2강. 근의 공식과 대수학, 자연수 집합의 페아노공리계와 군의 정의

다음 포스팅은 https://youtu.be/is006esOE50 의 영상에서 작성한 노트의 핵심을 정리한 것입니다. 여러 오탈자 및 수정 사항들이 있을 수 있습니다. 노트 내용에 대한 디테일한 설명들은 영상을 참고하시길 바랍니다.

 

2. 대수학 (Algebra)

 대수학에서 '대수'는 수를 대신한다는 뜻으로 수 대신에 문자 (x,y 등등)로 바꾸어 연산을 수행하는 것의 이모저모를 통칭하여 대수학이라 부른다. 가령 선형대수학은 '선형' 적인 대수학을 공부하는 것이다.

 

• 어떤 수학자들에게는 1545년이 '수학 시작의 해'로 여겨진다.
• 아벨, 갈루아는 각각 5차 이상의 방정식의 근의 공식도 존재하거라 여겼고 증명을 지도한 결과 둘다 5차 이상은 근의 공식이 없다는 결론에 이른다. 갈루아가 이 내용을 당대 최고의 수학자 코시에게 보낼때 당시의 그는 17세 였으나 그는 20세에 결투하다가 사망한다. 갈루아의 업적은 현대수학의 초석인 군론 (group theory)를 낳는다. 아벨 역시 5차 방정식의 근의 공식이 없음을 증명한다. 그는 27세에 폐결핵으로 사망한다.
• 현재 수학계에서 두 상이 가장 권위있게 여겨진다. 40세 이하에게 부여되는 필즈메달, 그리고 평생의 업적을 토대로 부여하는 '아벨상'
• 우리는 제일 먼저, 중고교 시절에 적어도 본적이 있는 계산을 살펴보려고 한다.
• 계산들을 다 숙지하신 이후에 노트를 계속 읽으시길 권합니다.

계산들 (복습으로서도 필요하시면 개인 공부를 하시길 권합니다.)

 

1.   $1-(2-3)=1-2+3=-1+3=2$

 

2.  $8 \div 4\div2 $ = $2 \div 2$ = 1       (인터넷 밈으로 종종 회자됩니다. 왜 틀린걸까요?)       
                              = $8\div2$ =4

 

3. $\frac{1}{0}$X0= 0(0을 곱하면 언제나 0 이므로)   (틀린걸까요?)

              = 1 (분모와 분자의 0이 서로 상쇄되므로)

 

4) $x+x=(1+1) x=2 x$

 

5) $x \times\left(x^{2}+2 x+1\right)=x^{3}+2 x^{2}+x$

 

6) $(a x+b)(c x+d)=a c x^{2}+(a d+b c) x+b d$

 

7) $(x+\alpha)(x+\beta)(x+r)=x^{3}+(\alpha+\beta+\gamma) x^{2}$ $+(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha) x+\alpha \beta \gamma$

 

(혹시6),7) 수식들을 외우거나 전개하지 않고 바로 각 우변이 되어야 하는 트릭을 파악하실 수 있나요?)

 

8) $(x+1)^{2}=(x+1)(x+1)=x^{2}+2 x+1$

 

9) $x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}$ ((9)와 달리 좌변으로부터 우변을 유추하란 뜻입니다. 이 과정에서 $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab=b^{2}$)를 형태로 기럭해두는 것은 상당히 요긴합니다)

 

10)

$
\begin{aligned}
x^{2}+4 x+5 & =\frac{x^{2}+2-2 \cdot x}{a^{2}}+\frac{22^{2}+1}{2 \cdot a \cdot b}+\frac{b^{2}}{5} \\
& =\frac{(x+2)^{2}}{(a+b)^{2}}+1
\end{aligned}
$

 

11)

$
\text {  } \begin{aligned}
& 2 x^{2}+4 x+5=2\left(x^{2}+2 x\right)+5 \\
= & 2\left(x^{2}+2 \cdot 1 \cdot x+1-1\right)+5 \\
= & 2\left(x^{2}+2 \cdot 1 \cdot x+1\right)-2+5 \\
= & 2(x+1)^{2}+3
\end{aligned}
$

 

12) $3 x^{2}+6 x+7=3(x+1)^{2}+4$

(11)번을 이해하고 숙달되면 (12)번이 쉽게 도출됨이 바람직합니다.

