다까수 첫 시간에 오신 분들 다 환영합니다. 이 시간이 반년 갈지, 1년 갈지, 뭐 이상일지 이하일지는 지금 모르겠지만, 그 기본적으로 참여하시는 분들이 있으시면 계속 하게 될 거 같구요 매주. 뭐 다 기본적으로 취지들을 알고서 들어오셨겠지만, 한 차례 더 좀 설명을 좀 드리겠습니다. 정말로 다 까먹으신 분들한테 도움이 되고자 하는 취지에서 만들고자 하는 건데요. 제가 좀 약간 생각하는 타겟은 어느 경우냐면 소위 말해서 군대 갔다 와서 복학하고 다 까먹은 엉아들을 제가 상상을 하거든요 마음속으로. 어떠한 이공계 쪽으로 대학을 갔어요. 근데 보통 이제 군대에 뭐 지금은 좀 더 줄긴 했지만, 이 년 갔다 오면 진짜 다 까먹고 오거든요.
그리고 나서 이제 어떤 헤매던 그런 엉아, 옛날에 제가 대학 다니던 시절의 엉아들을 생각하면서, 그분들이 실제로 전공 수업들을 따라갈 수 있도록 하는 거 그리고 실제로 요새는 수능에서 실제로 이공계에서 나중에 필요한 코어 내용들이 빠진 것들이 꽤 있습니다. 그중에 하나가 대표적인 게 행렬, 즉 선형대수학인데요. 이런 것들을 좀 약간 와닿도록 이게 어떻게 실제로 예 네 말년 병장이 정말로 들어오셨네요. 환영합니다. 그런 분들을 정말로 생각하면서 만들고자 하는 거 맞습니다. 약간 일단 그런 분들을 타겟으로 하고자 하구요. 수학을 배울 때 특히 학부 수학을 배울 때 두 가지가 좀 약간 좀 어떤 방향성이 있어요. 하나가 이제 전공 수학 방향이 있고 비전공 수학 방향이 있는데, 일단 다까수는 비전공 수학 방향을 추구합니다.
좀 구체적으로 설명하면 어떤 차이가 있냐면 수학 공부에서 전공 수학 방향은 계산이 없어요. 다 문제가 증명하시오입니다. 그래서 채널에서 가령 이제 기초 증명 수업을 보면 계산이 없고, 다 이거 왜 되는지 이제 정당화하라 보여라 이런 게 전공 수학생들이 공부를 해야 되는 내용들인데. 그 전에 어디서 자신감을 얻어야 되냐면 비전공 방향에서 자신감을 얻어야 돼요. 근데 이 비전공 방향이라고 하는 어떤 거냐면 모든 게 다 계산에 대한 얘기예요. 그래서 쫌 더 적합하게는 계산을 할 수 있는 설계되어 있는 문제들을 토대로 해서 문제들을 해보면서 나도 좀 할 수 있구나라는 자신감을 좀 얻는 거를 좀 목적으로 합니다. 그래서 좀 수학에 대해서 관심이 좀 있으셨지만 그동안 나 좀 수학하는 거 너무 힘들다 하시던 분들의 경우는 이 컨텐츠가 도움이 좀 되실 거라고 생각을 해요.
제가 그렇게 말씀드릴 수 있는 근거는 제가 학교에서 티칭을 할 때 이런 1~2학년 어떤 비전공 과목들을 많이 가르치거든요. 한 보통 모으면 150명, 160명 이렇게 모아서 가르치는데 미국 학생들 중에서 잘하는 친구들은 정말 잘하는데 정말로 수학적인 배경이 없는 친구들 정말로 없거든요. 그런데 그 애들을 다 추스리면서 가르칠려면 전 속으로 어떻게 생각하면 솔직하게 가르치자면 중학생이라고 생각하고 가르쳐요 정말로. 왜냐하면, 이게 무시하는 의미가 아니라 그렇게 생각하고 가르치지 않으면 이거를 맞추는 게 정말로 불가능해요. 그래서 이 수업은 정말로 그렇게 할 겁니다. 그래서 어떤 중학교 수준의 수학들을 따라오실 수 있는 분들이면 이 수업을 따라오실 수 있으실 거고요 기본적으로. 그리고 사실 그것보다도 더 쉬울 겁니다. 솔직히 말씀드리면, 그래서 자신감을 좀 얻으신 다음에 어떤 거를 혹시나 좀 기대하시면 딱 좋냐면 이제 고럼 내가 여기서 좀 더 advanced 방향으로 가보고 싶어라고 하시는 분들은 전공 방향의 수학들을 하시면 좀 자신감을 좀 잃으실 거예요. 근데 그것도 하나의 과정입니다.
왜냐하면, 처음에 좀 약간 당황하는 정서가 내가 이때까지 했던 거랑 왜 이렇게 다르지. 근데 다 사실 연결되어 있는 부분들이 되거든요. 잠시만요 지금 집에서 공사를 해가지고. 네 그래서 오늘 시작하기 전에 어떻게 이 다까수를 만들지를 말씀을 좀 드리면, 뭐를 제가 해드려야 되냐면 구체적으로 가지고 계산할 수 있는 거를 가지고 노실 수 있도록 제가 해드려야 돼요. 그리고 컨텐츠는 기본적으로 미적분학과 선형대수학에 대한 거를 다루어야만 돼요. 왜냐하면, 그게 모든 수학이 어떻게 보면 뿌리이기 때문에 그러면 그거를 어떻게 다루고자 하느냐 미분방정식에 대한 얘기부터 할려고 해요. 왜 미분방정식에 대한 얘기를 할려고 하느냐. 원래는 미분방정식을 대학교에서 수업을 열면 미적분학과 선형대수학을 아는 전제하에서 선수 과목으로써 미분방정식이 열려요. 근데 미분방정식을 다루다 보면 왜 미적분학과 선형대수학에 쓰일 수밖에 없는지를 볼 수밖에 없어요.
그래서 역순으로 미분방정식을 구체적으로 설명하는 가운데 미적분학과 선형대수학의 트릭들을 가르쳐드리는 방식으로 처음 내용들을 일단 만들 생각이에요. 그래서 실제로 대학교에서 배우는 미분방정식 얘기이기 때문에 가령 어떤 기계공학을 공부하시는 분들은 예를 들어, 진동학 그리고 전자공학을 공부하시는 분들은 어떤 필터랑 어떤 시스템 제어 쪽. 이제 그쪽에서 쓰이는 것들을 직접적으로 배운다고 보면 되겠고 PDF까지 안 합니다. PDE는 지금 기초수업 중에서 미분방정식 수업에서 해놨어요. 그래서 그거를 참고하시면 되겠습니다. 아시겠죠. 그래서 일단은 미분방정식에 대한 얘기들을 하면서 미적분학과 선형대수학을 일단 다룰 생각이고요. 현재 갖고 있는 생각으로는. 그리고 그게 끝나면 그다음에 다변수 미적분학을 구체적으로 다루어 나가기 시작할 거예요. 그러면 여전히 선형대수학 이런 것들은 들어갑니다. 그러면서 이제 다 하나하나 이제 계산들을 보면서 좀 약간 자신감들을 좀 얻을 수가 있는 그래서 매주 기본적으로 뭔가 문제들을 제가 드릴 겁니다 수업을 마치고. 그래서 그것들 한번 해보시면 돼요.
어떤 저는 어떤 성격으로 드리는 거냐면 매주 끝나고 뭔가 이제 학생들 입장에서 퀴즈를 보게끔 하는 그래서 이제 복습이 되는 거죠. 그걸 풀 수 있으면 먼저 내용 이해가 갔다 이렇게 이해하시면 되겠습니다. 그 오늘 얘기 시작하기 전에 혹시 본인 소개하고 싶으신 분들 있으신가요? 어떤 고정적으로 들어오고자 하셔 가지고. 어떤 좀 각오나 어떤 취지를 좀 알려주시고자 하시는 분들은 환영합니다. 네 이승우 님
네 방금 안녕하세요. 저는 이승우구요. 혹시 잘 들리시나요? 방금 슬랙에 기다리면서 잠깐 올렸었는데, 저는 이제 특성화고를 졸업해서 먼저 취업을 안 하고 군대를 가서 전역을 한 다음에 그다음에 이제 취업을 해서 이 년 정도 일을 하고 다음에 이제 프로그래밍을 배워보고 싶다해서, 이제 지금 학부 2학년생인데 1학년 때 일반 수학을 들었는데 그 되게 쉬운 주제였는데도 잘 모르겠더라구요. 그래서 수학 공부는 해야 되는 거 삼사 학년 때에도 과목이 있어서 해야 되는 거는 알았는데 뭐 어떻게 접근할까 해서 유투브로 수학 관련된 것도 봤고 근데 실제로 이제 공부한다기보단 그냥 컨텐츠 보는 그런 계속 그런 이제 뭐라고 할까요?
그러니까 공부하는게 아니라, 그냥 컨텐츠만 소비한다는 생각 생각이 들어서 이번에 수학의 즐거움 채널을 알게 되고 여기서는 실제로 같이 공부도 할 수 있고. 딱 제 수준에 맞는 좀 기초적인 강의라고 생각해서 참여하게 됐습니다. 앞으로 또 꾸준히 참여해서 제가 원하는 수학적 문해력을 얻어볼 수 있었으면 좋겠습니다. 감사합니다.
네 환영합니다. 혹시 또 다른 분들 있으신가요? 네 이우철 선생님
네 안녕하세요. 저는 이우철이라고 합니다. 저도 저는 회사 다닌 지가 너무 오래 돼 가지고 정말로 다 까먹었습니다. 근데 같은 경우에는 전공은 인문계열을 했구요. 경영학이랑 경제학을 공부를 했었고, 그 회사 생활은 한 16년 정도 했어요. 전체 다 해서 근데 뭐 금융에서 시작해서 뭐 건설업 하다가 제조업하다 좀 넘어다니면서 인더스트리를 많이 옮긴 편인데 그때마다 수학의 필요에 좀 많이 부딪쳤었어요. 그래서 그때마다 공부를 찾아서 하긴 했는데 이게 너무 파편화돼 있다는 걸 요즘 너무 많이 느껴서, 이거를 좀 채우고 다지고 훈련을 해야겠다라는 마음이 되게 많은 와중에 다까수가 이제 오픈을 한다고 해 가지고 이 과정과 동참하면서 좀 제 수학의 코어 근육을 좀 만들어보고 싶어서 참여하게 되었습니다. 네 앞으로 잘 부탁드리겠습니다. 알겠습니다.
예 환영합니다. 또 다른 분들 있으신가요? 네 박지원 선생님
안녕하세요. 저는 일반 고등학교에 지금 재학 중인 평범한 학생인데요. 학교 수업은 어느 정도는 따라가겠어 가지고 흥미도 가지고 그랬었는데, 그 어느 순간 그런 곡 생각이 들더라구요. 내가 이걸 왜 배우고 있지 그리고 이걸 배워서 뭐 어디다 쓰지 정확히는 이제 그런 질문에 답을 못 하고 있는 자신을 보게 돼 가지고 이번에 라이브는 처음 참가해 보는데 이렇게 같이 공부해 나가면서 뭔가 저도 많이 배우고 또 제 생각을 정리할 수 있을 것 같아 가지고. 참여하게 되었습니다. 감사합니다.
네 고생합니다. 그다음에 이상성 선생님
네 저는 지금 질문서도 듣고 뭐 증명 수업도 듣고 미분 수업도 다 미적분 수업도 지금 들었는데 아무것도 지금 잘 모르고 모르겠더라구요. 그래서 내가 너무 기초 없이 너무 이케 쌓고 있는 생각이 좀 들어서 기초를 좀 다시 좀 다지고 싶고. 이 수학을 너무 잘하 그니까 수학이라는 것에 대한 매력을 좀 많이 느끼는데, 매력을 느끼는 것만큼 제가 하지 못하고 있다는 생각이 들어서 조금 다시 좀 시작한다라는 마음을 가지고 좀 참석하게 됐습니다.
