5강. 벡터공간과 행렬, 선형대수학 Part 1

다음 포스팅은 https://youtu.be/-P8ZmMO79uA 의 영상에서 작성한 노트의 핵심을 정리한 것입니다. 여러 오탈자 및 수정 사항들이 있을 수 있습니다. 노트 내용에 대한 디테일한 설명들은 영상을 참고하시길 바랍니다.

 

지난 시간까지 우리는 함수 $f:A\longrightarrow$B 를 정의하고 함수들이 만족해야 하는 성질들을 군 (group)의 입장에서 살펴보았다. 특히 군 $(G,*)$은 

연산 $(*)$이 결합법칙 (임의의 세 원소 $a,b,c$ ∈$G$)에 대하여

                                                            $(a*b)c=$a*(b*c))$

을 만족하며, 항등원 $e$가 존재하고 (임의의 원소 $a∈G$에 대해 $a*e=e*a=a$)

각 원소 $a∈G$의 역원 $a^-1$이 존재 ($a*x=x*a=e$를 만족하는 $x$를 $a^-1$로 표기)

하는 집합을 지칭했다. (예시: 정수집합과 덧셈, 0이 아닌 유리수 집합과 곱셈)

 

함수들의 경우,

 

결합법칙 세 함수 $f:A\longrightarrow$B,$g:B\longrightarrow$C, $h:C\longrightarrow$D에 대해서 $(h\circ{g})\circ{f}=h\circ(g\circ{f})$:$A\longrightarrow$D 를 만족한다.

 

항등원 임의의 함수 $f:A\longrightarrow$A에 대해서 항등함수 $I_A:A\longrightarrow$B

                                                                                $x|\longrightarrow$x

는 $f \circ 1_{A}=1_{A} \circ f=f$를 만족한다.

 

역원 만약에 함수 $f:A\longrightarrow$A가 전단사 함수이면, 역함수 $f^{-1}:A\longrightarrow$A가 존재하여, 역함수 $f \circ f^{-1}=f^{-1} \circ f=I_{A}$를 만족한다.

 

함수 일반적으로 함수를 정의하는 방법은 무한개이다.

그렇다면, 과연 구체적인 함수들은 어떤 기준으로 만들어 내는게 보편적으로 타당할 것인가? 물론 기준은 설정하기 나름이므로 정답은 없다. 그럼에도 적어도 수천, 수만가지 경우에 사용되는 함수들인 행렬, 지수, 로그, 삼각함수 등은 집합의 '연산'을 보존하는 것과 매우 밀접하게 연관이 있다. 가령 지수법칙을 뜻하는 $f:\mathbb{Z}\longrightarrow\mathbb{Q}-${0} 

$f(x+y)=f(x)f(y)$이 그러한 의미임을 지난 시간에 살펴보았다. 

 

오늘 렉쳐 선형성 (linearity)를 만족하는 집합을 정의하고 (벡처공간) 두 벡터공간 사이에서 선형성을 보존하는 함수인 행렬을 살펴보기 시작한다.

 

정의 (선형연산) 집합 A위에 다음의 두 가지 연산이 주어질때 이 연산들을 선형연산이라 부른다.

 

1) 덧셈: 집합 A의 임의의 두 원소 $x,y$에 대해서 $x+y∈A$ 우리는 집합 A를 덧셈에 대한 군 (group)이라고 가정한다.

2) 스칼라곱: 집합 A의 임의의 원소 $x$와 임의의 실수 $r$에 대해 $r·x∈A$ 이때 0,$x$=0으로, 1·$x$=$x$로 정의한다.

 

1과 2를 다음의 한 문장으로 축약할수 있다. 집합 A의 임의의 두 원소 $x,y$와 임의의 두 실수 $a,b$에 대해서 

 

$a·x+b·y∈A...(*)$

$a·x$: 2)에 의해 A의 원소, $b·y$: 2)에 의해 A의 원소= 1)에 의해 A의 원소

 

역으로, 만약 $(*)$가 성립하면 반드시 1)과 2)가 둘 다 성립해야 한다.

1):$(*)$에서 $a=b=1$로 선택

2):$(*)$에서 $b=0$으로 선택

 

선형연산이 주어진 집합 A를 벡터공간 (Vector Space)라 부르며, 벡터공간의 원소를 벡터 (Vector)라고 부른다.

