 푸니까 푸는 거예요. 근데 그게 전부인지 어떻게 하는지에 대해서는 한마디로 답할 수 없다는 거죠. 정서가 이해가셨어요. 그래서 이거는 어디까지 내려오냐면요 푸리에는 못 했어요. 그래서 푸리에 의 제자인 그것도 유명한 수학자라고 해야지 물리학자라고 해야 될지 모르겠는데 디리실레 혹은 디리클레라는 사람까지 내려와서 해결이 됐고. 지금은 지금 이 현대를 살고 있는 우리들 입장에서는 측도론이라고 불리우는 해석학의 한 가지 과목에서 그냥 아주 단순한 보조정리 정도로 해결이 됩니다. 지금은요, 왜냐하면, 지금 이걸 해소하는 언어들이 수학적으로 다 셋업이 끝나 있거든요.
그리고 이 문제가 열방정식을 푸는 그니까 결과적으로 이 방법이 유일한 해를 줍니다. 이게 유일한 해가 맞아요. 맞는데 이거에 대해서 누가 고민을 했느냐 질문 uniqueness of solution the라고 불러야 됩니다. 왜냐하면, 사실은 유일하기 때문에. 이따 over heat equation 이 정도로 쓸게요 이거를 푸리에의 방법을 가지고 고민한 사람이 누구냐면요 칸토어가 고민을 해요. 그리고 칸토어가 뭐를 확인하고 싶었냐면 이게 유일하다는 거를 확인하는 과정에서 무한대를 다뤄야 되죠. 여기서 뭐를 만들어내냐면 이거를 해결하기 위해서 집합론을 창시합니다.
목적은 이게 유일하다는 걸 알고 싶었는데, 그래서 칸토어가 이거를 해결하기 위해서 뭐를 만들어 버리냐면 이 과정에서 무한대를 핸들하는 과정에서 집합론을 만듭니다. 그래서 당시의 사람들이 봤을 때는 헛소리를 하기 시작합니다. 무한대도 등급이 있어라는 말도 안 되는 헛소리를 하기 시작하고 만약에 디테일 공부하신 분들은 직문수 일 강 보시면, 좀 떠들어 놨습니다. 아시겠죠. 이게 근대 수학의 출발점이에요. 그래서 modern mathematics라고 부르는 거는 어디서부터 정말로 출발하냐면 separable equation, separable method를 적용하는 것에서 정말로 출발합니다. 이게 지금 저희의 입장에서 얻어야 되는 교훈은 약간 이런 거예요. 그러니까 실제로 이렇게만 풀어야 된다는 말이 아니에요. 변수를 분리해 가지고 적분해가지고 이렇게만 풀어야 된다는 게 아니고 어떤 정서일까요?
안 그러면 어쩔 건데 이 정서인 거예요. 그러니까 수학적으로 합리적인 설명을 하는 게 아니에요. 일단은 해볼려고 난리브루스를 치는 정서에서 일단 어떻게든 해내고 그 다음에 근데 거기서 풀렸어요. 그 다음에 비판할 점들이 나오죠. 여러분들이 지금 자연스럽게 갖고 계셨던 시야들처럼. 그러면 이제 거기서 이거 근데 제법 그럴듯하잖아요. 그러니까 그거를 해 생각하는 것도 사실은 수학의 영향입니다. 의미있게 해소를 해내면 굉장히 의미있는 수학적인 명제들을 얻게 되는 거예요. 그래서 여러분들이 수학을 공부할 때도 똑같습니다. 뭔가 그러니까 문제가 안 풀리는 게 일단 기정 대전제고요. 근데 만약에 풀린다고 했을 때 비판할 점들이 생겨요 그런데 그걸 토대로 해서 뭘 봐야 되냐면 지금 내가 여기서 못 보고 있는 어떤 시각들과 사실 내가 이해를 해야 되는 중요한 부분들이 많을 수가 있다. 그래서 사실은 여기서 이런 거가 배제가 되고 있다는 이런 관찰들 하나하나도 그렇게 단 어떤 뭐 그냥 하다 보니까, 빠졌나 보네 정도가 아닌 거예요. 굉장히 기쁜 겁니다.