네 환영합니다. 좀 약간 이 시간은 좀 그런 취지가 있습니다. 그러니까 가령 직문수나 이런 컨텐츠는 소위 이제 숏컷으로 굉장히 방대한 분량들을 좀 어떤 요약한 성격들을 갖고 그리고 어떤 채널에서 열렸던 상반기의 기초수업들도 수학 전공을 기준으로 해 가지고 어떤 기초 성격에 해당하는 거지 그 전 단계들은 계속 있는데, 그중에서 대학교 대학을 어느 대학을 막론하고 이공계 공통으로 어떤 미적분학 선형대수학 미분방정식 이런 것들은 일단은 들어본 다음에 그다음에 이런 기초 성격들이 시작이 되는 거거든요. 그리고 보통 대학교에서 이런 과학들을 소위 코어로 아무리 적게 잡아도 이 년 동안 가르칩니다. 그러니까 그렇게 공통으로 가르치는 건 당연히 이유가 있는 것이고요. 그리고 이제 그것들이 정말로 이거 내가 이제 마음대로 주무를 수 있다고 했을 때 좀 그런 어떤 예를 들어, 증명 기초나 이런 내용들을 보면서 당황하기 시작하면서 배워나가는 게 좀 원래는 이제 맞는 순서인데, 지금은 약간 반대로 되어 있는 면들이 있습니다.
제가 그래서 이번에 어떤 왕엄수랑 다까수 자체는 직문수보다 난이도를 낮추는 게 목적입니다. 근데 낮추면서 제가 어느 기준에서 맞춰야 되는지를 요구를 하면서 좀 더 만들어 볼 생각이라 좀 저한테도 좀 새로운 어떤 좀 도전에 해당하구요. 그리고 요것들 하는 가운데 사실 가장 어떤 이제 가르치면서 있는 어떤 얻게 되는 보상이 좀 커뮤니케이션이거든요. 학교에서 150명 160을 가르치면 커뮤니케이션이 너무 불가능해요. 애시당초 그래서 본인들에 대해서 생각들을 좀 적절하게 드러내주시는 게 모든 의미에서 본인뿐만 아니라 도움이 됩니다. 저도 마찬가지고요. 그래서 솔직한 게 제일 좋습니다. 짜증도 좋구요. 그리고 뭐 물론 즐거움을 표현해 주시는 것도 당연히 도움이 됩니다. 혹시 뭐 다른 분들 또 뭐 자기소개 하고 싶으신 분들 있으신가요? 네 이성우 선생님
네 혹시 들리시나요?
네 들립니다. 예
네 저는 현재 데이터 사이언스랑 AI 쪽에 기초에 해당하는 과목들을 공부하고 있는데요. 여기서 좀 좌절들을 느낀 부분이 다 수학적인 장벽들에 해당이 됐어서 기초에 해당하는 내용들을 이게 찾아 공부하다가 이 채널이 오게 되었고. 또 다까수 이전에 이제 제가 공부해야 되는 해당해야 해당되는 내용들을 이제 찾아서 공부를 하다가 대화하면서 공부하는 이런 형식을 좀 저도 더 실시간으로 느끼고 싶고 공부하고 싶어서 다까수에 오게 된 것 같습니다.
네 환영합니다. 또 다른 분들 있으신가요? 첫 최애니까 드리는 기회입니다. 네 박지은 선생님
저번 주에 왕엄수 좀 기초라고 생각해서 참가했었는데 교수님도 추천해 주시기도 하고, 이번에 대학교를 다시 이제 컴퓨터 전공할려고 복학을 생각하고 있어서 공부하다 보니까, 좀 선형대수학 요즘 혼자서 공부하고 있는데, 좀 기초가 많이 필요하겠다. 싶어가지고 사실 중고등학교 때 수학을 열심히 안 했다가 미국 대학교를 갔는데 미국에서 고등학교 다니고 그랬는데 힘들었어가지고 다시 기초가 없는 상태로 처음부터 하다 보니까, 좀 힘든 부분이 많았었는데 이번에는 좀 차근차근 좀 수학의 장벽을 항상 못 넘었던 걸 좀 넘고 싶은 마음이 있어가지고 지원하게 되었습니다.
네 환영합니다. 네 더 다른 분들 또 있으신가요? 예 이재영 선생님도 네 가능합니다. 네 또 더 있으신가요?
질문 있습니다. 선생님
예 좋습니다.
응 이 다까수의 어떤 선행적인 학습이라고 하면, 중고등학 학교 때 수학이 필요할까요? 그런 거를 전제로 하고 들어야 되는 건가요?
아닙니다. 거기서부터 알려드릴 겁니다. 그래서 중학교 수학부터 알려드릴 겁니다. 실질적으로는요 하지만 좀 네 지금 제가 그걸 좀 잘 연결을 좀 해드려야 되는 몫이 좀 있습니다. 그래서 기본적으로 매주 수업이 마친 다음에 제가 두 문제 정도를 슬랙에다가 올려드릴 텐데 그것들을 하실 수 있으시면 됩니다. 그러면 내용들을 꾸준히 따라오시는 거는 별로 어렵지 않으실 겁니다. 자 기본적으로 저희가 지금 수학을 어떻게 다루고자 하냐면 어떤 계산을 토대로 다루고자 해요. 즉 산술. 근데 계산이라고 하는 것은 어떤 거냐면 덧셈과 뺄셈입니다. 죄송합니다. 덧셈과 곱셈과 곱셈입니다. 괜찮으시죠. 그래서 이번 주 왕엄수에서도 요 얘기부터 하기 시작했는데 기본적으로 저희가 수학을 신경 쓰는 것 중에 가장 큰 거는 연산이죠.
예를 들어서, 내가 지금 월급을 얼마를 받으면 곱하기 12를 하면 연봉이 되고, 예컨대 그리고 내가 오늘 라면을 먹으면 칼로리 소리가 얼마고 세 끼를 먹으면 칼로리들을 더하고 뭐 이런 식으로 저희가 덧셈과 곱셈을 기본적으로 하면서 살아간단 말이에요. 그쵸. 저희가 어떤 신경 쓰는 어떤 숫자들에 대해서. 그러면 저희가 중학교 때 지금 이 선생님께서 질문해 주신 거랑 바로 연결이 되어지는데, 초등학교 때 수학과 중학교 때 수학이 갈라지는 어떤 지점에 있어요. 약간의 문화 충격 그리고 보통 중학생 때 약간의 질풍노도 의 시기가 오지 않습니까? 저는 중학생 때 디아블로 2가 나왔거든요. 그래서 저는 중학교 시절에 리니지랑 디아블로 하다가 인생이 사라졌는데 요새 디아 4가 나와서 쫌 좀 참고 있는 중입니다. 근데 아마 조만간 지르지 않을까? 좀 생각이 솔직히 좀 들고요. 그랬을 때 중학교 때 저희가 어떤 충격을 받았냐면 초등학교 때 수학 잘하시던 분들 입장에서는 갑자기 x에다가 연산을 하기 시작해요. 초등학교 때까지 안 그랬거든요.
근데 x라는 걸 도입해 가지고 저희가 이런 짓을 해요. x+x는 2x 동의되시나요? x*x 는 그리고 보통 이제 저는 이것도 좀 충격이었던 거 같은데, 곱하기라고 안 쓰고 성의 없게 점 찍거나 아무것도 안 찍죠 그쵸. 그래서 이렇게 쓰면 이거 곱하기로 알아들어라 라고 한 다음에 이렇게 쓰자 라고 하잖아요. 그래서 저희는 여기서는 출발을 할 겁니다. 그래서 중학교 수학입니다. 그래서 저희는 문자에다가 덧셈과 곱셈을 하는 것들은 일단 기본적으로 받아들이기를 원해요. 그러면 예를 들어서, 저희가 이렇게 똑같은 문자에 대해서 덧셈과 곱셈을 각각 할 수도 있겠지만, 섞을 수도 있죠. 그러면 이렇게 나온 아웃풋들을 제가 섞어 가지고 예를 들어서, x*x랑 x+x를 이것들 각각을 하나의 어떤 아웃풋들로 본 다음에 이렇게 더해주게 되면 요렇게 쓸 수가 있을 겁니다. 괜찮나요? 그러면 저희가 여기 붙어있는 거를 소위 말해서 파워라고 하죠. 차수라고 부르구요.
여기 붙어있는 거를 계수 여에 이자 써서 계수 coefficient라고 부릅니다. 다 괜찮으시죠. 그러면 저희가 어떤 짓도 할 수 있냐면. 그러니까 지금 이렇게 만든 거는 그냥 뭐예요? 그냥 덧셈과 곱셈을 조합한 거에 지나지 않죠 어떤 x라고 하는 우리가 실제로는 어떤 숫자를 집어넣는 걸 염두에 둔 이런 어떤 문자를 도입하는 가운데 괜찮으시죠. 그다음에 여기다가 어떤 걸 곱해도 돼요. 요렇게 괜찮나요? 그러면 이렇게 곱해주게 되면 저희가 이렇게 분배를 해주죠 그럼 분배를 해주면 요렇게 되어져요. 다 괜찮나요? 자 그랬을 때 요런 덧셈과 곱셈을 가지고 만들어내는 거는 그러면 이 소위 말해서 두 번만 곱할 수 있느냐 그럴 리가 없죠. 예를 들어서, 지금 2023년이니까 x를 총 몇 번 곱할 수도 있어요. 예를 들어서, 2023번 곱할 수도 있어요. 괜찮나요? 그러면 우리는 그냥 이거 뭐라고 할 거예요. x의 2023이라고 쓸 거예요. 의미는 명확하죠. 그렇죠.
그러면 일반적으로는 저희가 x를 n번 곱해주게 되면 이렇게 나올 거예요. 그리고 여기서 n은 어떤 자연수일 겁니다. 괜찮나요? 여기까지 질문 있으시면 해주셔도 괜찮습니다. 여기서 저희가 지금 했던 생각을 반복을 하면 x를 n번 곱해주게 되면 x의 n승이라고 쓰면 되겠구나. 라는 거를 보는 거는 어렵지 않아요. 동의가 되시나요? 자 그러면 여기서 수학을 할 때는 생각을 하죠. 그러면 여기서 쫌 더 생각을 확장해 볼 생각을 하는 거예요. 뭐냐면 곱셈만 잊지 않고 사실은 나눌 수도 있잖아요. 나눌 수도 있잖아요. 그러면 예를 들어서, x랑 x를 나누면 우리는 이거가 1이 돼야 된다는 걸 알고 있어요. x랑 무관하게 동의가 되시죠. 근데 이 기호는 x의 1승과 x의 1승을 뺀 걸로써 표현할 수가 있기 때문에, 즉 우리는 x의 0승을 1이라고 받아들일 거예요.
그래서 x를 n승을 해준 거가 자연수에 의미했을 땐 곱셈의 의미를 갖는데 만약에 저희가 0승의 개념을 받아들이면 x가 물론 여기선 0이 아닌 경우는 지칭하긴 합니다만 그래서 이제 일반적인 x에 대해서 x의 0승은 저희가 1로 받아들일 겁니다. 괜찮으시죠. 그러면 이걸 토대로 해서 저희가 어떤 생각을 할 수 있냐면 음수에 해당하는 차수도 받아들일 수가 있어요. 왜냐하면, 나눗셈이 그거를 지지하니까 괜찮죠 그러면 저희가 예를 들어서, 1 나누기 x 이거는 x에 0승 나누기 x의 1승이므로 저희가 이거를 이렇게 받아들이고 싶고 그래서 이거를 저희가 이렇게 받아들일 거예요. 그래서 이렇게 쓴 거는 실제로는 역수의 의미로써 저희가 받아들일 겁니다. 그러면 이렇게 연산들을 받아들이면 예를 들어서, 저희가 뭐 예를 들어, -n승이다. n이 자연수라고 하면, 그러면 이렇게 받아들이면 되는 것이죠. 괜찮죠 그래서 저희는 이것들을 실제로는 더하고 곱하고의 사실 모든 조합으로써 다 요것들을 표현할 생각을 할 거예요. 괜찮나요?