그림 A가 벡터공간일때 두 벡터 $x,y∈A$와 실수 $r$에 대해

 

 

코멘트 덧셈과 스칼라곱이 정의된 집합 A(즉 벡터공간)은 완벽하게 평평(flat)한 평면솨 같은 생김새를 의미한다. 만약에 집합 A가 적항히 구부러지거나 휘어있으면

 

두 연산은 잘 정의되지 않는다.

우리가 중학교 시절에 배운 기하학인 유클리드 기하학 (BC300)에서 쓰인 집합이 벡터공간에 해당한다. 

 

이제 다시 함수 이야기로 돌아오자. 

 

정의 (선형함수) 두 집합 A,B가 모두 벡터공간이라고 가정하자. 

함수 $f:A\Longrightarrow$B가 다음의 두 가지를 만족하면 선형함수 (linear transformation)라 한다. 

 

1. A의 임의의 두 벡터 $x,y$에 대해 

 

$f(x+y)=f(x)+f(y)$

 

 

2. A의 임의의 벡터 $x$와 임의의 실수 $r$에 대해

 

$f(r\cdot{x})=r\cdot{f{x}}$

 

 

코멘트 다음과 갗이 선형함수를 정의해도 같은 의미가 된다: 두 벡터공간 A,B에 대하여 $f:A\Longrightarrow$B가 다음의 조건을 만족하면 선형함수라고 부른다:

 

A의 임의의 두 벡터 $x,y$와 임의의 두 실수 $a,b$에 대하여

$f(a \cdot x+b \cdot y)=a \cdot f(x)+b \cdot f(y)$를 만족한다.

 

예시 실수집합 $\mathbb{R}$의 임의의 원소 $x,y$에 대해 순서쌍 $(x,y)$의 모임 $\{(x_1,y_1):x\in\mathbb{R,y\in\mathbb{R}}\}$을 $\mathbb{R^2}$로 명시하자.

 

$\mathbb{R^2}$는 아래와 같이 덧셈과 스칼라곱이 잘 정의되므로 벡터공간이다:

 

덧셈)  $\left(x_{1}, y_{1}\right)+\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2}\right)$

곱셈)  $r\cdot(x,y)=(rx,ry)$

 

참고 $0\cdot(x,y)=(0x,0y)=(0,0)$

 

집합 A,B,는 모두 $\mathbb{R^2}$로 선택하고,

 $f: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2}$를 다음과 같이 정의하자:

$f((x, y))=(x+y, 2 x-y)$

 

주장 $f: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2}$는 선형함수이다.

 

체크 1)덧셈: $\mathbb{R^2}$의 임의의 두 원소 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$에 대하여,

 

 

2) 스칼라곱: $\mathbb{R^2}$의 임의의 원소 $(x,y)$와 임의의 실수 $r$에 대해서

 

 

행렬의 도입 위의 예시에서, 우리는 앞으로 $f((x, y))=(x+y, 2 x-y)$를 다음과 같이 "행렬"을 사용하여 새로이 적을 것이다:

 

$
f\left(\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
2 & -1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right)
$

 

만약에 함수 $f: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2}$ 대신에 다른 선형함수 $g((x, y))=(3x-2y, 4x+5y)$를 고려하는 경우, 우리는 이와 같이 적을 것이다:

 

 $g\left(\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{cc}3 & -2 \\ 4 & 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)$

 

일반적으로, 선형함수 $g((x, y))=(3x-2y,4x+5y)$는  ($a,b,c,d$실수)

다음과 같이 적는다: 

 

$
h\left(\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right)
$

 

이 기호를 이해하기 위해 이제 행렬 및 행렬의 연산을 정의하자.

코멘트 행렬은 단언컨대 현대수학에서 가장 중요한 대상이다.

행렬의 어원은 어머니 (mother), 자궁 (womb)을 뜻하는 라틴어 마트릭스(matrix)이다. 

 

행렬(Matrix) 

 

 

위와 같이 숫자를 사각형으로 배치하고 꺽쇠롤 닫으면 행렬이라 한다.

 

수학교실에서는 $M=N=2$인 상황을 주로 고려하고자 한다

 

$\left[\begin{array}{l}a_{11}&a_{12} \\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]$, or $\left(\begin{array}{l}a& b \\ c & d\end{array}\right)$  정도로 표시하자. (2X2행렬이라 부른다)

 

다만 필요상 아주 가끔 $m=2,N=1$도 고려한다.

 

$\left[\begin{array}{l}a_{11} \\ a_{21}\end{array}\right]$, or $\left(\begin{array}{l}a \\ b\end{array}\right)$: 2X1행렬이라 부른다

행렬의 연산에는 덧셈과 스칼라곱, 그리고 곱셈이 있다.