그리고 누군가는 이 관찰을 가지고 현대 수학의 아버지란 말을 듣는다구요. 어떻게 보면 진짜 별것도 아닌 관찰이잖아요. 어떤 의미에서는 여기까지 괜찮으신가요? 자 그래서 저희는 앞으로 당분간 계속 이런 방식으로 수학을 공부를 할 거예요 다까수에서는. 그래서 일단은 제시를 해요. 합리적 합리적이라기보다는 어떻게 해서든 문제를 풀어낼려는 약간 그런 정서에서 그리고 나서 생각을 해 보는 겁니다. 그리고 그런 체계들은 아직도 안 닫혀 있어요. 그러니까 수학은 완성된 학문이 아니에요. 그래서 보통 수학 공부할 때 오해하는 게 일단은 내가 좋은 책들과 좋은 과목을 골라서 마스터를 하고 그다음은 이게 아니에요. 그냥 계속 내가 알아가는 안 끝나요. 그런 정서라고 생각하시면 됩니다. 하나하나 알아갈 때 본인의 방식으로 알아가시면 돼요. 그래서 제가 오늘 드리고자 하는 또 한 가지 예시는 슬슬 난이도를 높여야 되니까요? 제가 쪼끔 높여보겠습니다. 일단은 separable method는 제가 그대로 유지를 할 거거든요. 유지를 할 건데 근데 y' y는 사실 ky는 너무 쉽잖아요. 사실은 우리가 사실 이미 답을 알고 있었던 거고. 그래서 이제 답을 모르는 거라 보죠.
아실 수도 있어요. 어떤 분들이랑 자 제가 y' 똑같이 놓고요. 그다음에 제가 이거를 이렇게 잡겠습니다. 자 이제 요거를 대놓고 드리는 이유는 혹시 의도 눈치 채셨나요? 드리는 이유는 이제 삼각함수도 넣으려고 하는 겁니다. 슬슬 자 그래서 저희가 삼각함수에 대해서 알고 있는 거 사인 코사인 탄젠트 정의를 리뷰하진 않겠습니다. 그거는 적어도 요거 하시는 분들은 알아서 찾아볼 수 있어야 된다고 생각을 하구요. 자 그랬을 때 저희가 탄젠트 함수를 생각을 해주면 이 함수로 생각을 해주면 이 함수는 미분하면 이거는 생각하는 방법이 여러 가지가 있는데요. 일단은 마 외우라는 정서에서 꼭 말씀드린 건 아닌데 많이 등장을 합니다. 그래서 얘는 기본적으로 시컨트 제곱이 나오구요. 근데 이제 요거를 만들어내는 방법은 이렇게 만드는 거예요. 그러니까 사실 저는 이걸 외우고 있지는 않아요. 근데 많이 하다 보면, 그냥 자연스럽게 알게 되긴 하는데 어떻게 생각하는 거냐면 탄젠트를 어떻게 정의하냐면 싸인을 코사인으로 나눈 걸로 정의가 되어죠 괜찮나요?