그러면 요 타입들을 생각을 해보면 가장 쉬운 거를 생각해보면 하나가 x를 더 이상 안 곱하는 녀석이 있다고 하면, 이런 게 있겠구요. 그래서 a, b는 숫자 괜찮나요? a, b는 숫자 그리고 만약에 x를 제가 두 번까지만 곱하는 걸 생각해 주게 되면 이런 식으로 쓸 수도 있을 거예요. 여기서 a, b, c는 숫자 그랬을 때 저희가 어떤 룰을 받아들일 거냐면 그래서 지금 이 기호들이 가르쳐주는 바는 일단 여기에는 x를 두 번 곱해요. 괜찮죠 x를 두 번 곱해요. 그리고 a라는 숫자를 곱해요. 그래서 어떤 거를 만들어요. a x^2이라고 제가 부르는 그리고 b라는 숫자에다가 x란 미지수를 곱해요. 그다음에 두 개를 더해요. 그리고 거기다가 저희가 추가적으로 c를 더해요.
그랬을 때 저희가 이런 기호를 받아들인다는 의미는 어떻게 받아들이는 거냐면 연산 순서가 상관이 없다라는 거를 전제로 하는 가운데 이렇게 더하고 이렇게 더하나 이렇게 먼저 더하고 이렇게 더하나 이렇게 더하고 이렇게 더하나 다 아웃풋이 똑같다라는 대전제 하에서 이렇게 하고 있는 거예요. 그니까 실제로는 어떻게 생각하고 있는 거냐면 덧셈과 곱셈은 뭐가 성립한다. 교환이 성립한다는 거를 전제로 하고 있는 겁니다. 그래서 보통 이제 수학의 천재로 일컬어진 가우스가 어린 시절에 1부터 10까지 더한 거가 5050이다라는 걸 알아냈다고 하잖아요. 그거 어떻게 알아낸 거예요. 덧셈의 교환이 성립하는 걸 생각한 거죠. 그래서 1과 1을 더해주면 101이고 2와 99를 더해주면 101이고 그게 총 50개가 좀 있어야 되기 때문에 101 곱하기 50으로 환원하니까 5050이다 이렇게 생각을 한 거죠. 실제로는 생각의 과정에서 덧셈이 교환이 되기 때문에 착착 해주면 하나는 1씩 더해지고, 하나는 1씩 줄어드니까 이게 총 50개 있구나 이렇게 생각을 하면 사실 할 만한 생각이었던 거죠. 예 괜찮으시죠. 저희가 지금 하는 여기서 얘기에 지나지 않습니다.
자 그랬을 때 저희가 그 규칙으로 기본적으로 어떤 식으로 나열할 거냐면 보통 여기 차수가 높은 거를 위에다가 처음에 씁니다. 다음에 차수를 계속 내려가면서 쓰는 이 방식을 소위 내림차순이라고 부릅니다. 왜 이렇게 쓰느냐 편해서 그래요. 이유는 굉장히 단순합니다. 이렇게 저희가 쓰는 것은 언제나 꼭 이렇게 써야 되는 거 아니고 올림차순으로 쓸 때도 있고 쓸 때도 있어요. 근데 99%의 경우에는 이렇게 쓰는 것들을 선호합니다. 그래서 저희는 앞으로 어떤 문자들을 계산하고 나열해야 되면 어지간하면 내림차순으로 쓰도록 할 겁니다. 괜찮죠 자 그러면 저희가 얘기들을 하기에 앞서 가지고 두 가지 정도 계산을 하실 줄 아셔야 되는데요. 제가 연습을 좀 시키겠습니다. 어렵지 않고 혹시나 이제 약간 코멘트들 있으면 해주시면, 됩니다. 제가 난이도를 좀 높여 나가기 시작할 건데요. 자 좀 해보죠. 연습입니다.
예를 들어서, 제가 x+1 뭐 x+2 요거를 계산하라고 했어요. 그러면 이거 다 어떻게 할지 아시죠. 어떻게 하냐면 이런 식으로 소위 이제 분배를 해주죠 괜찮나요? 제가 실제로 이렇게 안 할 겁니다. 마음속으로는 근데 제가 이제 처음 첨 처음 차근차근 설명을 한 대로 하면 그럼 x^2이 먼저 나오고 그 다음에 2x가 나오고 그 다음에 x가 나오고 그다음에 1*2가 돼서 2가 나오니까 요렇게 나오죠. 맞죠. 이미 어떤 분들은 암산으로 이거네라고 보시는 분들도 꽤 있으실 거예요. 괜찮으시죠. 여기서 쫌 난이도를 쪼끔만 더 높여보자 그러면 만약에 제가 이거를 여긴 2를 곱해 놓고, 여기는 3을 곱해 놓고, 여기는 4라고 할게요 요렇게 해도 혹시 대충 암산이 되세요. 그러면 이거 결과가 어떻게 될 거냐면 내림차순으로 나열해서 6 x^2이 있고 그리고 뭐가 있냐면 8이랑 3이 있어 가지고 11x 나오고 그리고 4가 나올 겁니다. 괜찮죠 할 만하죠. 자 그래서 일반적으로 ax+b 그리고 이것도 전제로 갑니다.
외우셔야 되는 거 없습니다. 아시겠죠. 어떤 제가 어떤 포뮬러들은 나중에 유도를 하겠지만, 한 번 유도를 이해한 다음에 까먹으면 돼요. 그리고 나중에 필요하시면 이거 어떻게 했더라고. 들춰보시면, 됩니다. 그래서 수학 기본적으로 외우는 게 아닙니다. 아시겠죠. 이해를 하셔야 됩니다. 본인만의 어떤 감으로써 자 그리고 이거를 일반적으로 숫자를 이제 문자로 해서 a, b, c, d라고 하더라도 똑같죠 그러면 어떻게 분배되는지 보이시죠. 그러면 이게 어떻게 될 거냐면 ac x^2, ad+bc + bd 이렇게 나올 거예요. 하실 수 있으시겠어요. 어렵지 않으시죠. 그쵸. 그래서 이런 게 실제로 중학교 수학에서 실제로 시작하는 부분들 이 됩니다. 굉장히 저희가 어려워하면서 배웠던 것들이에요. 사실은 자 여기서 근데 진짜로 중학교 수준에 머무르고 싶지는 않거든요. 그래서 좀 난이도를 차이에서 좀 높여볼게요 그리고 여기 계신 모든 분들이 이 계산을 다 따라오실 수 있게 설명을 해 보겠습니다. 자 제가 여기서 난이도를 한 번 높여서 어떻게 하면 난이도 높일 수 있어요. 한 번 더 곱하면 되죠.
자 이거 계산하실 수 있으시겠어요. 암산으로 이제 슬슬 머리가 좀 아프기 시작합니다. 이걸 어떻게 암산으로 하는 거예요. 물론 이렇게 해도 되죠. 예를 들어서, 처음 두 개를 곱해요. 그럼 처음 두 개는 대충 이렇게 되는 건 보이시죠. 그다음에 얘까지 더 있으니까. 한 번 더 분배를 해주면 뭐가 나오겠죠. 그쵸. 이렇게 할 수 있겠지만, 사실은 이건 답이 뭐냐면요 제가 한 번에 적어드리면, x^3 + 이거가 답이거든요. 저 원고 없습니다. 자 제가 이제 물어보는 거는 뭐냐면 제가 이거 어떻게 했을까요? 설명하실 수 있으시겠어요. 어떻게 해서 하는 건지 그러니까 저는 머릿속으로 이렇게 생각하지 않았 이렇게 생각하지 않았습니다. 어떻게 하면 이거 한 번에 할 수 있죠. 자 한 번 하나 더 예를 들어, 드릴게요. 예를 들어서, 제가 이번엔 더 섞어서 이제 난이도를 많이 높여보죠.
3x + 2, 5x + 4 슬슬 안드로메다로 가기 시작합니다. 자 이러면 어떻게 하면 될까요? 제가 또 한번 해볼까요? 한 번에 할려니까 어렵네요. 사실 설명을 하면서 하는 게 나을 것 같습니다. 이거는 제가 잠깐 놔두고 자 혹시 제가 이거 어떻게 계산했는지 눈치채셨어요. 어떻게 하는 건지 네 정답입니다. 어려운 단어가 나왔죠 동류항이라는 단어가 나왔는데요. 제가 어떤 정서를 좀 공감하시라고 이것부터 얘기를 하는 거냐면 실제로 저희가 이 계산은 할 겁니다. 이런 식으로 할 거라서 필요한 것도 있지만 그 약간 정서적으로 받아들이시는 게 좋아요. 그러니까 뭐냐면 제가 지금 테크닉을 배운다기보다는 이거 할려는 순간 어떤 마음이 들어요. 하기 싫어요.
그래서 어떻게 보면 수학을 할 때 중요한 점 중의 하나는 이게 귀찮다라는 것과 클릭이 좀 돼야 되거든요. 이렇게 하기 싫어 그러면 시점부터 인간이 뭘 하기 시작합니까? 생각을 하기 시작합니다. 왜요? 하기 싫으니까. 그래서 실제로 저희가 이제 중학교 때 유클리드 기하를 배웠을 때 고등학교들 넘어온 얘기긴 하지만 좌표평면 그랬잖아요. x, y 이거 왜 한 거예요. 데카르트가 파리 날라다는 걸 보면 생각한 거죠. 얼마나 게으른 겁니까 다른 의미에서 말한다면. 그래서 실제로 요렇게 하기 할 줄 몰라서가 아니라 하기가 싫기 때문에 저희는 다르게 생각을 하고 싶은 거예요. 이 수긍이 가시죠. 그러면 어떻게 생각하는 거냐면 이거를 제가 아래로 내려놓을게요 같이 하기 위해서 아래로 내려놓고 그 제가 이거 다 지워놓고 다시 한번 볼게요 그러면 확실한 거는 뭐예요? 이거를 볼 때 x는 총 몇 번까지 곱해질 수 있어요. x는 총 세 번까지밖에 못 곱해져요. 동의가 되시죠. 그러니까 소위 말해서 최고차항의 차수는 3이에요. x를 4번 곱하는 일은 생기잖아요.
그럼 나머지는 x를 3번 곱하던가 2번 곱하던가 1번 곱하던가 1번도 안 곱하던가 4가지 경우 밖에 없잖아. 그러니까 그리고 이렇게 하시라고 제가 말씀드리는 겁니다. 이게 훨씬 더 정확하고 빨라요. 대부분의 어떤 하시는 방법들에 비해서. 그냥 이렇게 쓰고 시작하는 거예요. 요렇게 저는 이 괄호가 뭔지는 신경 쓰지 않아요. 이거는 채워질 겁니다. 이해가 되시죠. 근데 확실한 거는 x에 대해서는 최고차항은 3이에요. 이해가 가세요. 그다음에 채워요 어떻게 채우면 돼요. 3이라는 거는 무조건 x들만 봐야 돼요. 그러면 이거 앞에 붙어있는 숫자가, 즉 계수가 111이죠. 그러니까 얘는 1이에요. 끝 그 다음에 얘는 2개가 선택돼야 되죠. 그러면 2개 선택할 수 있는 조합이 총 3가지가 있죠. 그러면 xx 고르고 3, xx 고르고 2, xx 고르고 1 그리고 그것들은 다 더해지겠죠.
