15강. 미분기하의 아름다움

 

다음 포스팅은 https://youtu.be/xRFknR65o2U 의 영상에서 작성한 노트의 핵심을 정리한 것입니다. 여러 오탈자 및 수정 사항들이 있을 수 있습니다. 노트 내용에 대한 디테일한 설명들은 영상을 참고하시길 바랍니다.

 

강의 15. 미분적분학과 위상수학의 아름다움

 

복습과 관찰

 

• 1강에서, 유클리드 기하학은 임의의 두 평행선은 만나지 않는다를 '공리'로서 선택한 수학이고, 이와 동치명제로 임의의 삼각형의 내각의 합은 180º(라디안 단위로 $\pi$와 같다)임을 언급했었다. 위의 문장들은 두 평행선 및 삼각형이 '완벽히 평평한 평면'위에 올려져 있어야 성립하기에 공리가 되는 것으로 해석할 수 있다.
• '완벽히 평평한 평면'의 수학적 정의는 벡터공간 $\mathbb R^2$ 및 내적으로 항등행렬 $\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$, 즉 $(a_1,a_2)\cdot(b_1,b_2)=a_1,b_1+a_2b_2$를 할당한 것을 의미한다.
• '완벽히 평평한 평면'이 아닌 곡면은 $f: \mathbb{K} \longrightarrow \mathbb{R}$를 활용해서$S=\{x,y,f(x,y):(x,y)\in{{K}}\}$,$K$ 는 $\mathbb{R}^2$으로 표현할 수 있다.

 

이중적분 (12-13강)

 

 

 함수 $Z=f(x,y)$가 폐곡선의 내부 영역에 주어질 때의 적분의 정의는 $a,b$를 $(n)$개의 '구간'으로 분할했던 것처럼 폐곡면을 $n$개의 '직사각형'으로 분할하고, 각 직사각형 위에서 함수 $f$의 함수값을 높이로 갖는 직육면체를 만들어서 이 부피들을 다 더하고 $n$을 무한대로 늘리는 것을 의미한다. 

이를 $\iint_{s} f(x,y)dxdy$로 적고 '이중적분'(double integral)이라고 부른다.

 

 

 

 

 

 

 

면적분

 

 

 

 

이중적분을 일반화 하여, 적분영역이 $\mathbb{R}^3$내의 곡면으로 주어질 때, 함수 $f:S\longrightarrow\mathbb{R}$을 위와 비슷하게 각 직사각형으로 $R$을 분할하고 함수값을 높이로 갖는 직육면체의 부피를 다 더하고 무한개로 확장하는 방식으로 정의하는 적분을 면적분 (Surface Integral)이라고 부르고 $\iint_{s} fdA$로 적는다.

 

 

질문 '완벽히 평평한 평면'이라는 대전제 하에서 살펴보고 있었던 이야기들은 사실 일반적으로는 곡면 위에서도 말할 수 있었던데 아니었을까?

• 직관적으로 '평면'과 '곡면'을 구분짓는 특징은 '구부러짐' 혹은 '휘어짐' 이라고 표현할 수 있다.

곡면들의 예시)

 

질문 곡면의 구부러지거나 휘어진 여하는 정량적으로 어떻게 표현할 수 있을까요?

• 먼저는 '곡선'의 휘어짐부터 함께 생각해 봅시다.

세가지 경우

 

그런데, 우리는 이제 일변수 함소 $y=f(x)$의 기울기의 정체는 각 $(x,f(x))$ 위에서의 미분계수 $f'(x)$ 임을 알고 있다. 그리고, 곡선의 휘어짐은 '기울기가 어떻게 변하는가'를 의미함을 위의 그림들로부터 유추 할 수 있다. 즉 곡선을 $y=f(x)$로 표현할 때 곡선의 휘어짐의 정체는 미분계수의 순간 변화, 즉 미분계수의 미분계수 $y=(f'(x))'f''(x)$이다. 

 

정의 곡선 $y=f(x)$의 이계도함수 $y=f''(x)$를 곡선의 곡률 (Curvature)라고 부른다.

 

코멘트 물리학에서 단위질량에서의 힘이 수학적으로 곡률과 같은 개념이다. 

• 곡면의 경우 곡선과 달리 여러 곡률의 개념이 혼재한다. 우리는 그 중에서 가우스 곡률 (Gaussian Curvature)이라는 곡률을 살펴보고자 한다. 