사인을 코사인으로 나눈 걸로 정의가 되어져요. 그런데 저는 사실 언제나 이 분수 꼴을 싫어해요. 저는 개인적으로 분수 꼴에 미분할 수 있도 저는 사실 그걸 개인적으로 좋아하지 않아요. 그래서 저는 이걸 어떻게 적는 걸 좋아하냐면 곱으로 이렇게 하셔야 된다는 의미는 아닙니다. 저는 이렇게 언제나 곱으로 적는 걸 좋아해요. 그리고 곱으로 적는 거에서는 분모에다가 차수를 마이너스를 빼버리면 돼요. 저는 이 형식이 좀 더 쉽더라고요. 그러면 저희가 만약에 이런 함수를 미분할려고 하면, 소위 말해서 어떤 product rule 혹은 라이프니츠 룰이라고 부르는데 하나 미분하고 나머지 그대로 두고 이거를 반복하는 거예요. 이 기분적인 미분법입니다. 그래서 저희가 이거를 미분을 하면 제가 이거를 여기다가 미분을 물론 이거 곱하 이 분수 함수의 미분도 어떤 있습니다. 하지만 저는 그거를 쓰기보다는 얘를 미분하는 쪽을 택해 볼게요 그러면 이거를 미분을 하면 사인 미분해야 되고 얘 그대로 달아주고 괜찮죠 이게 첫 번째 텀이어야 됩니다. 괜찮나요? 그리고 두 번째 텀에서는 얘 그대로 킵하고 그리고 나서 얘가 미분이 되어야 돼요.
이거를 product rule이라고 부릅니다. 혹은 다른 말로는 라이프니츠 룰이라고도 부릅니다. 괜찮나요? 이것도 요구할 겁니다. 아셔야 됩니다. 그 굉장히 근본적인 어떤 법칙입니다. 미적분하게 있어 가지고 근본이 되는 법칙입니다. 자 그래서 일단 저희는 그건 계산 도구로서 받아들이겠고요. 자 그랬을 때 여기서 저희가 알아야 되는 거는 사인 미분하면 뭐 됩니까? 사인 미분하면 코사인 되는 거 앞으로 요구하겠습니다. 아셔야 됩니다. 빈 변하게 등장할 거니까 요구하는 겁니다. 그리고 코사인 미분하면 뭐가 됩니까? 코사인 미분하면 마이너스 사인이 됩니다. 괜찮죠 요거는 제가 요구하겠습니다. 근데 탄젠트 미분이 코시 이제 시컨트 스퀘어인 것까지는 조금 비자명한 거 같애요. 그래서 그거는 필요하면 요것만 가지고 유도해서 쓰시길 바랍니다. 아시겠죠. 뭐 외워서 쓰시든 뭐 그건 알 바 아니지만, 저는 사실 요것만 알면 된다는 걸 말씀드렸을 뿐입니다. 아시겠죠. 이거는 아셔야 됩니다. 적어도 그리고 궁금하시면 더 들어가서 의미들을 해석해보면 해볼 부분 좀 있어요.
하지만 그냥 요런 것들은 받아들이도록 하도록 할게요 그러면 이거 풀어주면 그러면 얘는 어떻게 되냐면 코사인이 되죠. 얘는 코사인입니다. 근데 얘를 곱하니까 얘는 1이 돼야죠 끝났죠. 첫 번째 항은 이 맞나요? 자 두 번째 항 얘는 이제 뭐 해야 돼요. 얘는 소위 말해서 체인 룰을 적용해야 된다. 얘는 합성함수예요. 이해가 있어요. 코사인에다가 마이너스 1승까지 다 있는 걸 고려해 줘야 돼 그러니까 사인 그대로 달아주고 그리고 이거 미분하면 -1 붙고 맞죠. 합성함수 미분하고 있는 겁니다. 체인룰 그러면 얘 그대로 있고 그리고 한 번 더 미분하니까 마이너스 이가 되고 그리고 안쪽으로 미분하는 게 체인룰이죠. 그러면 얘 코사인 미분해주면 마이너스 사인 이해하셨어요. 체인룰 쓴 겁니다. 이런 것들은 연습이 되어야 됩니다. 아시겠죠. 물론 여기서 드리겠지만, 오늘 저희가 쓴 것들은 다 계산으로 할 줄 아셔야 됩니다. 편하게 나중에 이런 식으로 설명 안 해드릴 겁니다.