 

13) 

$
\text { } \begin{aligned}
& a x^{2}+b x+c=a\left(x^{2}+\frac{b}{a} x\right)+c \\
& =a\left(x^{2}+2 \cdot \frac{b}{2 a} \cdot x\right)+c \\
& =a\left(x^{2}+2 \cdot \frac{b}{2 a} \cdot x+\left(\frac{b}{2 a}\right)^{2}-\left(\frac{b}{2 a}\right)^{2}\right)+c \\
& \left.=a\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^{2}-a \cdot\left(\frac{b}{2 a}\right)^{2}+c\right) \frac{b^{2}}{4 a^{2}} \times a=\frac{b}{4 a} \\
& =a\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^{2}-\frac{b^{2}}{4 a}+c
\end{aligned}
$

$
\begin{array}{ll}
=a\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^{2}+\frac{-b^{2}+4 a c}{4 a} \quad \begin{array}{l}
a^{-1}=\frac{1}{a} \\
a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}
\end{array}
\end{array}
$

 

14)  13)으로부터, $a x^{2}+b x+c=0, a>0$

 

                            $a\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^{2}+\frac{-b^{2}+4 a c}{4 a}=0$

 

                            $\quad a\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^{2}=\frac{b^{2}-4 a c}{4 a}$

 

                            $\quad\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^{2}=\frac{b^{2}-4 a c}{4 a^{2}}$

 

                           $\quad\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^{2}=\frac{b^{2}-4 a c}{4 a^{2}}$

 

                           $\quad\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^{2}=\frac{b^{2}-4 a c}{2 a^{2}}$

 

                           $
                            \begin{aligned}
                           & x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}
                           \end{aligned}
                          $

 

질문 왜 2차 방정식에는 근의 공식이 존재하나요?

우리가 근의 공식을 어떻게 유도하는지 알기 떄문입니다.

그러면 근의 공식이 존재하는지 아닌지는 어떻게 판단할 수 있나요?

 

갈루아 이론 (추상 대수학) N차 방정식 $x^n+a_{n-1} x^{n-1}+...+a_1x+a_0=0$

에 대해, N이 5이상이면 일반적으로 근의 공식이 존재하지 않는다.

 

노트 "무존재성"을 증명할 수 있음이 흥미롭다. 이에 대해 구체벅으로 살펴보기 위해서는 근이 일반적으로 복소수에 해당하므로 수체계의 정의부터 명확히 한 이후에 살펴보기로 하자.

 

자연수

자연수 집합은 다음의 직관을 따라 5가지의 공리를 만족하는 집합으로 규정한다. 

 

• 우리가 생각하는 자연수 집합의 생김새:

 

공리 (1)  1은 자연수 이다

 

(1이란 기호가 자연수라고 받아들이겠다는 뜻입니다. 그러나 이것만 가지고는 1이 첫번째 원소일 이유가 없습니다. 또한 +1을 함으로서

그 다음 숫자로 건너가고자 하되 아직 자연수 집합이 규정되지 않았고 덧셈 또한 정의되지 않았습니다. 그러므로 그 다음 숫자의개념을 계승자 (Successor)로서 규정합니다)

 

공리(2)$N$이 자연수일때 $N$의 계승자 $N'$은 자연수이다.

(계승자를 토대로 $N$의 다음수 $N'$이 규정되므로, 이 시점에서 여러 상황이 가능합니다. 가령)

 

 

: 1의 계승자들 이외의 그 무언가가 더 있는 경우

그러므로 다른 공리 (3)-(5)는 2)-5)를 배제하는데 주안점이 있습니다.