다 다른 거니까. 이해가 되셨어요. 그리고 x가 골라준다는 거는 x는 한 번만 곱해 선택이 돼야 돼. 그러면 x 고르고 나머지 상수 여기서 x 고르고 나머지 상수 그리고 마지막으로, x 고르고 상수 이렇게 되겠죠. 그리고 맨 마지막 거는 x가 골라지면 안 돼요. 그러니까 숫자만 골라야 돼요. 그러니까 123 이렇게 생각하면 되겠죠. 이게 아까 분배한 것 따위랑 비교도 안되게 편하죠. 근데 사실은 같은 거죠. 실제로는요 이해 가시나요? 그래서 예전에 어떤 주판을 배우신 어떤 세대들도 있으시겠습니다만 이렇게 함으로써 저희는 이제 3차랑 4차도 두려워하지 않고 어떠한 만약에 어떤 멋져 보이고 싶으시면 암산도 하실 수가 있는 겁니다. 봐봐 하면서 딱 바로 이제 대충 뭐 하는 법 이해가 가시죠. 그러면 이것도 이제 암산으로 한번 해볼까요? 그러면 이런 계산이 나왔어요. 그러면 저희가 여기서 보는 거는 그냥 단지 뭐예요? x에 대해서 총 3차 최고차항의 차수는 3차이다.
그러면 그냥 어떻게 채워요? 그냥 요렇게 채워요. 그니까 먼저 그냥 괄호를 쓰고 시작하는 겁니다. 이 내부가 어떻게 사는지는 그냥 대충 이렇게 벌려놓구요. 그다음에 메꾸는 거죠. 이해 가시죠. 그러면 처음에 3승이 되는 거는 x만 선택해야 되므로 235 이건 다 곱해져야겠죠. 곱하는 거니까요 분배를 하는 과정에서 이해가시죠. 그리고 x 죄송합니다. 이거 x^2이죠. 다음에는 x를 2개 골라야 돼 그러면 2,3 그리고 4 이해 가시죠. 왜냐하면, x가 골라지고 나머지는 상수가 골라져야 되니까. 그리고 여기서 제가 3,5를 고르고 3 그리고 마지막으로, 또 뭐가 남았나요?
제가 지금 3,5를 고르고 3을 골랐고 그다음에 얘도 썼고 마지막으로, 얘가 남았죠 2,5를 고르고 2 요렇게 이해됐죠 그리고 x가 하나만 골라줘야 되기 때문에 얘 고르고 나머지 상수 그러면 2,4 그리고 여기서 3 고르고 3,4 그래서 5 고르고 숫자 이렇게 마지막 거는 정해졌죠 3,2,4 하실 수 있으시겠어요. 안 어렵죠 이렇게 하면 굉장히 빠르고 정확합니다. 그리고 약간 3차 4차도 실제로 조금만 편한 거는 그냥 눈으로 그냥 보여요. 패턴이 그래서 분배를 하지 마시고, 앞으로 계산이 나오면 이렇게 하시는 법들 제가 이제 학부생들한테 알려주는 계산 치트키 중에 하나거든요. 이게 굉장히 많은 경우 요긴해요. 별거 아닌 것처럼 보이지만 그 이해 가시죠. 어떻게 하는 건지 의문 없으시죠.
그래서 하나는 요 계산 따라오실 수 있으시면 되구요. 괜찮죠 저희가 계속 이런 계산들을 할 겁니다. 그리고 또 하나 연습해야 되는 게 뭐가 있냐면 완전 제곱 그 질문 있으시면 해주셔도 괜찮습니다. 그래서 제가 이번 주 끝나고는 이런 걸 하나 드릴 거구요. 한번 해보시라고 이해 가시죠. 완전 제곱은 어떤 거였냐면 a+b의 제곱이 이거 이제 굉장히 매우 쉬운 계산이죠. 그래서 a^2 +2ab + b^2이 되는 거 이것도 여러 방법으로 하실 수 있으시겠죠. 분배를 해도 될 거구요. 그리고 뭐 사실 그냥 눈으로 거의 그냥 대부분 그냥 보이실 겁니다. 괜찮으시죠. 그리고 여기서 만약에 제가 여기다 빼기로 바꾸더라도 이 부분을 그러면 이걸 빼기로 바꾸면 여기만 빼기로 바뀔 겁니다. 이것도 눈에 보이시나요? 뭐 어렵지 않습니다. a-b, a-b 해주면 분배해 주면 2ab 앞에는 숫자가 이제 음수여야 됩니다.
괜찮죠 자 이거를 역으로 생각하는 거가 필요합니다. 무슨 말이냐면 저희는 많은 경우에 이게 먼저 있을 거예요. 얘가 먼저 순서가 그러면 이거를 단순화하는 과정에서 이걸 완전 제곱으로 바꿀 겁니다. 그러면 그냥 이거 어떻게 바꾸라는 얘기냐면 a+b의 제곱으로 바꾸라는 뜻이에요 이렇게. 괜찮죠. 그 얘기는 이걸 약간 형태로 변형을 할 건데, 만약에 얘만 있어요. 얘만 있어요. 그러면 어떻게 하란 얘기예요. 여 이거는 여기다가 이걸 완전 제곱으로 만들어주기 위해서 b^2을 더해 주고 그리고 equal이 돼야 되기 때문에 b^2을 다시 빼줘야겠죠. 왜 이렇게 하는지 이해 가시죠. 요렇게 해 준 다음에 그다음에 완전 제곱을 하라는 뜻입니다. 요 뜻입니다. 이해가 되셨어요? 자 그러면 이거 어떻게 꺼내는 거냐면 지금 여기가 정확하게 두 수를 곱한 거에다가 2가 붙어있는 패턴을 이용해서 이 b를 찾아내는 거죠.
괜찮나요? 그러면 예를 들어서, 저희가 얘를 완전제곱 형식으로 쓰고 싶어요. 그러면 어떻게 쓰면 됩니까? 그러면 실제로는 2ab에서 여기서 a가 x인 형태고 그럼 b가 1일 수밖에 없죠. 이 경우는 그러니까 요렇게 적혀야 돼요. 그래서 일 형식을 만들어줘서 a+b 제곱 형식을 만들고 똑같은 거 해야 되니까 1을 빼줘야 돼요. 그러면 이게 형식이 요렇게 될 겁니다. 괜찮죠 자 그러면 여기서 조금 수준을 올려보겠습니다. 만약에 제가 예를 들었어요. 그럼 이거 어떻게 하란 얘기예요. 그러면 여기서 이 형태가 좀 골치 아픈 게 이게 2라서 골치가 아파요 그래서 2를 없애고 싶어요. 그러면 어떻게 해주면 돼요. 묶어주면 됩니다. 이해됐죠 묶어주면 됩니다. 그러면 어떻게 돼요. 그다음에 우리가 아는 걸 이용해서 이렇게 바꾸고 이제 한 번에 하겠습니다. 이렇게 바꾸고 그리고 이렇게 빼주면 됩니다.
괜찮죠 만약에 그럼 이제 좀 더 한번 해보겠습니다. 만약에 그러면 제가 이렇게 해드렸어요. 완전제곱으로 바꿔라 라고 하면, 머릿속으로 이렇게 하는 겁니다. 어떻게 하냐면 3으로 일단 묶어야 돼요. 얘는 없어져야 되니까. 동의가 됐죠 3으로 묶어요. 그러면 여기 앞에 붙어있는 게 2가 되죠. 그러면 이거와 b가 뭐가 되냐면 b가 1일 수밖에 없죠. 이해 되시죠. 그러니까 얘가 x+1의 제곱 형태가 될 거고요. 맞죠. 그리고 1을 빼줘야 되죠. 1을 빼주는데 빼주는 과정에서 3이 곱해져 있죠. 그러니까 빼기 3 그리고 7 그냥 살포시 얹어주면 되죠. 한 번에 할 수 있으시겠어요. 생각하는 과정 이해가 있어요. 3으로 먼저 묶었어요. 그러면 2x가 나오잖아요. 그러니까 b는 1이어야 돼요. 그러니까 여기가 1로 묶입니다. 그리고 나서 상수만큼 더 있으니까. 상수만 빼줘야 돼요. 그래서 빼기 1 해야 되는데 앞에 3이 붙어있어요. 그러니까 빼기 3으로 나옵니다. 그리고 얘는 그냥 살포시 얹어주기만 하면 되죠. 계산한 법 이해 가세요. 조금 더 높여보겠습니다.
만약에 이렇게 그렸어요. 그러면 어떻게 돼요. 머릿속에 생각하는 법 보이시죠. 2 묶어요. 그다음에 3 나오죠. 그러니까 이거는 뭐가 돼요. 이렇게 나와요. 맞죠. 그리고 제곱 이해가 있어요. 2 붙고 3 엑스 나왔고 그리고 그거가 이가 다시 붙은 형태이기 때문에 다시 2분의1 로 나눠줘야 됩니다. 그리고 여기서 상수가 2분의3 의 제곱에다가 2가 곱한 게 뛰어나가야 되죠. 이렇게 나가고 그리고 4 먼저 주기 이렇게 이해 가셨나요? 어떻게 하는 건지 괜찮나요? 요런 계산들을 저희가 이제 그냥 빈번하게 할 겁니다. 계산하는 과정에서 필요한 것으로서의 다 따라올 만 하신가요? 이 계산들이 따라 이건 사실은 중학교 때 배운 겁니다.
근데 중학교 때 배웠다가 쉽단 의미라기보다는 이런 게 워낙 근본적으로 저희가 갖다 쓰는 계산들이 그래서 이 계산들을 일단은 머릿속으로 편하게 하실 수 있게 되시기를 권합니다. 예를 들어서, 이거를 분배해도 돼요. 당연히 근데 불편하고 하기 싫어요. 그래서 이렇게 하면 실제로 쉽고 할 만해요. 얘도 그래서 뭘 마음속으로 이걸 볼 때 이거 한 번에 이렇게 되도록 물론 하나하나 한 줄 써도 되지만 숫자 몇 번 연습이 되신 다음에는 실제로 이렇게 바로 나오도록 연습하는 게 좋습니다. 여기까지 괜찮나요? 그래서 계산이 필요한 어떤 기초는 요 정도입니다. 이거 별 거 아닌 것 같으면 굉장히 중요한 기초들이에요. 그러면 여기서부터 뭐를 저희가 만드는 여기 혹시 여기까지 질문 없으신가요? 특히 완전제곱에 대해서 다 할 만하신가요? 너무 쉽나요? 쉬우면 좋은 거죠. 그렇죠. 저희는 진짜 다 까먹다고 생각하고 하고 있으니까요? 괜찮죠 자 그러면 여기서부터 저희가 배워야 되는 굉장히 중요한 게 있습니다.
이 완전제곱의 가장 중요한 어플리케이션이 뭔가요 이차방정식의 근의 공식. 자 그래서 이차방정식의 근의 공식 다 유도하실 수 있으시겠어요. 자 저희가 뭐를 찾는 거냐면 얘를 만족하는 해를 찾고 싶고 여기서 a,b,c는 숫자구요. a는 0이 아닙니다. a가 0이면 이게 이차가 아닙니다. 괜찮죠 그래서 이거에 물론 아마 많은 분들 외우고 계실 겁니다. 뭐 2a 분의 -b +- 루트 b^2 - 4ac외우고 계시고 나중에 지금 그냥 써먹을 거지만 저희가 지금 배운 거에 어플리케이션으로서 바로 이제 볼 수가 있죠. 어떻게 하면 돼요. 완전 제곱을 하면 돼요. 그러면 제가 한 번 해 보겠습니다. 어떻게 하면 돼요. a 묶어야 되죠. 동의가 되세요. a 묶어야 되죠. 그리고 a 로 묶었으니까. 이게 a 분의 b 가 돼 있죠. 맞죠. 그러니까 2도 그리고 다시 나눠줘야 되죠.