가우스 곡률의 정의

Step 1 곡면 $S$가 $\mathbb R^3$의 부분집합이고, 곡면 $S$위에서 $P$점을 고정하고 그 점이 원점이 되는 접평면 위에서 내적 $<\cdot,cdot>_p$이 주어져 있다고 가정한다.

 

Step 2 곡면의 각 점 $P$위에서 접평면에 수직인 벡터 (법선벡터 normal vector)를 곡면 바깥으로 세운다. 

 

 

Step 3 Step 2의 법선벡터를 품고있는 평면들을 생각하고 이러한 각 평면마다 $S$와 겹치는 곡선을 그린다.

 

Step 4 Step 3에서 얻은, 각 평면이 $S$와 겹쳐져서 얻은 곡선마다 곡선의 곡률 (즉 곡선을 일변수 함수 $v=f(x)$로 보고 점 $P\in{S}$에서 이계고 함수 $f''(p)$값)을 구한다.

 

Step 5 Step 4에서 구한 곡선들의 각각의 곡률값들 중에서 최대값과 최소값을 고른다. 

 

코멘트 Step 3의 평면의 갯수가 무한개이므로 해당 곡선들 및 곡선의 곡률의 갯수도 무한개이니 이들중에 최대값과 최소값을 고를 수 있는지 비자명하나, 이는 수학적으로 엄밀하게 따지면 우리가 배운 무지개 정리 (8강)에 의해 성립한다.

 

Step 6 Step 5에서 구한 곡선들의 곡률의 최대값과 최소값의 곱한 값을 P점에서의 가우스곡률로 정의한다.

 

함수로서 가우스곡률의 형태 (The Formula of the Gaussian Culvature)

곡면을 $z=f(x,y)$, $f:K\longrightarrow\mathbb R$로 표현할 때, $p=(p_1,p_1)\in\mathbb K$위에서 가우스 곡률 $C(P)$는 다음과 같이 표현된다 (유도는 생락한다):

 

$C(P)=\frac{\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial x} \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial y}-\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}}{\left(1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}\right)^{2}}(p)$

 

코멘트 가우스 곡률의 형태 자체를 외우거나 굳이 알고계실 필요는 전혀 없으며 결과적으로 가우스곡률은 곡면위의 각 $\mathbb{P}$마다 어떤 값이 나오는 함수라는 사실에 주목하시길 바랍니다. 특히, 가우스 곡률 $C:K\longrightarrow\mathbb{R}$는 함수로서 이중적분 $\iint_{k}C(x,y)dA$를 취하는게 가능합니다.

 

• 이제 렉쳐노트 초반부의 이야기, 평면 대신에 곡면 위에서 삼각형의 내각의 합이 $\pi$(180º)와 얼마나 다른지를 살펴보겠습니다.

가우스-보네 정리의 특수한 경우에 해당하는 정리

곡면 ($S,<\cdot,\cdot>$)가 $\mathbb{R}^3$ 내부에 주어져 있다고 가정하자.

 

 

곡면 $S$위에서 임의이 세 점 $P_1,P_2,P_3$을 선택하고 각 두 점을 두 점 사이의 최단거리 (내적 $<\cdot,\cdot>$에 의존된다)로 연결하여 곡면 위에서 삼각형을 만들자. 

 

그러면 다음이 성립한다:

 

$\theta_1+\theta_2+\theta_3=\pi+\iint_{t} C d A$

 

즉, 삼각형의 내각의 합과 180º의 차이는 해당 삼각형위에서 가우스 곡률의 면적분으로 표현된다.

 

 

코멘트   내적이 항등행렬로 주어진 $\mathbb{R}^2$위에서는 가우스 곡률이 항상 모든 점 $P$위에서 0이므로 이 정리에 의해서 삼각형의 내각이 합이 180º($\pi$)가 되는 것으로 해석할 수 있다.

 

위의 정리로부터 적어도 가우스 곡률이 곡면을 이해하기 위해서 중요한 함수라고 판단하는 것은 타당해 보인다. 하지만 위의 정리는 가우스곡률의 중요함을 정당화하는 근거로서는 새발의 피에 지나지 않는다.

 

가우스 곡률을 정의한 steps들을 다시 상기해보자. 특히나 step2에 의하면 곡면의 바깥으로 빠져나가는 법선벡터 (normal vector)를 거쳐서 몇 단계를 토대로 정의가 되었다. 즉, 곡면의 가우스 곡률을 알려면 "곡면 바깥 세계"에 대해 반드시 알아야 하는 것처럼 보이나, 다음의 정리는 가희 충격적이다.

