수학을 다 까먹은 내가 미분에 대해 알아갈만한 이유

이 글은 '수학의 즐거움, Enjoying Math' 유튜브 채널에서 진행 중인 '다 까먹었지만 수학은 하고싶어' (이하 다까수)의 세번째 수업 (https://youtu.be/eruJ6t4u7Qc) 을 일부 정리한 것입니다.

우리가 어떤 것을 배울 때는 왜 배우는 걸까요? 단순히 배운 점수를 얻기 위해서가 아니라, 배워서 실생활에서 활용할 수 있기를 기대하기 때문입니다. 이는 당연한 말입니다. 또한, 제 말에 설득되지 않도록 오히려 좀 더 설득의 장벽을 높이는 의도로 이야기를 듣는 것을 원합니다. 따라서, 만약 수학을 싫어하는 사람들과 대화를 할 때, 이러한 주장이 충분히 설득력을 가질 수 있는지에 대해 스스로 생각해 보면서 까칠한 관점을 취해주시길 바랍니다. 이야기에 수긍하실 생각으로 듣지 마시고 괜찮으신가요? 그럴 때, 우리가 수학을 포함하여 무언가를 배운다는 것은, 단순히 순수한 학문적인 이론에 그치지 않고 배워서 실생활에서 활용하기 위한 것입니다. 이는 배워서 써먹는 것이 필수적인 조건입니다. 예를 들어, 게임을 처음 시작할 때 인터페이스를 배우는 것도 왜 배우는 걸까요? 인터페이스를 배워서 게임을 재미있게 즐기기 위해서입니다. 우리가 스포츠를 배울 때도 룰을 배우죠. 그 이유는 룰을 알고 재미있게 시합을 즐기기 위해서입니다. 따라서, 배우는 것은 당연한 일입니다.

약간 수학적인 내용을 여전히 줄이며 대화를 해보고자 합니다. 우리가 무언가를 배운다고 할 때, 특히 수학을 배운다고 할 때, 결국에는 어떤 것을 신경 쓰는지에 대해 생각해볼까요? 예를 들어, 여러분들은 열심히 일하시죠. 그래서 열심히 일을 하는 것에 어떤 기대를 가지고 계실까요? 어떤 특정한 결과를 기대하시죠. 알바를 하시는 분들도 계시고, 돈을 버시는 분들도 계시고, 뭔가를 배우시는 분들도 계시고요. 그 기대는 무엇인가요? 결과를 기대하시는 거죠. 그리고 그 결과가 가치가 있으니까 인풋을 투자하는 거죠. 인간은 무언가를 배우는 과정에서 가장 기본적으로 인풋 대비 아웃풋을 고려합니다. 이는 수학에 한정되지 않는 얘기입니다. 우리의 삶에서 기본적인 원리입니다.

 

수학은 우리가 문제를 해결하고 패턴을 이해하는 데에 도움을 주는 유용한 도구입니다. 우리는 수학을 통해 복잡한 문제를 간단하게 분석하고 해결할 수 있습니다. 예를 들어, 수학을 사용하여 데이터를 분석하고 추세를 예측할 수 있습니다. 인풋과 아웃풋 사이의 관계를 이해하는 것은 매우 중요합니다. 우리는 주어진 입력값으로부터 우리가 원하는 결과를 얻기 위해 어떻게 작동해야 하는지 결정합니다. 이러한 개념은 과학적인 연구에서도 매우 중요합니다. 수학 이외의 다른 분야에서도 인풋과 아웃풋을 고려하는 것은 모두에게 중요할 수 있습니다. 예를 들어, 노후를 준비하는 것도 인풋과 아웃풋의 문제입니다. 우리는 현재 가지고 있는 것을 바탕으로 미래에 어떻게 대비할지 고려합니다. 젊은 사람들은 현재의 20대를 어떻게 보낼지에 대해 생각하고, 30대는 직장생활을 어떻게 할지 고민합니다. 이러한 고민은 수학을 신경쓰지 않는 사람에게도 중요한 주제입니다. 그래서 인풋과 아웃풋을 더 명확히 이해해 보자는 것입니다. 예를 들어, 알바를 하는 사람들을 생각해보면, 주말에만 알바를 하는 사람도 있고, 평일에도 일하는 사람도 있습니다. 또한, 투잡으로 알바를 하다 보면 힘들어질 수 있습니다. 지치고 몸도 힘들어집니다. 그리고 가끔 편의점에 가서 삼각김밥을 먹기도 하고, 그로 인해 몸도 망가질 수 있습니다. 이럴 때 유혹을 받을 수 있습니다. 가령, 지금 하는 알바를 두 배로 늘리면 수입도 두 배로 늘어날 것이라는 생각이 들 수 있습니다. 지금 가지고 있는 돈이 꽤 괜찮은데 어떤 좋은 기회가 생겨 인풋을 두 배로 늘릴 것을 고려하는 것은 아웃풋도 두 배로 늘어날 수 있다는 생각입니다. 이런 생각은 매우 자연스럽습니다. 하지만 실제로는 그렇게 간단하지 않을 수 있다는 것을 기억해야 합니다.