그러니까 어떻게 해야 되냐면 형식이 이렇게 생겨야 돼요. 이거의 제곱이어야 돼요. 이해가 있어요. a로 묶고 2a분의 b가 됐는데 2a b 효과 때문에 2가 한 번 더 나눠줘야 돼 그러니까 2로 나누고 그걸 전체를 제곱으로 묶어야 된다. 맞죠. 아직 c는 맨 마지막에 살포시 얹어주기만 하면 됩니다. 그리고 상수를 더했으니까. 상수를 다시 빼줘야 돼요. 그럼 얼마를 빼줘야 되냐면 이거 제곱 곱하기 a를 빼줘야 되죠. 그러니까 얼마가 나오냐면 4a분의 b^2을 빼주면 이게 얘입니다. 이해가 있어요. 수긍하셨나요? 지금 이거 똑같이 따라 한 겁니다. 다음에 칠을 얹어주기만 합니다. 요렇게 그래서 이 시간에 일단 먼저 배우셔야 되는 게 이거를 하실 수 있으셔야 됩니다. 그 정서적으로 클릭이 돼야 돼요. 아예 어떤 식으로 생각하고 있는 건지 일단 a 없앤 제가 지금 저희는 얘를 그냥 반대로 하고 있을 뿐이에요. 실제로는 이게 전부입니다. 그래서 여기를 본다 다음에 이게 a+b 제곱 형태가 되는 거야. 그래서 여기 이가 붙어있는 이 발상을 토대로 해 가지고 요.
계산들을 보면 여기서 a 묶고 그러면 2a분의 b 형태가 되는데 이게 2가 있어야 되니까. 2 다시 나누고 이거 전체 묶어준 형식이 돼야 돼 상수 없었으니까. 여기서 상수를 추가한 것만큼 빼줘야 된다. 그리고 원래 얘는 있는 걸로 치면 그냥 여기다 달아주면 안 되는 거죠. 괜찮죠 그리고 이게 지금 뭐가 돼야 되냐면 0이 되어야 돼. 우리가 지금 찾고자 하는 거는 이걸 만족하는 x 값입니다. 굉장히 단순하죠. 어떤 움직이는 방식이 그러면 어떻게 하면 되냐면 저희가 얘를 이쪽으로 넘기면 되죠. 맞죠. 즉 사인을 바꾸어 가지고 더하거나 뺀다는 의미가 되는 거죠. 그래서 이렇게 넘겨주게 되면 이거는 뭐랑 같은 뭐가 되냐면 이렇게가 되겠죠. 괜찮죠 자 그러면 이거 계산할 때 저희가 어떻게 합니까? 분모를 통분을 해주죠 소위 말해서 그래서 얘를 사이로 묶어주게 되면 이게 b^2 - 4ac 저희가 아는 형태가 이제 나오죠. 이 형태가 나오고 그리고 x로 형태를 정리해야 되니까. 양변을 a로 나눠주면 되죠.
양변을 a로 나눠주게 되면 요렇게 생기게 되구요. 이해 가시죠. 양변을 a로 나눴습니다. 나눌 수 있습니다. a가 0이 아니라고 했기 때문에 괜찮죠 0이면 못 나눕니다. 0분의1 은 정의가 안 됩니다. 0분의1 은 0을 곱해주면 0을 곱했으니까 0이어야 되는데 약분이 되니까 0과 1이 같은 세계관이 됩니다. 그래서 그건 저희가 원하는 게 아니기 때문에 0으로 나누는 건 보통 허용하지 않습니다. 자 그래서 이렇게 생기게 되고요. 맞죠. 좋은 질문인데요. 좋은 질문입니다. 중요한 질문입니다. 숫자는 일단은 저희가 실수를 생각합니다. 근데 복소수도 생각할 겁니다. 왜 생각해야 되냐 나오거든요. 그래서 여기서 사실 볼 수 있었다. 왜 생각할 수밖에 없는지 그러면 이제 여기서 중학교 때 골치 아팠던 어떤 개념이 나옵니까 제곱근이라는 개념이 나옵니다. 제곱해서 어떤 수가 되는 걸 저희가 제곱근 루트라고 정의를 하잖아요.
그래서 이 형태가 어떻게 되냐면 저희는 x를 찾는 게 목적이니까. 여기서 제곱을 없애야 됩니다. 그러면 이게 루트 이렇게 나오죠. 이게 제곱근의 정의고요. 그리고 정확하게는 +- 왜냐하면, 마이너스여도 제곱하면 -항이 사라지니까. 괜찮죠 이렇게 되고요. 이제 거의 끝났습니다. 지금 보면 어떤 걸 볼 수가 있냐면 얘는 루트 안에서 루트로 쪼개서 보면 얘는 2a이랑 같잖아요. 제곱해서 얘가 되는 숫자니까 그래서 여기서 분모를 2a로 통일할 수가 있고요. +- 그대로 달아야 되고 여기서 소위 판별식이든 돼요. 나중에 문제가 될 겁니다. 이걸 생각하는 게 필요해질 겁니다. 그래서 어떤 x만 놓고 정리를 해보면 얘 이렇게 넘겨놓고 보면 분모가 똑같기 때문에 2a로 그래서 저희가 아는 내용식이 나오죠. 하실 수 있으시겠어요. 그래서 그냥 백지 놓고 그냥 외우는 게 아닙니다.
그냥 한번 어떻게 보면 자연스럽게 나오는 거로써 약간 잡혀야 됩니다. 물론 그래서 결과적으론 자기가 유도 안 하고 그냥 갖다 쓸 거지만 근데 사실 이제 필요하면 얼마든지 그냥 쭉쭉 쳐보면 나오는 거죠. 이해가 가시나요? 어떤 정서인지
질문해도 될까요? 선생님 네 저기 근의 공식에 ax + 2a 분의 b에 제곱은 알겠는데 -4 a분의 b^2이 그게 어떻게 나가는지 잠깐 놓쳤습니다. 맨 위에서 두 번째 줄
여기 맨 위에서 두 번째 여기 말씀하시는 건가요?
네 그럼 다시 한 번
다시 한번 설명을 해볼게요 다시 한번 설명을 해볼게요 이 두 가지를 먼저 다시 보겠습니다. 보시면, 얘를 완전 제곱으로 바꾸기 위해서 일단 얘를 먼저 그냥 관찰을 좀 해볼게요 3으로 묶어야겠죠. 괜찮으시죠. 3으로 묶어주면 여기가 2x가 나옵니다. 괜찮죠 그러면 x^2 + 2x니까 b가 1이어야 된다. 그래서 1로 묶었습니다. 근데 상수를 더한 거 얘는 그대로 둘 겁니다. 그냥 그대로 둘 거고. 상수만큼 더 했으니까. 1을 빼줘야 됩니다. 1^2을 뺀 겁니다. 정확하게는 근데 3이 곱해지니까 이렇게 나갑니다. 괜찮죠 얘도 보시면, 이번에 2로 묶어주면 x^2 + 3x입니다. 그러니까 얘는 다시 2를 추가적으로 나눠주면 2분의3 으로 묶여야 됩니다. 괜찮으시죠. 그다음에 얘도 이것만큼 숫자를 더했기 때문에 다시 이 똑같은 숫자를 빼줘야 되는 과정에서 이거의 제곱 곱하기 2가 나가야 됩니다. 그리고 3을 그대로 다뤄주면 됩니다. 패턴은 이해 가셨나요? 여기까지 얘를 지금 제곱해서 빼줘야 되는데 이거 앞에 애시당초에 2가 곱해져 있기 때문에 2를 곱해서 빼야 된다.
아마 이 질문 이해가 가시죠. 그러니까 여기서도 마찬가지로 묶어주고 나가야 되는데 a가 곱해져서 나가야 되기 때문에 4 a^2이 아니라 4a로 약분이 돼 가지고 여기가 1승이 됩니다. 반면에 얘는 제곱이어야 됩니다. 제곱이 그대로 나왔으니까. 예 이 질문이라고 이해를 했습니다. 네 이런 질문들 환영합니다. 실제로 이거 계산들을 정확하게 하실 줄 아셔야 되기 때문이에요. 손으로 그리고 좀 더 적합한 정서는 편하게 하실 줄 아셔야 됩니다.
그 관련해가지고
네 말씀하십시오.
예 조금 계산이랑은 결이 다를 수 있는 질문인 것 같은데요. 이 근의 공식을 볼 때 저기 저희가 소위 중고등학교 때 판별식이라고 해서, b^2 - 4ac 부분을 갖고 근의 갯수를 구하는 걸 맨날 연습을 했던 기억이 나는데 저는 이제 나중에 행렬을 보다보니까, 행렬에도 판별식이 있는데, 그거랑 부호가 반대이고 마치 대각 행렬 한 판별식이랑 비슷해 보여 가지고 이 대수적인 연산 구조 관계가 어떤 게 있나 고민을 한번 해본 적이 있었거든요. 이게 뭐 생각해 볼 여지가 있는 꼴인가요?
네 많습니다. 중요 좋은 질문인데요. 실제로 저희가 요 다까수하면서 할 겁니다. 왜냐하면, 미분방정식을 토대로 풀다 보면 지금 말씀하신 관찰이 정확하게 등장하거든요. 그래서 이제 소위 행렬식과 요 지금 판별식에 물리는 것들을 오히려 되게 구체적으로 보시게 될 겁니다. 중요합니다. 네 나중에 제가 구체적인 문제들을 꼭 드리겠습니다. 네 좋은 관찰입니다. 굉장히 판별식과 ad - bc가 비슷해 보인다라는 거죠. 물론 두 가지는 용도가 다르기는 합니다만 그럼에도 뭔가 유사해 보이는데 라는 점은 갖고 계시면 좋겠습니다. 좋은 포인트입니다. 여기까지 괜찮으신가요? 이게 저희가 질풍노도의 시기 때 짜증을 내면서 배웠던 수학 거의 전부입니다. 자 그리고 여기서 더 나아가는 질문 있으면 하셔도 괜찮습니다. 여기서 더 나아가는 것으로써 어떤 분들은 그렇게 질문할 수 있어요. 왜 굳이 2차에서 멈춰야 되냐 3차도 그러면 할 수 있는 거 아니냐 사실은 3차도 돼요. 단지 좀 길 뿐입니다.
됩니다. 그러면 더 질문할 수 있어요. 그럼 4차도 돼요. 4차도 돼. 그러면 3차랑 4차는 근의 공식이 있어요. 구글링 해보시면 형태 나옵니다. 유도하는 법 똑같습니다. 단지 좀 지저분해서 중고등학교 때 안 배울 뿐입니다. 그 다음에 그러면 5차는? 안 됩니다. 이거를 배우는 거를 추상대수학이라고 합니다. 뭐를 보여야 돼요. 수단과 방법을 가리지 않고 해도 절대로 근의 공식을 만들어낼 수가 없다라는 거를 증명을 하는 거를 추상대수학이라고 합니다. 이제 여기서 갑자기 난이도가 급상승합니다. 그러니까 해보다가 안 되는 거가 아니라 무슨 수를 써서도 안 된다는 거는 증명해야 되거든요. 그게 어떤 갈루아랑 아벨이라는 사람이 한 겁니다. 이 5차 이상부터는 근의 공식이 존재할 수가 없다. 4차까지는 있습니다. 하지만 된다는 말이 쉽다는 말은 아닙니다. 무지하게 지저분하고 웃깁니다. 3차는 좀 할 만해요.