 

공리(3) $N'$=1인 자연수 $N$은 없다 : 2)번 상황 배제

공리(4) $M≠N$ 이면 $M'≠ M'$ 이다 : 3),4) 배제

공리(5) (수학적 귀납법) 자연수 집합이 부분집합 $S$에 대하여 $1∈S$이며 임의의 $N∈S$에 대하여 $N'∈S$이면 $S$는 자연수 집합 전체와 같다 : 5) 배제

 

위의 5가지 공리들을 자연수의 페아노 공리계 (Peano's axiom)이라 부른다

 

자연수의 덧셈은 다음의 두 성질을 만족시키는 연산으로 정의한다.

a) 모든 자연수 $N$에 대하여 $N+1=N'$이다

b) 모든 자연수$N,M$에 대하여 $N+M'=(N+M)'$이다

 

그리고 계승자로 규정한 각 원소를 다음과 같이 정의하자

$2=1^{\prime}, 3=1^{\prime \prime}=2^{\prime}, 4=3^{\prime}=2^{\prime \prime}=1^{\prime \prime \prime}, 000$ $n=1^{(n-1)}$

 

명제 1+1=2이다

증명) a)에 의하여 1+1=1'

그런데 2=1'으로 정의했으므로 1+1=2이고 증명이 끝난다.

 

명제 2+3=5이다

증명) 2+3=1'+1"=(1'+1')'

$
\begin{aligned}
& {=}\left(\left(1^{\prime}+1\right)^{\prime}\right)^{\prime} {}=\left(\left(1^{\prime \prime}\right)^{\prime}\right)^{\prime}=1^{\prime \prime \prime \prime}=5
\end{aligned}
$

 

정수

정수집합은 자연수 집합과 덧셈의 항등원 0과 모든 자연수의 역원의 집합 (이를 음의 정수라 부른다)로 정의한다.

 

• 항등원: 모든 자연수 $N$에 대해 $N$+$e_+$=n을 만족하는 수 $e_+$로 정의 한다.이 숫자 $e_+$는 통상적으로 0으로 적는다.
• 역원: 각 자연수 $N$의 역원 $x$는 $N$+$x$=0을 만족시키는 수$x$로 정의한다. $x$를 $-N$으로 표기한다.

(자연수 집합에 덧셈을 정의하고 항등원과 역원의 개념을 토대로 정수를 정의한 것처럼, 정수의 곱셈을 토대로 유리수를 정의합니다.)

 

곱셈의 정의 (페아노 공리계를 사용)

임의의 정수 $X,Y$에 대하여

a) $x\times 0=0$

b) $x\times y^{\prime}={x \times y}+x\left(\because x \times y^{prime}=x(y+1)=x y+x\right)$

를 만족하는 연산 $X$를 곱셈이라 부른다.

 

(-1)X(-1)=1의 증명:

$\begin{aligned}
& \stackrel{a)}{=}(-1) \times 0 \\
& =(-1) \times(-1)^{\prime} \\
& \stackrel{b}{=}((-1) \times(-1))+(-1)
\end{aligned}
$

 

그러므로 (-1)X(-1)은 (-1)의 덧셈에 대한 역원이여야 한다.

따라서 (-1)X(-1)=1 이다.

 

곱셈의 정의로부터 곱셈의 항등원은 1$C$ (즉 모든 정수 $x$에 대하여 $x$X1=$x$)이며, 0이 아닌 정수 $x$의 역원을 $\frac{1}{x}$로 표기할 것이다.

 

(만약에 $\frac{1}{0}$이 잘 정의 된다면 어떤 결론이 도출될까요?)

 

유리수는 정수 및 곱셈에 대한 항등원 및 모든 역원의 모임이다.

 

생각해볼점 왜 항등원과 역원을 도입해서 0과 음수를 설명하고자 했을까요?

