26. 추상대수학 (g) 제1,2,3 동형정리

다음 포스팅은 https://youtu.be/S5HFHUevqIg 의 영상에서 작성한 노트의 핵심을 정리한 것입니다. 여러 오탈자 및 수정 사항들이 있을 수 있습니다. 노트 내용에 대한 디테일한 설명들은 영상을 참고하시길 바랍니다. 

 

20191028 Isomorphism theorems.

Statements of isomorphism theorems.

1st Isomorphism Theorem. Let $\varphi: G \longrightarrow H$ be a group homomorphism.

$(\rightarrow \operatorname{ker} \varphi \unlhd G \Rightarrow G /$ ker$\varphi$ is a gp)

Then $\bar{\varphi}: G / \operatorname{ker} \varphi \cong \operatorname{Im} \varphi$
          $\text { gker } \varphi \longmapsto \varphi(g) \text {. }$


In particular, $\bar{\varphi}$ is well-defined and is a gp isomorphism.

2nd Isomorphism Theorem. Let $H \leq G$ and $K \unlhd G$ 
Then $H / H \cap K \simeq H K / K$

3rd Isomorphism Theorem.

$\begin{aligned}
& H, K \unlhd G, K \leq H( \unlhd H) \\
& \Rightarrow G / K / H / K \cong G / H .
\end{aligned}$

Proof of 1st Isomorphism Theorem. 

Claim: $\bar{\varphi}$ is well-defined.

Let $g k e r \varphi=g^{\prime} \operatorname{ker} \varphi \Leftrightarrow g\left(g^{\prime}\right)^{-1}$ $\in$ ker$\varphi$
$\begin{aligned}
\Leftrightarrow \varphi\left(g(g)^{-1}\right)=e_{H} & \Leftrightarrow \varphi(g) \varphi\left(g^{\prime}\right)^{-1}=e_{H} \\
& \Leftrightarrow \varphi(g)=\varphi\left(g^{\prime}\right).
\end{aligned}$

claim: $\bar{\varphi}$ is a gp homo.

Write gker $\varphi=\bar{g}$.

$\begin{aligned}
& \bar{\varphi}\left(\bar{g} \cdot \overline{g^{\prime}}\right)=\bar{\varphi}(\overline{g g}) \stackrel{\text { defof } \bar{\varphi}}{=} \varphi\left(g g^{\prime}\right) \stackrel{\varphi g p \text { homo }}{=} \varphi(g) \varphi(g) \\
& =\bar{\varphi}(\bar{g}) \overline{\varphi(}\left(\overline{g^{\prime}}\right)
\end{aligned}$

Claim: $\bar{\varphi}$ is $1-1$.

If $\bar{\varphi}(\bar{g})=\bar{\varphi}(\bar{g})$, then $\varphi(g)=\varphi\left(g^{\prime}\right)$

$\Rightarrow \varphi\left(g\left(g^{\prime}\right)^{-1}\right)=\text { eH, } \quad g\left(g^{\prime}\right)^{-1}  \varphi \in \text { gker } \Leftrightarrow\varphi=g^{\prime}\operatorname{ker} \varphi$

Claim: $\bar{\varphi}$ is onto. 

Take any $\varphi(g) \in \operatorname{Im} \varphi$. Then $\bar{\varphi}(\bar{g})=\varphi(g)$.

eg) $G=(\mathbb{C}-\{0\}, X) g p$.

Let $\begin{aligned} \varphi:(\mathbb{R}, t) & \longrightarrow S^{1}=\{z \in \mathbb{C}| z \mid=1\} \\ x & \longrightarrow e^{2 \pi {i} x}\end{aligned}$

Then $\varphi$ is a gp homo.