자 그러면 얘는 이제 어떻게 되냐면 1 그대로 있고 그다음에 싸인 있고 플러스 그니까 마이너스가 사인이 되고, 그리고 얘는 일단 요렇게만 적어 놓겠습니다. 자 요렇게 적어 놓고 그리고 저희는 뭐를 확인해야 되냐면 이 답을 확인하고 싶어요. 시컨트 제곱이 된다. 얘는 뭐의 역수를 정해야 되는 거냐면 코사인의 역수로 정해야 되는 개념입니다. 이거죠. 그래서 이게 되는 거를 실제로 눈으로 보고 싶습니다. 자 그러면 이거를 보기 위해서 얘를 이렇게 통일하고 먼저 이제 분모를 제가 이렇게 적겠고요. 코사인 제곱 이렇게 적겠고 그리고 분모를 제가 통일하겠습니다. 그러면 통일해주면 제가 지금 이렇게 이거 제곱이구나 제곱을 뺐죠 이거 싸인 사인 제곱 곱해져 가지고. 제곱이 됩니다. 그래서 제곱 이렇게 되죠. 그래서 여기서 저희가 아는 코사인 제곱 더하기 사인 제곱이 언제나 1이 되는 걸 이용해 주게 되면 이게 되는 게 눈에 보이죠.
그래서 1 나누기 코사인 제곱 엑스가 돼서 시컨트의 정의에 따라서 이렇게 하는 걸 볼 수가 있습니다. 맞죠. 일단 여기까지가 이 문제를 푸는 데 필요한 개념들입니다. 아시겠죠. 다 괜찮나요? 그래서 저희가 지금 자연스럽게 오늘 굉장히 사실 보고에서 많은 걸 배웠습니다. 그렇죠. 지수법칙 배우고 지수함수 지수로그 관계 배웠고 뭐 이런 어떤 삼각함수에 대한 관까지 굉장히 많은 것들을 배웠어요. 자 그러면 혹시 이제 이 문제 풀 생각을 해보죠. 어떻게 푸는지 아시겠어요. 자 일단은 답을 알려드리겠습니다. 답은 뭐냐면요 저희가 얘를 보고 있는데요. 지금 이거의 답은 y는 뭐냐면요 tan x입니다. 얘가 답이에요.
왜 얘가 답인지 보겠습니다. 저희가 이미 y'이 모인 거 알고 있어요. 얘인 거 알고 있죠. 맞나요? y' 이거 자 그다음에 1 + y^2 해보십시오. 그럼 이거 어떻게 돼요. 1 + 탄젠트 제곱 맞나요? 그러면 이거 어떻게 되어져요 제 눈에 보이세요. 이제 이렇게 되니까. 그러면 분모 통일하고 이렇게 되고 그러니까 이거 1 되고 끝났죠. 맞죠. 그래서 일단은 tan x가 이거를 풀어주는 해가 됩니다. 일단 답인 거는 이해가 가시나요? 근데 사실은요, 정확하게는요 얘가 답이에요.
c 임의의 상수 이것도 똑같이 바꿔보면 이거 똑같이 해줘도 답 문제 아무 문제가 없습니다. 또 분자에다 플러시 다 붙여가지고 해주면 똑같습니다. 혹시 엑서사이즈 아시겠나요? 이번 주에 숙제 이것도 지금 어떻게 푼 거예요. 우리가 이미 알고 있다는 걸 대전제로 푼 거죠. 이해하셨어요. 알고 있다는 걸 대전제로 풀었습니다. 근데 그렇게 풀면 안 되겠죠. 이렇게 풀기를 원합니다. 자 그래서
separable method를 쓰셔가지고. 일반해를 구해봐라 무슨 뜻입니까? 여기서 출발을 해요. 다 안 풀어드릴 겁니다. 여기서 출발을 해요. 그리고 안 되는 거를 보고 다음번에 거기서부터 피드백하는 것부터 출발할려고 해요. 그래서 이거를 하면 어떻게 푼다는 얘기예요. 그럼 오늘 저희가 본 게 이렇게 바꾸는 거죠. dx 나누기 dx를 dx는 dy라고 쓰고 그다음에 요렇게 써요 맞나요? 그다음에 어떻게 하자 변수 두 개를 분리하자 양쪽에다가 그래야 뭐 할 수 있으니까.