만약에 어떤 욕심이 있으신 분들은 3차 근의 공식 유도하는 거 살펴보시면, 재미있을 겁니다. 4차도 똑같은데, 단지 좀 지저분할 뿐입니다. 네 이효철 선생님. 제가 음소거상 되십니다. 아닙니다. 다른 거 옮길 게 있어가지고 잠시만 손 들었습니다. 예 다른 분들 더 질문 없으신가요? 자 그러면 제가 그 질문부터 다시 드릴려고 하는데요. 왜 우리가 이차방정식의 근의 공식을 왜 신경 쓸까요? 너무너무 쉽나요? 실제로 이거 말고는 아는 게 없어요 인간이. 아닌가요 3차만 돼도 사실 잘 몰라요. 아는 척하지만. 그니까 비 어떻게든 이거를 가지고 뭔가를 해야 되거든요. 정서 이해가 가셨죠. 자 그래서 이제 여기서 좀 섞기 시작할 건데요. 자 이제 저희는 그래도 좀 어려운 걸 해야 되잖아요. 어려운 걸 하기 위해선 뭐가 들어가야 돼요. 미분이라는 게 들어가야 돼요.
동의가 되시죠. 미분이라는 게 들어가야 됩니다. 미분의 정의를 리마인드 하지는 않을 거예요. 그거는 혼자 공부하시길 바랍니다. 근데 오히려 어떻게 설명하기를 원하냐면 구체적으로 저희가 예시들을 보면서 의미들을 좀 생각해보기를 원해요. 자 그래서 의미가 이제 좀 바뀌기 시작하는데 방정식이라고 하는 거는 이런 식으로 등식으로 적혀있는 수식을 방정식이라고 부르는데 미분의 개념이 개입하는 순간 저희가 이거를 미분방정식이라고 부를 겁니다. 괜찮죠. 자 이거 풀 줄 아세요. 혹시 답 아시는 분들 있으신가요? 이거 풀면 그러니까 이거를 만족하는 함수 뭔지 아시나요? 혹시 어떻게 보면 수학에서 가장 중요한 함수입니다. 답을 의심하시길 바랍니다. 자 다시 묻겠습니다.
이거에 해당하는 해를 찾아라 지금 많은 분들이 e^x라고 하셨는데요. 답인가요? 그게 진짜로. y=0 오 맞죠. y=0 되네요. 넣어 보십시오. y=0 넣으면 상수 미분하면 말이에요. 제가 여기서 뭐는 받아들이겠냐면 예를 들어서, 저희가 함수라는 개념은 x에 대해서 y값이 유일하게 있는 거를 저희가 함수라고 할 때 이런 형태를 다항함수라고 부르잖아요. x를 n승 곱한 거 이제 저희가 기호는 알고 있어요. 그러면 저희가 묻지도 말고 따지지 말고 얘는 뭐라고 받아들일 거냐면 이렇게 받아들일 겁니다. 근데 여기서 재밌는 점은요, 이 n은 사실은 자연수가 아니어도 돼요. 그래서 제가 이거를 임의의 알파라는 실수라고 할 때 알파는 임의의 실수예요. 이거 미분하면 언제나 이렇게 생깁니다. 이거는 받아들이겠습니다. 괜찮으시죠. 자 그랬을 때 그 지금 답이 두 가지가 나왔거든요.
뭔가 굉장히 있어 보이는 대답이 나왔죠 이거 대답은요, 답은요, 이거 맞거든요. 이거 맞는데 여기다가 아무 상수나 곱해도 돼요. 그래서 아까의 경우 c=0로 잡으면 y=0도 포함이 되고, c=1로 잡으면 다 여기서 포함이 되죠. 제가 한 번 더 묻겠습니다. 이거 어떻게 아셨어요. 제가 묻는 겁니다. 많은 분들이 답을 알고 계시잖아요.
자연로그 함수 같은 경우에 어느 점에서 접선의 기울기를 대도 항상 접선의 기울기가 일 아닌가요 그래서 같은 상태로 항상 똑같이 체증하고 있는 함수라서 그런 게 아닌가 싶은데요.
예 맞는 100만 번 맞는 말씀이에요. 자 이거 왜 아냐면요 저희가 이미 e^x란 함수를 알기 때문이에요. 동의가 되세요. 왜냐 e^x는 성질상 뭐니까 미분해도 똑같으니까라는 거를 저희는 일상적으로 받아들이고 있잖아요. 동의가 되세요. 그러니까 이 함수를 몰랐으면 답을 모르셨을 거예요. 수긍이 가시나요? 그러니까 지금 제가 어떤 정서를 얘기하고자 하는 거냐면 저희가 이거 왜 하냐면 아는 게 이거밖에 없으니까. 지금 이거 어떻게 풀었냐면 아니까 어떻게 보면 좀 화나는 대답이거든요. 어떤 의미에서는 그래서 여기서 어떤 질문을 더 해 나갈 수가 있냐면 이제 쪼끔 난이도를 다시 올려보겠습니다. 추가적인 질문이요.
이거밖에 없는지 어떻게 아느냐 이게 된다는 건 동의가 되시죠. 바른 질문입니다. 왜 이거밖에 없느냐 어떻게 보장할 건데 라고 부르면 얘기가 좀 달라지죠 어떻게 확 어떻게 그거를 보증한다는 거지 다른 게 없다는 거 당연히 있을 수도 있잖아요. 왜냐하면, 우리는 이거는 아는 지식을 쓴 거니까 자 좀 더 꼬아볼까요. 만약에 제가 질문을요 올해가 2023년이니까 이렇게 바꿨어요. 이거 풀 줄 아시겠어요. 어떤 분들 푸실 수 있으실지도 몰라요. 제가 이어서 좀 더 꼬아볼까요? 아마 못푸실 겁니다.
아마 자 그러면 저희가 할 수 있는 얘기는 모르겠다밖에 없을까요라는 여러 가지 생각들이 들어요. 그랬을 때 자 어떤 포인트들을 말씀드리고자 하냐면 우리는 어떻게 해서든지 간에 아는 거에 기대기를 원해. 이해가 됐어요. 어떻게 해서든지 아는 거에 기댈 수밖에 없어 안 그래 어쩔 건데 나는 정서인 거예요. 진짜로 그러면 저희가 나중에 이것들을 어떻게 설명할 거냐면 방정식의 가장 철학적인 질문이 뭐예요? 해의 존재성. 해가 있느냐 있으면 유일한가 그래서 이게 왜 이거 사실 못 풀어요. 못 푸는데 왜 이게 문제가 없냐면 해의 존재성과 유일성이 보장이 되는 형태이기 때문에 그래요. 나중에 다룰 겁니다. 그래서 풀 줄 모르지만 해가 있다는 건 알아요. 물론 어떤 소위 말해서 수치 해석적으로 대충 어떤 plot을 해볼 수는 있어요. plotting을 해보면 그래프는 대충 찾을 수 있을 수도 있어요.
하지만 실제로 소위 말해서 포뮬러를 정확하게 할 수 있다는 뜻은 사실 찾을 수 있어요. 솔직히 말씀드리면, 근데 어쨌거나 그렇게 쉽지 않을 것 같기는 해요. 동의가 되시죠. 자 그러면 제가 여기서 하나 더 묻습니다. 그러니까 제가 어떤 정서를 얘기하고자 하는 거냐면요 어떤 아는 지식을 꼭 활용한다. 이런 의미라기보다는 우리가 어떻게 아는 것들을 활용해 가지고 모르는 걸 향해서 갈 수가 있느냐라는 질문을 하고 싶은 거예요. 그러면 만약에 제가 이번에는 두 번 미분을 할게요 더블 프라임 두 번 미분했다는 얘기입니다. 그리고 여기다가 제가 이렇게 형식을 준 다음에 푸시오라고 할게요. 나중에 닦아서 좀 진행되면 이거는 매우 쉬운 문제가 될 겁니다. 아시겠죠. 자 저희는 지금 아무것도 배운 게 없어요. 그래서 아는 것들을 활용하기를 원해요. 그러면 이거 어떻게 푸시겠어요. 아마 나중에는 거의 암산이 됐을 거예요.
그냥 이거 해는 답 뭐냐면요 답 그냥 알려드리면, 알려드리기 싫다 자 일단 좀 생각을 해볼까요? 어떻게 풀면 될까요? 푸실 수 있습니다. 오늘 배운 것만 가지고 저희가 아는 건 뭐밖에 없냐면 이거랑 이거 네 고게 답인데요. 고게 답인데요. 어떤 식으로 생각하는 거냐면 아는 게 요거 두 개밖에 없어요. 그러니까 이거 두 개 우려내고 싶으니까. 어떻게 하냐면 대충 이거랑 비슷한 거라고 치자라는 억지를 부린 다음에 억지를 가지고 이거를 써요 대충 어떤 식으로 진짜로 어떻게 생각하느냐 대충 이런 형식이라고 치지 않아요.
아마도 해가 그리고 여기다가 숫자만 적당히 곱해놔요 남다라고 쓸게요 그래서 얘가 해라고 해보자 왜요 이거 거의 깡패 논리입니다. 그니까 수학적이지 않아요. 근데 이런 말도 안 되는 깡패 논리로부터 사실은 근데 현대 수학이 modern mathematics가 나왔어요. 푸리에가 실제로 이런 방 이 방법을 가지고 열방정식 풀었고 열방정식이 그 18세기부터 시작된 어떤 현대수학의 출발점이기 때문에 진짜 이런 어거지적인 생각 근데 어떤 생각한 거에요? 할 수 있는게 그거밖에 없는데 어쩌라고인 정서에 가까운 거예요. 말이 이해 가시나요? 아닌 게 없으니까. 그러면 이거를 집어넣어요. 그러면 여기서 수학에서 굉장히 중요한 어떤 기술이라고 할 수 있는 chain rule이라는 게 등장합니다. 이 함수가 합성함수인 거 이해가 되시나요? 이 함수는 x랑 람다를 곱한 함수가 있고 그거에다가 이 지수함수에다가 합성을 한 형태입니다. 합성함수는 저희가 미분하는 법을 알아요.
그래서 이거를 미분을 해주게 되면 바깥쪽으로 미분하면 바깥쪽이 그대로 되어지고 안쪽을 한 번 더 미분해서 곱해줘야 된다. 근데 안쪽 함수가 람다 x이기 때문에 이거 미분하면 람다가 나갑니다. 괜찮나요? chain rule 가장 중요한 것 중에 하나입니다. 그리고 한 번 더 미분을 해주면 똑같이 얘는 이번에 상수니까 무시해도 되고 람다 그대로 있고 얘 미분 해주면 역시 다 여기서 다시 chain rule이 적용이 되면 람다가 제곱이 됩니다. 괜찮죠 자 요렇게 해주면 그러면 어떻게 돼요. 지금 여기다가 이 형식을 집어 넣어주게 되면 이걸로 다 지금 대체가 되잖아요. 그럼 대체해주면 첫 번째 거는 람다 제곱 곱하기 e의 람다 x 나오고 두 번째 거는 3이 있고 람다 있고 e 람다 x 있고 그리고 마지막 거가 2 있고 e 람다 x 있고 그리고 제로잖아요. 얘가 되어야 돼요. 이 깡패 논리에 따르면. 그래서 만약에 왜 이건데라고 하면, 다시 그냥 해보는 거야. 임마 이렇게 얘기하고 있는 겁니다. 일단은요, 맞죠.
