3강. 함수의 정의와 군

다음 포스팅은 https://youtu.be/AvtmkqsClg0 의 영상에서 작성한 노트의 핵심을 정리한 것입니다. 여러 오탈자 및 수정 사항들이 있을 수 있습니다. 노트 내용에 대한 디테일한 설명들은 영상을 참고하시길 바랍니다.

 

• 집합을 규정하는데 있어서 공리의 채택이 필요할 수 있다. 가령 자연수 집합을 규정하기 위해서는 페아노 공리계가 사용되었다.
• 정수집합은 자연수 집합과 덧셈에 대한 항등원과 모든 역원들의 모임으로 정의되었다. 복습할겸 다시 살펴보면

덧셈에 대한 항등원: 모든 자연수 $n$에 대하여 $n+e_+=e_++n=n$이 되는 $e_+$를 지칭한다. 여기서 $e_+$를 0으로 적는다.

 

덧셈에 대한 역원: 각 자연수 $n$마다, $n+x=c+n+0$이 되는 $x$를 $n$ 의 역원이라 부른다. $x$를 $-n$이라 적는다.

 

또한, 덧셈은 결합법칙을 만족한다. 즉, 임의의 자연수 $a,b,c$에 대하여 $(a+b)+c=a+(b+c)$이다. 이를 연산순서에 상관 없다고도 표현한다.

• 유리수 집합은 정수집합과 곱셈에 대한 항등원과 모든 역원들의 모임을 포함하는 '특정 좋은 집합' 으로서 정의된다.

곱셉에 대한 항등원: 0이 아닌 임의의 유리서 $a$에 대하여

$a×e_x=e_x×a=a$를 만족하는 $e_x$를 지칭한다.

$e_x$는 1과 같다.

곱셈에 대한 역원: 0이 아닌 각 유리수 $a$마다, $a×x=x×a=1$

이 되는 $x$를 $a$의 역원이라 부른다. $x$를 $\frac{1}{a}(or\ a^{-1})$이라 적는다.

또한 곱셈도 결합법칙 (임의의 유리수 $a,b,c$에 대하여 $(a×b)×c=a×(b×c))$을 만족한다.

• 우리는 정수집합과 덧셈, (0이 아닌) 유리수 집합과 곱셈을 '군 (group)'이라는 대상으로 일반화 했다. 일반적으로 (추상적으로)

집합 $S$위에 연산 $*$이 주어져 있다고 가정하자.

(즉, 집합 $S$의 두 원소 $a,b$네 대하여 $a*b$가 $S$의 원소가 되며, 결합법칙 $((a*b)*c=a*(b*c))$를 만족한다)

만약에 연산 $*$에 대하여 항등원이 존재하고,

(즉, $S$에 속한 임의의 원소 $a$에 대하여 $a*e=e*a=a$를 만족하는 $e$가 존재한다)

각 원소 $a$에 대한 역원 $x$가 존재한다면

(즉, $a*x=x*a=e$)

그러한 집합 $S$를 군(group)이라 부른다.

• 비록 아직 구체적으로 살펴보진 않았지만, 2차 방정식의 근의 공식이 존재하는 이유는 2차 대칭군 $S_2$라 부라는 특정 군이 갖는 성질과 관련이 있다. 2차 대칭군은 특정 함수들의 모임으로 정의되며, 이 렉쳐에서 살펴보고자 한다.

 

질문들      

 

1. 정수 집합과 유리수 집합은 '수'들의 모임이므로 덧셈이든 곱셈이든 연산을 고려 할수 있었고, 이로부터 '군'의 예시가 되었습니다. 그런데, 군을 규정한 정의를 살펴보시면 군에 해당하는 집합이 수의 모임이라고 한 적이 없습니다. 실제로 2차 대칭군은 '함수'의 모임이라고 했습니다. 함수는 일반적으로 수와 다른 개념입니다. 어떻게 수가 아닌 대상에 '연산'이 있을까요?
2. 이전에, '함수'란 정확히 무엇인가요? 

3번째 렉쳐의 목적 수학이란 집합과 함수에 대한 공부하는 학문입니다.

이 강의의 목적은 함수들의 모림을 군의 관점에서 이해하는 것입니다.

 

함수의 정의, 합성함수, 역함수

 

• 함수란 무엇인가?

마치 이런것:

 

 

 

혹은, 각 $x$를 $y$로 대응 지어주는 '박스'

 

적어도 함수가 아닌 것:

 

다만, 위의 그림들은 비유일뿐 아직 함수가 무엇인지 수학적으로 규정된 것은 아니다. 그리고 수학적 대상이 정의되려면 결국 '명사'로서 규정되어야 한다.