적분해 가지고 우리가 어떻게 다룰지를 아니까. 그러면 이렇게 쓸 수가 있죠. 맞죠. 다음에 뭐 해야 돼요. 다 쌍화살표니까 정확하겠습니다. 여기까지는 여기까지 다 쌍화살표고 이게 separable 여기서 이제 변수분리한 겁니다. 여기서 변수분리 그다음에 어떻게 해야 돼요. 적분해야겠죠. 이해가 있어요. 똑같죠 아이디어 완전히 똑같은 겁니다. 그러면 이렇게 될 겁니다. 여기서 integral dx라는 건 여기 앞에 integral가 여기 내부에 들어간 함수가 그냥 1이란 뜻인 거죠. 그래서 1 dx를 dx로 보고 있는 형식인 겁니다. 그러니까 그냥 실제론 뭘 물어보는 거예요. 문제에서 이거 어떻게 하는지 아냐라는 게 질문인 것입니다. 그래서 이거를 되돌려 가지고 얘를 얻어내라는 뜻입니다. 해보십시오. 그러니까 미적분한 연습시키는 겁니다.
어디까지 아시는지 조금 난이도를 높였습니다. 괜찮으시죠. 그래서 오늘 배운 것도 기본적으로 복습을 하시구요. 이것들이 이제 숙달이 되어졌다라고 하면, 이제 여기서 계속 얘기들을 쪼끔 더 하면서 난이도를 좀 올려 나갈 거예요. 이해가 되시나요? 그리고 지금 보시면, 우리가 단순히 미분 방정식을 푼다라고 하는 그냥 미분 방정식 자체가 목적이라기보다는 여기서 과정에서 배워지는 것들이 굉장히 많기 때문에 요걸 매개체로 보고 있을 뿐입니다. 관점이 이해가 가시나요? 그러니까 y' = y라는 것도 그냥 e^x이 답이야 이거보다는 지금 이제 굉장히 좀 관점들이 좀 풍성해지지 않으셨어요. 이미 지금 요 관점만 보더라도 풀 줄 아는데 어떻게 하면 건지 알겠는데 와중에 그렇게 하더라도 좀 애매한 점들이 있네 그리고 그런 거를 이제 명확하게 해나가는 과정에서 어떤 수학들이 어떤 이제 이루어져 나간다라는 것들을 볼 수가 있습니다. 자 오늘 얘기는 여기서 마무리하고자 하구요. 혹시 질문이나 코멘트나 피드백들 있으시면 그것까지 얘기하고 마치겠습니다.
저기 궁금한 게 액세사이즈 관련된 질문일 수도 있는데, 답을 이미 말씀해 주셨잖아요.
이미 이미 다 얘기했습니다.
근데 엑스 탄젠트 엑스만 따지면은 이제 엑스가 정의가 되지 않는 구간이 있지 않나요? 그런 거는 상관이 없는 건가요?
이 경우는 문제가 없습니다.
네, 알겠습니다.
그 재밌으신가요? 지금 어떤 얘기가 되어지는 방식이요. 네 그리고 또 다른 질문이나 코멘트 있으면 또 듣구요. 그래서 이 시간에 핵심은 손으로 할 줄 아셔야 됩니다. 아시겠죠. 이거 어떤 스토리 듣고 그냥 재밌네 이거 원하지 않구요. 그걸 손으로 직접 만들 줄 알아야 나중에 이렇다 그러니까 나중에 그냥 다 쓸 거거든요. 그냥 아무 생각 없이 그때 물어보시면, 안 되고 지금 통과하실 때 각 통과를 하신 다음에 물어보셔야 이게 주파수가 서로가 맞을 겁니다. 오늘 얘기는 그럼 여기서 마무리하도록 하죠.
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