지금까지 이야기한 내용을 조금 정리해드리겠습니다. 왜 우리가 지금 수학을 배우는지에 대한 질문과 미적분학은 그다음에 다룰 주제입니다. 기본적으로 우리는 무언가를 배워서 활용하고자 합니다. 또한, 우리는 사고방식에서 인풋과 아웃풋의 관계를 고려하고 있으며, 이 과정에서 인풋 대비 아웃풋은 선형적인 방식으로 이해되고 있습니다. 그러나 실제로는 생활에서 비선형적인 요소들을 고려하지 않고 간단하게 맞추기만 하면 되는 경우도 있습니다. 

다만 우리 각자의 삶에서 일어나는 일들을 하나하나 유심히 들여다보면, 실상은 대부분의 경우 아주 명확하게 인풋 대비 아웃풋이 결코 아닌 일들이 태반입니다. 고민하면 할수록 인생은 이해하기 어렵다는 것을 깨닫게 되기도 하는 것은 합리적인 예측에 대한 반례가 많기 때문입니다. 예를 들어, 우크라이나 전쟁에서 희생된 사람들은 자신들이 잘못해서 그런 일이 발생한 것이 아닙니다. 또한, 현재의 SNS 인플루언서들이 100년 전에 태어났다면 그런 인플루언서가 되었을까요? 이탈리아에서 성공한 축구 선수들이 100년 전에 태어나서 돈을 많이 벌었을까요? 인생은 계획한 대로 흘러가지 않으며, 많은 운적인 요소와 내가 통제하지 못하는 인풋과 아웃풋이 얽혀서 구성됩니다. 인생이 계획한 대로 흘러가지 않는다는 것을 알게 되면 겸손해지는 면도 있습니다. 내가 생각한 대로 되지 않는다는 것을 알게 되었습니다. 그러나 그렇다고 열심히 살지 말아야 한다는 의미는 아닙니다. 그럼에도 불구하고, 우리는 내일을 알 수 없습니다. 이를 수학적으로 멋지게 표현하면 어떤가요? 실제로 인풋 대비 아웃풋의 관계는 결코 선형적이지 않습니다. 예를 들어, 두 배만큼 더했다고 해서 결과도 두 배가 되는 것은 아닙니다. 이는 간단한 사고 방식으로 생각하기 편하지만, 실제로는 인생은 예측할 수 없습니다. 이를 수학적으로 다르게 표현하면, 우리가 특정 집합과 함수에 관심이 있다고 가정할 때, 실제로 그 결과가 어떻게 될지는 알 수 없습니다. 대부분의 함수는 선형적이지 않을 것입니다. 그러나 이에도 불구하고, 인간은 더 깊이 생각해볼 수 있습니다. 그러나 이 가운데 우리가 산수의 영역에서 정말로 할 수 있는 연산은 사칙연산뿐입니다. 아무리 어려운 수학적인 이야기를 해보았자 결국은 숫자를 더하고 빼고 곱하고 나누는 것으로 환원 되는 이야기일 뿐입니다. 예를 들어, 인풋을 'x'로 설정한다면, 우리가 할 수 있는 연산은 더하고 곱하고 나누고 빼는 것뿐입니다. 일반적으로 우리가 x로부터 결정되는 아웃풋은 이러한 연산을 통해 얻어지는 함수입니다. 당연히 이는 선형함수가 아닐 것입니다. 이를 다항함수라고 합니다. 따라서 일반적으로 우리는 다항함수의 계수들을 알아내는 방법인 미분을 통해 인풋 대비 아웃풋을 알 수 있다고 말할 수 있습니다. 따라서, 다항함수의 각 계수를 정확히 알아낼 수 있다면 우리는 인풋 대비 아웃풋의 관계를 알았다고 말할 수 있습니다. 이를 위해 일반적으로 미분을 사용합니다.