${\varphi(x+y)}=e^{2 \pi i(x+y)}=e^{2 \pi i x} \cdot e^{2 \pi i y}=\varphi(x) \varphi(y)$

$
\begin{aligned}
\text { ker } \varphi & =\{x \in\mathbb R | \varphi(x)=1\} \quad \text { Euler formula } \begin{array}{l}
e^{i \theta}=\cos \theta \\
+i \sin \theta
\end{array} \\
& =\left\{x \in\mathbb R \mid e^{2 \pi i x}=1\} \stackrel{}{=}\{x \in \mathbb{R} \mid \cos 2 \pi x+i \sin 2 \pi x=1\}\right. \\
& =\mathbb{Z} .
\end{aligned}
$

By 1st Isomorphism Theorem, $\mathbb{R}/ \mathbb{Z} \cong S^{\prime}$

Proposition. $N \unlhd G, f: G \rightarrow H$ be a group homomorphism.

Then $\bar{f}: G / \mathrm{N} \longrightarrow H$ is well -defined
          $g N \longmapsto f(g)$
          

if and only if $N \subseteq$ Kerf.

$
\begin{aligned}
& \text { Proof. } \Rightarrow \text { Let } g \in N \Rightarrow g N=N \\
& \Rightarrow \bar{f}(g N)=\bar{f}(N)
\end{aligned}
$

This implies $g\in Ker f$. 

$(\Leftrightarrow)$ Let $N \subseteq$ kerf.

Let $g_{1} N=g_{2} N \Leftrightarrow g_{1} g_{2}^{-1} \in N$ kerf
                               $\Rightarrow f\left(g_{1}, g_{2}^{-1}\right)=e_{H} \Leftrightarrow f\left(g_{1}\right)=f\left(g_{2}\right)$
                               $\Leftrightarrow \bar{f}\left(g_{1} N\right)=\bar{f}\left(g_{2} N\right)$

Corollary. f: $G \rightarrow H$ gp homo. $M \unlhd G, K \unlhd H$.

Then $\bar{f}: G / M \longrightarrow H / K$
           $g M \longmapsto f(g) k$

is well-defined if $f(M) \subseteq K$.

 

Proof. \bar{f}. is well-defined

iff $g_{M} M=g_{2} M \Rightarrow f\left(g_{1}\right) K=f\left(g_{2}\right) K$

$\Leftrightarrow g_{1} g_{2}^{-1} \in M \Rightarrow f\left(g_{1}\right) f\left(g_{2}\right)^{-1} \in K$

$\Leftrightarrow g_{1} g_{2}^{-1} \in M \Rightarrow f\left(g_{1} g_{2}-1\right) \in K$

$\Leftrightarrow f(M) \subseteq K$. 

Proof of 2nd Isomorphism Theorem.

Let $H \leq G$ and $K \unlhd G$

Consider $\mathrm{L}: H \longrightarrow G$
                 $\pi: G \longrightarrow G / K$

Let $\pi: i: H \stackrel{i}{\longrightarrow} G \stackrel{\pi}{\longrightarrow} G / K:$ gp homo.

Then $\operatorname{ker}(\pi \cdot i)= \{h \in H \mid h K=K\}$
                             $=H \cap K \unlhd H$

Then by Ist Isomorphism Theorem,

$\begin{aligned}
H / H n k \cong \operatorname{Im}(\pi \circ 0) & =\{\operatorname{h} k \mid h \in H\} \\
& \left.= \{h_{k} k \mid h \in H, k \in K\right\} \\
& =H K / K
\end{aligned}$

i.e., $H / H n K \cong H k / K $

Proof of 3rd isomorphism Thm.

Let $H, k \unlhd G, k \leq H(\Leftrightarrow) K \unlhd H)$

Consider idG:G $\rightarrow G$. 

Then by Cor,

$\begin{aligned}
\overline{i d}: G / K & \longrightarrow G / H \text { is well-defined } \\
g K & \longrightarrow g H \text { iff id(k) } C H
\end{aligned}$
         $\Leftrightarrow K \subseteq H .(V)$

         
Note that $\overline id$ is surjective and
$\begin{aligned}
\operatorname{Ker}(\overline {id}) & =\{g k \mid g H=H\} \\
& =\{g k \in G / K \mid g \in H\} \\
& =H / K .
\end{aligned}$

 

 

Thus by 1st iso. thm,

$G / k / H / k \cong G / H $