-1개의 사과란 개염을 결국 $x$+1=0이라는 '방정식'의 해로서 기술하고 싶은 것입니다. 방정식의 해 라는 관점은 자연수와 정수에 국한하지 않고 수학적 대상들을 서술하는 아주 요긴한 관점이 됩니다.

가령 유리수 $\frac{b}{a}$ (a≠0,a,b$정수)는 $ax=의 해 입니다.

특히나 허수 $i$는 방정식 $x^2$=-1의 해로서 정의됩니다.

 

복소수 $a+bi, a,b $ 실수의 모임

 

생각해볼점 2 지금까지 정의된 두 연산 $+,X$ 모두 연산을 막론하고 항등원과 역원을 말할 수 있었습니다. 그렇다면 (일단 쓰임새는 미뤄두고) 이러한 연산들은 비단 이 두가지 이외에도 더 있지 않을까요? 실로 그렇습니다. 이러한 일반화를 '군'이라 부르며, 현대수학의 모든 방향의 발전에 초석을 이루는 개념입니다.

 

정의   집합 $S$위에 연산 $*$이 주어져 있다고 가정하자.

(즉, 집합 $S$의 두 원소 $a,b$에 대하여 $a*b$가 S의 원소가 되며, 결합법칙 (($a*b)*c=a*(b*c$))을 만족한다

 

만약에 연산 $*$에 대하여 항등원이 존재하고,

(즉 S에 속한 임의의 원소 $a$에 대하여 $a*e$=$a$를 만족하는 $e$가 존재한다)

 

각 원소 $a$에 대한 역원 $x$가 존재한다면

(즉 $a*x=x*a=e$)

그러한 집합 S를 군 (group)이라 부른다.

 

근의 공식과 근의 대칭성, 갈루아 이론

 

예시1  $x^{2}-2=(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})$

예시2  $x^{4}-2=(x+\sqrt[4]{2})(x-\sqrt[4]{2})(x+\sqrt[4]{2} i)(x-\sqrt[4]{2} i)$

 

 

예시3 $x^{6}-2x^4-2x^2+4=(x^2-{2})(x^4-{2})$

 

→ 두 '다이얼'이 서로 독립적으로 자유로이 회전한다. 즉, 다이얼 1을 원하는 만큼 돌리고 다이얼 2를 돌리든, 다이얼 순서를 바꾸어서 각각 같은 횟수만큼 돌리기만 하면 같은 위치에 해당해야 한다.

 

각 다이얼에 대응되는 인수분해 및 그에 대한 근들이 존재한다.

 

예시 4 $x^{12}-x^7-x^5+1=(x^7-{1})(x^5-{1})$

                                               근 7개 $p_1,...p_7$  근 5개 $q_1,...q_5$

 

 

 

 

 

아벨, 갈루아의 상상 다항식 $x_n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0=0$

의 근의 공식의 존재 여부는 각 근들이 만드는 다이얼들이 서로 독립적으로 움직일 수 있는 여하일 것이다!

 

이 상상이 놀라운 수학이 되도록 하는 마법

 

다이얼을 돌리는 행위는 사실 '일대일 대응 함수'를 '합성' 하는 것이며, 각 다이얼들을 독립적으로 바꿀 수 있는 여하는 일대일 함수들의 모임이 '군'으로서 어떤 구조를 갖는지 이해하는 것으로 완전히 환원된다.

(추상대수학에 이 군을 대칭군 symmetric group이라고 부릅니다)

 

아벨, 갈루아의 정리 N차 다항식의 근의 공식이 존재하는 여하는 N번째 대칭군 $S_n$이 단순군 simple group인 여하는 동치이다.

$S_n$ 은 $N\geq5$부터 단순군이 아니며, 그러므로 5차 이상의 다항식의 근의 공식이 존재하지 않는다.

 

다음시간 함수와 군

질문 함수의 정의는 무엇인가요?

질문 선형함수의 정의는 무엇인가요?

질문 혹시 행렬을 들어보셨다면 선형함수와 행렬은 무슨 관계가 있나요?