 

덧셈   

$\left(\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ll}b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22}\end{array}\right)$

$
\left(\begin{array}{l}
a_{11} \\
a_{21}
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}
b_{11} \\
b_{21}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
a_{11}+b_{11} \\
a_{21}+b_{22}
\end{array}\right)
$

즉 행렬의 덧셈은 각 성분끼리 더해주는 것으로 정의한다.

 

스칼라곱 

 

$K \cdot\left(\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}k a_{11} & k a_{12} \\ k a_{21} & k a_{22}\end{array}\right)$.

 

$
K \cdot\left(\begin{array}{l}
a_{11} \\
a_{21}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
k a_{11} \\
k a_{21}
\end{array}\right) \text {. }
$

 

곱셈 

 

$\left(\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}b_{11} \\ b_{21}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}a_{11} b_{11}+a_{12} b_{21} \\ a_{21} b_{11}+a_{22} b_{21}\end{array}\right)$

$
\left(\frac{a_{11}}{a_{21}} \frac{a_{12}}{a_{22}}\right)\left(\frac{b_{11}}{b_{21}}\right)=\left(\frac{a_{11} b_{11}+a_{12} b_{21}}{a_{21} b_{11}+\left(a_{22} b_{21}\right.}\right)
$

 

첫 행렬에서는 행성분 ($\longrightarrow$)을 선택하고 두번쨰 행렬에서는 열 (↓) 성분을 선택해서 각 성분끼리 곱해서 합하는 것이다.

 

2X2행렬끼리의 곱셈도 유사하게 정의한다.

 

$\left(\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}a_{11} b_{11}+a_{12} b_{21} & a_{11} b_{22}+a_{12} b_{22} \\ a_{21} b_{11}+a_{22} b_{21} & a_{21} b_{12}+a_{22} b_{22}\end{array}\right)$

 

$
\left(\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}
a_{11} b_{11}+a_{12} b_{21} & a_{11} b_{22}+a_{12} b_{22} \\
a_{21} b_{11}+a_{22} b_{21} & a_{21} b_{12}+a_{22} b_{22}
\end{array}\right)
$

 

계산연습 (각각 직접 써보시며 감을 완전히 잡고 가시길 권합니다)

 

(1) $\left(\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}3 \\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1+3 \\ 2+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}4 \\ 6\end{array}\right)$

(2) $\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ll}5 & 6 \\ 7 & 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}6 & 8 \\ 10 & 12\end{array}\right)$

(3) $-1 \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}-1 \times 1 \\ -1 \times 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}-1 \\ -2\end{array}\right)$

(4)

$
\begin{aligned}
& \left(\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ll}
5 & 6 \\
7 & 8
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{array}\right)+(-1) \cdot\left(\begin{array}{ll}
5 & 6 \\
7 & 8
\end{array}\right) \\
& =\left(\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}
-5 & -6 \\
-7 & -8
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
1-5 & 2-6 \\
3-7 & 4-8
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
-4-4 \\
-4-4
\end{array}\right)
\end{aligned}
$

(5)

$
\begin{aligned}
2 \cdot\left(\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{array}\right)-3\left(\begin{array}{ll}
2 & 1 \\
4 & 3
\end{array}\right) & =\left(\begin{array}{ll}
2 & 4 \\
6 & 8
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}
-6 & -3 \\
-12 & -9
\end{array}\right) \\
& =\left(\begin{array}{cc}
2-6 & 4-3 \\
6-12 & 8-9
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
-4 & 1 \\
-6 & -1
\end{array}\right)
\end{aligned}
$

(6) $\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}5 \\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 \times 5+2 \times 6 \\ 3 \times 5+4 \times 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}17 \\ 39\end{array}\right)$

(7) $\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 2 & 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-2 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}-2+3 \\ -4+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)$

(8) $\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 2 & 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}1 \times 3+2 \times 2 & 1 \times 1+2 \times 3 \\ 3 \times 3+4 \times 2 & 3 \times 1+4 \times 3\end{array}\right)$

$$
=\left(\begin{array}{cc}
7 & 7 \\
17 & 15
\end{array}\right)
$$

(9) $\left(\begin{array}{cc}1 & -2 \\ -3 & 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-3 & 1 \\ 2 & -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-7 & 7 \\ 17 & -15\end{array}\right)$

(10) $\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}x & z \\ y & \omega\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}a x+b y & a z+b \omega \\ c x+d y & c z+d \omega\end{array}\right)$

 

여기까지 숙달하셨으면, 위에서 살펴본

 

$
\begin{aligned}
& f: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} \\
& f((x, y))=(x+y, 2 x-y)
\end{aligned}
$

을 다시 봅시다. 다음의 행렬 표기와 같아짐이 보이시나요?