자 그러면 여기서 e 람다 x가 공통이기 때문에 묶어줄 수가 있어요. 묶어주게 되면 요렇게 묶이고 이거는 방정식으로써 임의의 x에 대해서 0이어야 돼요. 그런데 얘는 언제나 양수예요. 지수함수의 성질 언제나 양수예요. 그래서 얘는 어떤 x를 선택해도 0이 될 일이 없어요. 그래서 얘는 무시해도 돼 이게 곱해서 0되려면 둘 중 하나가 0이어야 되는데 얘는 언제나 0일리 없으니까. 우리는 이거를 푸는 거는 뭐랑 같다는 걸 알 수 있냐면 이차식을 푸는 거랑 같다는 걸 볼 수가 있어요. 맞죠. 이거를 근의 공식에 넣어서 푸시던 아니면 인수분해를 하시든 풀어주면 이게 -2랑 -1이라는 걸 볼 수가 있습니다. 그래서 해가 두 개가 나온다는 걸 볼 수가 있어요. 하나는 얘고 다른 하나는 얘입니다. 맞죠. 왜냐하면, 저희가 해라고 가정한 다음에 람다 값을 찾아낸 거니까요? 이거 실제로 푸는 데 필요한 거 이 두 가지밖에 없는 거 맞나요? 이거 아는 거랑 이거 아는 거면 이 어려운 문제를 풀 수가 있게 된 거죠.
맞죠. 자 조금 더 난이도를. 람다가 2하고 1 아닌가요? 그 이거를 인수분해를 하시면 이게 람다+2 * 람다+1 꼴이 됩니다. 그래서 이게 영이어야 되니까. 집어넣어주면 -2랑 -1이 나옵니다. 죄송합니다. 아닙니다. 그런 질문들 좋습니다. 또 다 여기까지 다 괜찮으신가요? 자 난이도를 조금씩 더 높여볼게요 그러니까 앞으로 이제 할려는 얘기들 오늘 얘기들은 어떤 의미에서는 약간의 두서가 없는 얘기들입니다. 다음 시간부터 제가 체계적으로 y' y부터 다시 얘기를 출발할 건데 만약에 제가 질문을 이번에는 난이도를 좀 더 높여 가지고요. 많이 이제 높입니다. 얘를 풀고 싶어요. 그런데 얘를 푸는 과정에서. 네 얘기할 겁니다. 얘를 푸는 과정에서 이번에는 제가 깡패짓으로 이렇게 하겠습니다.
깡패짓입니다. 자 그러면 이거 푸실 수 있으시겠어요. 이거 e 람다 x 해보잖아요. 안 돼요. 일단 안 되는 것부터 말씀드릴게요. 안 돼요. 그리고 참고로 이 방정식은 이름이 있습니다. 이거 보통 뭐라고 부르냐면요 오일러 코시 방정식이라 부릅니다. 이름 모르셔도 됩니다. 나중에 얘기할 겁니다. 이렇게 부르거든요. 이름이 있어요. e 람다 x 안 되거든요. 그럼 어떻게 하면 될까요? 저는 역시 오늘 배운 것만 가지고 다 되는 얘기를 하고 있긴 합니다. 참고로 이 페이지 안에 푸는 법이 있어요. 사실은 어떻게 하면 될 거 같으세요. 이거 거의 깡패 논리입니다. 어떤 거냐면 그냥 풀리면 장땡이에요. 네 맞습니다. 왜 x^m을 넣어보면 되냐면 보십시오.
저희가 뭐를 알고 있냐면 이런 형태는 미분하면 하나가 내려가야 되죠. 차수가요. 일이 무조건 내려가죠 이해됐어요. 그러면 보세요. 만약에 저희가 이거의 해의 형태로 이런 형태를 잡았다고 해보세요 x의 알파. 그러면 이거 미분 두 번 하면 이거 얼마가 돼요. 알파-2가 되죠. 근데 제곱을 곱할 거잖아요. 그러니까 어떻게 돼요.
차수가 다시 알파가 되죠. 이거 미분하면 알파-1이 되죠. 근데 다시 x를 곱해주니까 알파가 되고 얘는 똑같고, 그래서 이 경우는 얘를 쓰면 된다. 실제로 해보면. 이렇게 되니까. 맞죠. 이렇게 되니까. 이걸 집어넣어보면 여기서 트릭이 여기서 비록 이렇게 미분을 두 번 했지만, 이렇게 다시 곱해질 거잖아요. 그럼 이게 차수가 다시 알파가 나오죠. 이를 이만큼 줄어든 게 다시 원래대로 복구가 되어져요 이것 때문에. 얘도 보시면, 얘는 x를 곱할 거예요. 뭐에다가 여기에다가 그러면 곱해주게 되면 얘도 1만큼 내려간 게 얘에 의해서 다시 복구가 돼요. 다시 x의 알파 승되요. 그리고 얘는 그대로였어요. 이렇게 돼요.
자 그러면 여기서 이게 뭐가 다 공통인 걸 볼 수 있냐면, x의 알파가 공통이 되는 걸 볼 수가 있어요. 그래서 이게 오늘 한 얘기들은 다 개론 성격입니다. 그래서 지금 다 체계적으로 가르쳐 드리는 거는 아니에요. 나중에 어떤 다 체계적으로 하나하나 말씀을 드릴 거예요. 그래서 이렇게 하면 묻지도 말고 따지도 말고 풀려요 왜냐하면, 이거 만족하는 알파는 찾을 수 있거든. 왜냐하면, 우리가 이차방정식 푸는 법을 알고 있으니까. 여기까지 괜찮나요? 자 이제 여기서 제가 난이도를 학부 난이도를 벗어나 보기 시작하겠습니다. 제가 어떻게 다시 문제를 바꿀 거냐면요 똑같은 문제를 드릴게요. 만약에 이거 답하실 수 있으시면 여기 안 들어오셔도 됩니다. 학부 수준을 벗어나는 거기 때문에 자 이거 어떻게 풀면 될까요? 얘도 이름이 있습니다. 이름도 가르쳐 드릴게요. 얘를 베셀 equation이라고 부릅니다.
이거 어떻게 풀면 될까요? 이 대답을 하실 수 있게 만들어 드릴 겁니다. 왜냐하면, 이 대답을 할려면 뭐를 거쳐야 되냐면 미적분학의 근본적인 걸 거쳐야 돼요. 자 더 들어가 볼까요? 만약에 이거를 제가 이걸 대충 계수만 6으로 바꾸면 거의 비슷해 보이잖아요. 그러면 얘는 성질이 이거 둘 다 베셀 타입의 equation이라고 부르는데 성질이 완전히 달라집니다. 푸는 법은 비슷한데요. 푸는 법은 비슷한데 실제로 해의 성질이 완전히 달라져요 그래서 제가 뭐부터 제가 이 첫 시간에 말씀드리고자 하는 거냐면 실제로 우리가 아는 것은 몇 개 없어요. 진짜로 아는 거 뭐 근의 공식 뭐 알잖아요.
대충. 그리고 뭐 y' y의 어떤 해 뭐 대충 이렇게 생긴 것 같다 이거 어떻게 보면 몇 개 아닌 것만 잘 지지고 볶다 보면 굉장히 해야 되는 생각들이 좀 풍성해져요. 근데 그렇게 생각을 확장하다 보면, 자연스럽게 어디로 가게 되냐면 정말로 아직도 못 푸는 그런 문제들로 가게 돼요. 그러니까 어떤 이제 소위 말해 시험 문제로써 어떤 시간 주고 푸는 그거 말구요. 정말로 아직도 인류가 풀지 못하는 문제로 넘어가는 게 그렇게 어렵지 않아요. 그래서 좀 더 적합한 정서로는 이 간단해 보이는 몇 가지 equation들 몇 종류를 제어하고 조금만 형태를 뒤틀어주게 되면 문제가 갑자기 못 푸는 문제가 되면 실제 풀면 논문을 쓸 수 있는 문제들이됩니다.그래서 저희는 그 경계들을 같이 볼 거예요. 어디까지 인간이 주장할 수가 있고 쉽게 그리고 어느 선을 넘어가는 순간 실제로 못 오느냐. 그래서 미분방정식 자체는 굉장히 재밌는 토픽이에요. 그리고 많은 분들이 지금 내가 왜 굳이 이런 얘기들을 알 필요가 있을까?
예를 들어서, 제가 한 가지만 말씀을 좀 드리면, 그러니까 그 질문 할 수가 있죠. why 미분 방정식 왜 신경 썼냐 이 다까수에서 여러분들이 수학을 공부하시는 이유가 있으실 거예요. 각각의 이유가 있으실텐데, 제가 한 가지 좀 모티베이션으로 드리고 싶은 거는 뭐냐면 이제 소위 말해서 AI 시대잖아요. AI 시대를 살아가는 데 있어가지고 그니까 AI나 머신러닝에 있어가지고 어떤 걸 공부하시든지 간에. 여기에 대부분의 문제들 그러니까 예를 들어서, 요새는 뭐가 있어요. 챗GPT 있죠. 강화학습 그리고 뭐도 있냐면 요샌 이제 그림이나 음악 같은 거 그려주는 stable diffusion 또 이런 모든 것들이 다 뭐냐면요 이거 전부 다 미분방정식이에요. 전부 다. 99프로가 아니고요.
100프로 미분방정식이에요. 그러니까 미분방정식 얘기니까 이것들을 직관적으로 이해하고 있는 건 굉장히 중요해요. 그리고 쉬운 경우들은 내가 이제 손으로 쓱쓱 만질 줄 아는 것도 제일 중요한 거죠. 너무 당연한 사실은 이야기가 되는데. 근데 이거를 하기 위해서는 당연히 필연적으로 뭐가 필요하냐면 미적분학과 선형대수학이 필요해요. 괜찮나요? 자 그래서 저희는 이 예시들을 하나하나 좀 체계적으로 보면서 미분 방정식이라는 어떤 framework하에서 그거 하에서 실제로 미적분학과 선형대수학을 적절히 리뷰할 거구요. 적절히 그래서 이것들을 푸는 법들을 익히다 보면 어느 순간 자연스럽게 미적분하여 선형대수학을 쓰고 계실 거예요. 자연스럽게 그리고 그렇게 한 다음에 거기서 난이도를 높여서 이제 다변수 미적분학 이런 얘기들도 어떤 계속 들어오시는 분들 있으시면 얘기를 계속 해 나갈 거예요. 오늘 얘기는 여기가 어떠한 이제 전부구요. 큰 그림을 좀 보여드리려고 좀 애썼습니다. 그래서 앞으로는 계속 이런 식으로 문제들이 있을 겁니다. 괜찮죠. 하나하나 가르쳐 드릴 거예요.
하나하나 이제 알려드리고 하는 과정에서 이런 것들을 배우게 된다라고 이해하시면 되겠습니다. 그래서 이 시간은 기본적으로 어지간한 것들 다 계산이 목적입니다. 실제로 하실 줄 아셔야 된다. 그래서 오늘 얘기에서 가장 중요한 거는 완전제곱과 완전제곱을 어떤 풀어내는 이런 것들을 하실 줄 아시면 앞으로 얘기를 따라오시는데 별 지장이 없습니다. 괜찮으신가요? 자 혹시 질문이나 피드백이나 코멘트 있으면 듣고 마무리하겠습니다.
예 질문 있습니다.
예
강의 초반부에 덧셈이란 곱셈에 대해서 얘기를 했었는데 그때 나눗셈에 대해서 얘기를 할 때 저희가 지수의 그 0승을 정의하면서 음수까지 확 개념을 확장을 해서 넘어갔지 않습니까? 고등학교 때 공부할 때 좀 의아했던 것이 자연 로그 함수를 미분하면 x분의 1이 된다는데 그게 도함수의 정의를 이용해서 계산을 하면 나오긴 하는데 이 x^n을 미분했을 때 n x^n-1으로 나오는 거랑 어떻게 연결되는지 아무리 생각해봐도 모르겠더라고요. 그건 어떻게 이해합니까?