 
만약에 이게 함수의 예를 들어볼까요? 여러분들이 돈을 버는 함수라고 해볼게요. 예를 들어, 함수가 이렇게 주어져 있어요. 보는 겁니다. 그러면 이게 무슨 의미냐면, 내가 지금 인풋으로 이만큼을 어떤 어떤 신만큼을 넣어요. 그러면 나는 그거를 뻥튀기에서 얻어요. 아웃풋에서는 아웃풋은 뻥튀기에서 얻는 거에 10배를 또 뻥튀기하는 거예요. 맞죠? 그래서 똑같은 인풋을 투자하더라도 누군가는 이것만 갖고 있는 사람과 이것까지 갖고 있는 사람, 그리고 이거를 갖고 있는 사람들의 아웃풋은 완전히 달라집니다. 이것도 자본주의의 모순 중 하나죠. 똑같은 인풋을 들이더라도 아웃풋은 완전히 다를 수 있어요. 그래서 멘토들이 이런 사람들을 좋아하지 않는 이유 중 하나가 각 사람마다 인풋과 아웃풋의 관계가 보통 너무 다르기 때문입니다. 사람마다 다른 거예요. 형제나 남매 관계라고 하더라도, 다 다른 사람 이고, 비슷한 사람이 똑같은 일을 한다고 해도 결과가 같을 리가 없거든요. 각 사람의 환경, 기질, 성격, 역량 등에 따라, 수많은 요소들이 실상 다른 건데, 이런 것들이 분명히 모두 반영되어야한있다고 말할 수도 있을 거예요. 그래서 우리가 이런 것들을 정확히 알아내는 것은 의사결정에서 굉장히 중요합니다. 예를 들어, 내가 두 가지 선택을 할 수 있는데, 하나는 함수가 이차에서 끝나고 하나는 함수가 1차에서 끝나요. 그리고 내가 똑같은 인풋을 넣었을 때 최대의 효용을 얻고 싶어요. 그러면 이차 함수의 양수 개수를 가정한다면, 그걸 선택하는 게 맞겠죠. 적어도 그 걸 아는 가운데 선택하는 건 중요할 거예요. 그래야 내가 지금 어떤 선택을 한 건지를 알 수 있으니까 맞나요?

자 그러면 질문이 이렇게 됩니다. 이걸 어떻게 결정할 수 있느냐? 여기서 뭐가 등장한다고요? 미분이 등장한다고 왜 이게 미분이 등장해요? 예를 들어 덧셈과 곱셈만으로 결정 되는 함수인 f(x)=a_0+a_1*x+a_2*x^2+...+a_n*x^n 을 생각할 때에 이 함수의 인풋인 x에다가 0을 집어넣어 볼게요. 0을 집어넣으면 x가 다 죽습니다. 그러면 a0가 나와요. 그다음에 a_1 알고자 하면 함수 f(x)를 미분하면 돼요. 상수 a_0은 미분하면 죽습니다. 그런데 a0는 어차피 우리가 아는 거에 관심 없어요. 끝. 그다음에 뭐가 되냐면 a1이 나와요. 맞죠. x의 1승을 미분하는 거 같아서 정확하게 a_1이 나와요. 그래서 a1은 미분 계수로 표현이 되네요. 그러면 여기서 눈치 채시죠. 또 미분 해주면 두 번 미분하면 이제 다시 a1, 우리가 이미 아는 거 없어져요. 그리고 뭐가 남냐면 a_2가 남아요. 이런 방식으로 함수 f(x)가 미분으로부터 완전히 결정이 되는 거죠. 함수를 정확하게 알아내기 위해서 그래서 결국 이런 얘기입니다. 우리가 인풋 대비 아웃풋의 관계를 함수로써 표현하는 순간 함수의 정보를 정확하게 알아내는데 그러니까 반드시 필요한 도구가 뭐가 되는 거예요? 미분이 되는 거예요. 이는 인풋 대비 아웃풋을 수학적으로 찾아내는 방법이기 때문에 그래서 중요합니다. 그리고 여기서 대전제는 뭐가 숨어있는 거냐면 함수가 일반적으로 선형이 아니라는 거가 포인트예요. 그러니까 우리는 그냥 이렇게 직관적으로 생각하는 거를 만약에 정량적으로 정확하게 말하려는 순간 이런 식으로 표현할 수 밖에 없기 때문이죠. 그리고 이거 중요하냐? 엄청 중요해요. 결국 우리가 신경 쓰는 함수에 대해서 정확하게 알아내기 위한 도구로서 미분이 필요하다는 것을 이해할 수 있습니다.