 

질문 함수란 XX이다.

 

• 이 두 글자를 유추하실 수 있나요?

힌트) 지금까지의 렉쳐노트들에서 가장 많이 언급된 단어입니다. 이 단어가 뭔지 충분히 생각해보시고 다음 장으로 넘어가세요.

 

 

 

 

 

 

 

정답 함수는 '집합' 입니다.

함수의 정의 두 집합 $A,B$가 있다고 가정하자. 이로부터 $A,B$로부터 곱집합 $A,B={(a,b)|a∈A,b∈B}$을 고려하자.

 

'함수'는 아래의 조건들을 만족하는 $A,B$의 '부분집합 $S_f$'으로 정의한다:

 

1. (함수값의 존재성) 집합 $A$의 각 원소 $a_0$마다, $B$의 원소 $b_0$가 존재하여 순서쌍 $(a_0,b_0)$이 $S_f$에 들어간다.

(1)조건은 $a_0$를 $b_0$로 대응시키는 것을 의미한다 :

하지만, 1) 조건만으로는

$(a_0,b_0)$이외에 $(a_0,b_1)$이 각각 $S_f$의 원소이면, $b_0=b_1$이어야 한다.

 

함수 '$S_f$'를 기호로 $F: A→B$ 로 대개 나타내며,

집합 $A$를 정의역 (domain), 집합 $B$를 공역 (codowain), 

각 $a∈A$마다 대응된 $b∈B$ (즉. ($a,b$)∈$S_f$일 때)를 함수값 (function value)이라 부르고 $F_(a)$로 나타내며,

함수값의 모임 $F(A)={F(a)∈B| a∈A}$을 치역 (range or image)이라고 부른다.

 

용어를 정리하자면,

 

합성함수 세 집합 $A,B,C$이 주어져 있고 두 함수

$f: A→B 와 g:B→C$ 가 주어져 있다고 가정하자.

함수 $f:A→B$로부터 $A$의 각 원소 $a$는 함수값 $F(a)∈B$ 로 대응된다. 그러면 함수 $g:B→C$로부터 $B$의 원소 $f(a)$는 $g$의 함수값 $g(f(a))∈C$로 대응된다. 이 방식으로

 

 

$A$의 각 원소 $a$를 $g(f(a))∈C$로 하나씩 대응시킬 수 있다.

이 방식으로 새로운 함수 $h$ : $A$→$C$

                                               $a$→$g(f(a))$

를 정의하고 $h$ : $A$→$C$를 $f:A→B$,  $g:B→C$의 합성함수라 부르며 $h$를 $g\circ{f}$:$A$ →$C$로 표기한다.

 

코멘트 함수 및 합성함수의 정의를 안 보고 남에게 설명할 수 있도록 숙달하신 후에 이 다음으로 넘어가시길 권합니다. 

 

지금까지 우리는 함수 및 합성함수의 정의를 명확히 규정했습니다.

질문으로 돌아가서 $P3$의 '질문들 1)'에서 두 수의 연산과 대비하여 두 함수의 '연산'을 어떻게 생각할 수 있는지를 질문했습니다. 이 시점에서 '연산'으로 쓰일 수 있는 한가지 좋은 후보가 생겼습니다. 바로 두 함수의 합성 '0'입니다.

 

결합법칙

 

 

 

→ 즉, 함수의 합성 '$\circ$'에 대해 '연산 순서'가 상관없다.

다시 말해서, $(h\circ{g})\circ{f}=h\circ(g\circ{f})$이 성립한다.

 

 

함수의 합성 $\circ$ 에 대한 항등원은 항등함수이다  각 집합 $A$에 대해

함수 $1_A$:$A$→$A$를 항등함수 (identity function)라고 부른다.

             $a|$→$a$ 자기 자신을 자기 자신으로 대응 

 

그러면 임의의 함수 $f:A→A$에 대하여,

$f\circ{1_A}=1A\circ{f}=f$이다. (군의 $a*e=e*a=a$에 해당한다.)

 

 

 

2,3차 대칭군 $S_2,S_3$ $S={1.2}$에 대해 다음의 두 함수를 정의하자:

 

 

2차 대칭군 $S_2$는 $1_s,f$ 두 함수의 모임으로 정의 된다.

 

연습문제 $S_2$가 군이 됨을 확인해볼 것.

비슷하게, $S$= ${1,2,3}$에 대해 6가지 함수를 정의하자:

 

 

3차 대칭군 $S_3$는 $1_S, f_1,f_2,f_3,f_4,f_5$의 모임으로 정의한다.

 

연습문제 $S_3$이 군이 됨을 확인해볼 것.