질문을 다시 해주시겠습니까?
예 질문을 제가 잘 못 해 가지고 그러니까, 즉 자연로그 ln x를 미분하면 도함수가 x 분의 1이 나오는데 저희가 지금 다루었던 지수 지수의 아이 죄송합니다. 나눗셈을 어떤 a^x과 a^y의 나눗셈을 저희가 a^x-y로 생각을 해서 지수 법칙을 적용하지 않았습니까? 두 내용이 어떻게 연결되는지 잘 모르겠습니다. 그러니까 ln x를 미분했을 때 x 분의 1이 나온다는 건 그냥 도함수의 정의를 이용해서 계산을 쭉쭉 하면 이렇게 되는구나라고 머리는 이해를 했는데 단순하게 이게 이거 지수법칙을 이용해선 도대체 어떻게 되는 걸까 했었거든요. 어릴 때
질문은 알아들었는데요. 응 되게 사실 그니까 그냥 되게 단 그냥 파편적으로 답을 한다면, 그냥 이건 이거고 저건 저거라 해도 되겠지만, 사실은 굉장히 오묘한 것들이 안에 굉장히 많은 것들이 맞물려 있어요. 실질적으로 그래서 답을 제가 어떻게 해드리고 싶냐면 이게 제일 먼저 이 생각을 했던 사람이 오일러일 거예요. 오일러가 했던 생각 중에 하나로 어떤 약을 빤 생각을 사실은 하는 건데요. 어떤 생각을 하냐면요 자연 로그를 생각을 해요. 자연로그를 생각을 해요. 여기다가 제가 엔 승을 곱할게요 곱할 수 있겠죠. 그걸 제가 적분을 합니다.
나중에 하기는 할게요. 자 이거 실제로 소위 이제 부분 적분 나중에 이것도 다 얘기할 겁니다. 부분 적분을 해주면 제가 확인을 해 봐야 되지만 아마 이게 n-1, n-2 이런 식으로 쭉 내려가서 이게 아마 n에서 출 n에서 출발하겠다. n에서 출발해서 부분 적분을 하시면 이게 그냥 답을 그냥 말씀드리겠습니다. 이게 n!이 되거든요. 그건 아마 맞을 거예요. 그래서 이걸로부터 어떤 약을 빤 생각을 오일러가 하냐면 이거를 알파로 바꿔요 얘가 어떤 개념이냐면 이 팩토리얼이라는 개념이 이게 n부터 시작해 가지고 하나씩 내려가는 개념이거든요. 이렇게 이렇게. 내려가는 개념인데 이거 알파로 바꾸면 무슨 약을 빤 생각으로 바뀌게 되냐면 실수를 이렇게 한다는 의미가 됩니다. 이 함수가 이름이 있는데, 이 함수를 뭐라고 부르냐면 gamma function이라고 부릅니다. 아마 이게 감마 알파+1 일거에요. 아닌가 알판가 알파+1이겠다.
근데 이거를 그 gamma 함수라고 부릅니다. 그래서 실제로 지수 함수와 지수 법칙과 로그의 이 관 물론 지수 함수랑 지수 법칙 말고 지수 함수랑 로그 함수는 서로 일단 역함수 관계 있고 그리고 지수 함수가 갖고 있는 지수 법칙이라고 하는 굉장히 중요한 특징이 있어요. 그리고 지수 법칙과 로그의 관계는 물론 뭐 일종의 관계가 굉장히 사실 좀 신기한 것들이 좀 있고 저희는 그중에서 몇 가지 좀 나중에 갖다 쓸 거거든요. 오일러 formula 같은 거 포함해 가지고 그때 좀 관찰들 재밌는 거 있으시면 공유해 주시면, 감사하겠습니다. 이거는 굉장히 사실 깊은 거예요. 그래서 1차적으로 정리하면 두 개는 별개이지만 사실은 굉장히 오묘하게 맞물려 있다 정도로 일단은 정리하고 넘어가면 좋을 것 같습니다. 좋은 질문입니다. 그리고 이전 선생님께서 질문해 주신 거가 나중에 다음 시간에 볼 건데요. 사소하지 않은 질문이에요. c를 곱하는 거 생략해도 되느냐 이거는 맥락에 의존됩니다.
그리고 방정식을 풀어야 된다는 맥락에서는 생략하면 안 돼요. 그걸 왜 그런지를 다음 시간에 같이 얘기할까 이게 왜 중요하냐면요. 아까 제가 드렸던 질문 중에서 이렇게 얘기했잖아요. 해가 이거밖에 없는지 어떻게 하느냐 이거 답은 이거밖에 없어요. 근데 저희가 이거를 알아낸 거는 풀어서 안 거잖아요. 그러니까 다른 것 중에서 이거밖에 없는지를 어떻게 하는지는 별개의 문제인데 거기서 이거밖에 없는 것은 이 c는 임의의 상수에 대해서 다 됩니다. 그래서 이 c를 붙이는 거는 결과적으론 필요하게 됩니다. 네 또 다른 또 질문들이나 코멘트들 있으실까요? 수업에 어떤 성격 대충 수긍이 좀 가시나요? 이런 난이도입니다. 다까수는 기본적으로 이렇게 수업을 합니다. 그리고 제가 문제를 드릴 겁니다 슬랙에다가. 그래서 두 문제 정도를 일단 풀어보시고 만약에 이제 피드백을 받고 싶으시면 이제 거기다 올리시면 됩니다.
그리고 이제 들어오는 거는 기본적으로 이제 멤버십 회원들의 경우는 언제나 들어올 수 있습니다. 매주 열리는 수업 중의 하나기 때문에 그래서 만약 바쁘시거나 하면 뭐 생략하시고 이제 레코드 보셔도 되는 거고요. 어떤 형태로 따라오실 수도 있지만 만약에 이제 들어오셔서 적극적으로 커뮤니케이션 하고자 하시는 분들은 일단 이런 식으로 들어오시면 되겠습니다. 그러면 매번 어떤 수업이 있고 그거에 대한 문제들이 있습니다. 문제들은 제가 이제 수업 끝난 다음에 그걸 수업을 기준으로 만들어서 올릴 겁니다. 네 또 다른 또 코멘트들 있으신가요? 해답 슬랙에 올리셔도 되고 다 하셔도 된다. 네네 당연히 토론하셔도 된다. 네 그리고 저는 정답을 안 올릴 겁니다. 네 다 대충 재밌으신가요? 요 얘기 들을 대충 좀 기대가 좀 되시나요? 얘기들 그래도 한두 분 정도는 좀 듣고 마무리를 좀 하고 싶은데 좀 어떠신지 좀 소회를 좀 듣고 싶습니다.
없나요? 그냥 제가 어떤 네 어떤 니즈들을 갖고 계신지 잘 모르기 때문에 그래서 들으려는 거거든요. 네 좋다는 얘기도 좋은데 대충 원하시는 게 좀 쉬워지실 것 같으신지가 제가 좀 궁금한 겁니다. 그거에 맞춰서 제가 이거를 짜야 되니까요? 이게 제도권 교육이 아니잖아요. 그래서 제가 내용을 얼마든지 바꿀 수 있거든요. 그래서 지금은 이제 생각을 이 미분방정식을 토대로 해서 미적분학과 선형대수학을 설명하는 것에 시작한다고 했지만, 니즈에 따라서 얼마든지 바꿀 수 있습니다. 그리고 전 딱 이 정도 난이도가 해야 되는 거라고 지금은 생각하고 있는데, 들어오는 데이터에 따라서는 바꿀 수 있는 거죠.
그냥 제가 그냥 생각이 나서 하나 지금 질문 하나 하고 싶은데 이게 그 아까 말씀하실 때 중학교 수학을 다 가르켜 주신다고 하셨는데 반대로 맥시멈으로 난이도의 끝은 어디까지 올라가는 건가요?
오늘만 해도 보시면, 중학교 수학에서 시작한 거 동의가 되시죠. 오늘 얘기만 하더라도 근데 제가 지금 드린 이 문제들은 그 대학교 수준을 벗어납니다. 그래서 저는 기본적으로 뭐에 관심 있냐면 인간이 어디까지 주장할 수 있고 어디서부턴 주장이 못 되는지가 저는 수학자기 때문에 정말로 그런 얘기들을 하는 걸 좋아하구요. 그리고 네 그래서 이제 우리가 어떤 한계점 하에서 이렇게 보고 있고 그런 얘기들은 굉장히 명확하게 하겠지만, 굉장히 도구들은 굉장히 긴 초등적인 걸 겁니다. 오늘처럼 이제 이차방정식의 그대공식 이런 것들을 실제로 할 줄 알면 따라올 수 있는 것들입니다. 그 이게 쉽다의 정서라기보다는 인간이 사실을 아는 게 몇 개 없거든요. 그래서 그것들을 그냥 지지고 볶다 보면 그냥 이 수학들이 나옵니다.
저는 오늘 수업 되게 정말 재미있게 감사히 잘 들었습니다. 사실 두 가지 부분이 되게 좀 개인적으로는 느끼는 바가 많았는데요. 내용을 설명해 주셨을 때 대부분 저희가 학교 때 다 접해봤던 내용인데 그걸로 풀 수 있다고 던져주신 문제를 탁 받았는데 숨이 그냥 턱 막히는 기분이 드는 거예요. 이게 정말 안다고 하는 것에 대해서 좀 생각을 해봐야겠구나 그런 생각을 좀 많이 했고. 그걸 또 하다 보니까, 이게 뭔가 공부를 할 때 수학 공부를 조금 할 때 좀 행간에서 놓치던 부분들이 굉장히 많았구나라는 생각이 좀 많이 들은 것 같습니다. 네 감사합니다.
네 감사합니다. 이 수업은 뭐를 의도하는 거냐면 이런 겁니다. 제가 이제 대학에서 학생들 가르칠 때도 똑같은 생각을 하는데요. 이 수업들의 목적은 자신감을 주는 거예요. 내가 좀 할만하구나 그리고 자신감을 좀 어느 정도 얻은 상태에서 전공 수업들 들어가면 거기서 막 꺾이거든요. 자 좌 근데 이것도 보편적인 겁니다. 이게 머리에 좋고 나쁨이나 역량 그거의 문제라기보다는 인터페이스가 달라지는 거죠. 증명을 할 줄 알아야 된다. 그래서 이 단계에서는 어떤 성취감이나 자신감을 좀 얻도록 하는 게 실질적으로 굉장히 중요합니다. 근데 이것도 내가 얻어야지 해서 얻어지는 게 아니에요. 인간이 그렇게 쉽게 스스로를 못 속여요. 그래서 실제로 풀리는 것들을 스스로가 경험하면서 내가 할 만하구나 이러면 이게 좀 자신감이 됩니다. 그리고 그게 자신감이 좀 차 있은 시점에서 어떤 분들은 이제 수학 전공 쪽으로 공부하실 수도 있게 되고. 뭐 거기서 이제 방학 때 여러 방향들이 나오게 됩니다.
네 그리고 그 기본적으로 이 계산들은 미적분학 다시 얘기합니다. 다변수 미적분학 선형대수학 미분방정식 이런 것들을 계산 위주로 접근하는 것이 목적이고 단지 그것들을 좀 체계적으로 좀 설명해 드리려고 좀 애를 좀 쓸 겁니다. 그래서 말씀하신 스토크스 정리나 이런 것들도 당연히 얘기를 할 겁니다. 근데 그럴려면 한 1년 정도는 해야 될 것 같아요. 이 수업을 매주 한다고 하면, 1년 가도 될지 모르겠는데 오늘 얘기는 여기서 정리하겠습니다.
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