 

$
f\left(\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
2 & -1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right)
$

 

일반적으로, 선형함수

$
\begin{aligned}
& f: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2}, \\
& f((x, y))=\left(a x+b y,(x+d y) \right. \\
& f\left(\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right),
\end{aligned}
$

 

 

 

즉, $\left(\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right)$ 과 $\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right),$ 간의 행렬곱과 같음을 알 수 있습니다. 

 

마법 다음의 두 선형함수

 

$
\begin{aligned}
& f: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2}, f((x, y))=(x+y, 2 x-y) \\
& g: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2}, g((x, y))=(3 x+2 y, x-2 y)
\end{aligned}
$

 

를 고려하고, 이들의 합성함수 $g \circ f: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2}$를 구체적으로 구해봅시다.

 

$
\begin{aligned}
& g \circ f((x, y))=g(f((x, y)))=g((x+y), 2 x-y))
\end{aligned}
$ (편의상 $x,y$를 □로, $2x-y$를 △로 '치환' 합시다)

 

$
\begin{aligned}\\
& =g(\square,\triangle) \\
& =(3 \square+2 \triangle, \square-2 \triangle) \\
& =(3(x+y)+2(2 x-y), x+y-2(2 x-y)) \\
& =(3 x+3 y+4 x-2 y, x+y-4 x+2 y) \\
& =(7 x+y,-3 x+3 y) \text {. }
\end{aligned}
$

즉, $g \circ f\left(\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)\right)=\frac{\left(\begin{array}{cc}7 & 1 \\ -3 & 3\end{array}\right)}{(*)}\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)$ 이다.

 

다른 한편으로,

 

$
f\left(\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
2 & -1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right)
$

$
g\left(\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{cc}
3 & 2 \\
1 & -2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right)
$에서

 

두 행렬을 "$g \circ f$ " 순으로 곱해보자 즉

 

$
\begin{aligned}
\left(\begin{array}{cc}
3 & 2 \\
1 & -2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
2 & -1
\end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc}
3 \times 1+2 \times 2 & 3 \times 1+2 \times(-1) \\
1 \times 1+(-2) \times 2 & 1 \times 1+(-2) \times(-1)
\end{array}\right) \\
& =\left(\begin{array}{cc}
7 & 1 \\
-3 & 3
\end{array}\right) \text { 이다 }
\end{aligned}
$

 

이 행렬은 위에서 구한 $g\circ{f}$ 함수의 행렬 $
\begin{aligned}
& \left(\begin{array}{cc}
7 & 1 \\
-3 & 3
\end{array}\right) \
\end{aligned}
$과 정확히 일치한다.

 

결론 선형함수간의 합성은 각 선형함수에 대응하는 행렬들의 곱셈에 해당한다. 이러한 관찰은 결국 선형함수의 이해는 행렬의 이해로 귀결됨을 시사하는 것으로, 이에 대해 자세히 공부하는 함수의 항등원인 항등함수를 행렬의 관점에서 다시 보자.

 

$
\begin{gathered}
\left.I_{\mathbb{R}^{2}}: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2}, I_{\mathbb{R}^{2}}(x, y)\right)=(x, y) \text { 는 } \\
I_{\mathbb{R}^{2}}\left(\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right) \text { 이다 }
\end{gathered}
$

 

임의의 선형함수 $f\left(\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)$ 에 대해

 

$f\circ\mathbb{I}_{A}=\mathbb{I}_{A}\circ{f}=f$ 임은, 다음의 행렬 계산으로도 알 수 있다:

 

$\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$

 

연습문제 '마법'에서의 $f,g$에 대해 합성함수 $f\circ{g}$를 위와 동일한 방식으로 계산하고 이로부터 얻은 행렬이 $f$및 $g$

로부터 얻은 두 행렬의 곱셈과 같음을 확인해보세요.

 

다음 이야기 역함수의 개념이 함수들간의 합성을 기준으로 역원을 의미했듯이, 행렬의 모임에서 행렬의 곱셈을 기준으로 역원을 역행렬이라 부른다. 다음 시간에는 이에 대해서 살펴보자.