 

가우스의 위대한 정리 (Theorema egregium)

곡면  ($S,<\cdot,\cdot>$)의 가우스 곡률은 오직 내적 {$<\cdot,\cdot>$)(리만메트릭으로 대개 부른다)에 의해서 완전히 결정된다!!!

 

코멘트 왜 위의 정리가 굳이 충격적이기 까지 한가?

'내적'이 무엇인가? 곡면의 각 접평면 위에서 벡터들의 크기 및 각도를 재는 도구이다. 특히나 내적은 접평면 바깥 외부세계에 대해서는 그 어떠한 정보도 들고있지 않다.

반면에 가우스곡률은 곡면의 바깥에 있는 법선벡터를 데려와야 비로소 정의가 된다. 즉 곡면의 외부 정보를 데려와야 비로소 정의가 된다. 즉 곡면의 외부정보를 알아야 하는 것처럼 보인다. 가우스의 위대한 정리는 사실은 그렇지 않다는 것을 가르쳐준다. 다시 말해서, 설령 우리가 지구 밖에서 지구이 위성 사진을 본 적이 없더라도 지구 위에 서 있는 (접평면의 정보) 것 만으로도 지구가 어떻게 휘어있는지를 알아낼 수가 있다는 것이다.

• 그러나 가우스 곡률의 함의는 여기에서 끝나지 않는다. 다음의 정리는 기하학을 위상수학 (Topology)과 연결하기 시작한다:

 

가우스-보네 정리 Gauss-Bonnet Theorem

(경계면을 갖지 않는) 곡면 ($S,<\cdot,\cdot>$)에 대해서 

$\frac{1}{2 \pi} \iint_{S} C d A \frac{L}{c}$는 반드시 정수이다.

 

(정수인 점도 다분히 신기하지만, 이 정수는 다음과 같이 주어지는 값이다)

 

이 곡면 $S$를 삼각형들이 채워져 있는 것으로 표현하고, 여기서 쓰인 삼각형들의 모든 덤의 개수를 $u$, 선분의 개수를 $e$, 면의 개수를 $f$라 하자.

그러면 다음이 성립한다:

 

$\frac{1}{2 \pi} \iint_{S} C d A \frac{L}{c}=u-e+f$

 

그런데, 곡면을 삼각형들로 채워넣는 방법은 한 가지가 아니다. 즉, 이 방법에 따라 $u,e,f$는 다 다른 값들을 가진다.

그러나 놀랍게도 $u-e+f$값은 곡면에 삼각형들을 어떻게 채워넣든지 간에 불변이다. 이 값을 곡면 $S$의 오일러지표 $X(S)$라 부른다.

가우스-보넷 정리는 한마디로 다음과 같다:

 

곡면 ($S,<\cdot,\cdot>$)의 가우스 곡률을 곡면 $S$위에서 적분하면 $2\pi{X}(S)$가 된다.

 

가우스 -보네 정리의 관점에서 예시들 다시 살펴보기

 

결론

 

• Sphere 위에서는 모든 점에서 가우스 곡률이 0이 되도록 하는 내적 (리만 메트릭)은 존재하지 않는다. 반면에 Torus에서는 가능하다.
• Torus 위에서는 모든 점에서 가우스 곡률이 양수가 되도록하는 내적(리만 메트릭)은 존재하지 않는다. 반면에 Sphere에서는 가능하다.

무엇을 알려주고 있는가?

 

Sphere와 Torus는 "서로 다른 공간"이라는 것이다.

당연한 말을 하는 것처럼 여겨지는가?

애시당초, 두 공간이 같고 다르다는 것은 무엇을 의미하는가?

 

위상수학(Topology)

"공간은 찰흙 덩어리이다."

 

 

 

"덩어리(고무,찰흙) 철학"

 

자르지 않고, 늘리거나 구부려서 같은 형상을 만들수만 있다면 동일한 대상으로 간주한다. △=○=□

 

 

 

 

덩어리로서 원과 삼각형은 같다.

 

 

 

위상수학의 관점에서 경계면이 없는 곡면 (2차원 컴팩트 공간):

위의 공간들이 다른 공간에 해당함을 가우스-보네 정리가 알려준다. 사실은 곡면은 찰흙덩어리의 구멍을 개수로 완전히 분류된다. 더 나아가서,

 

기하화 추측 Geometrization Conjecture 

위상공간으로서 경계면이 없는 3차원 (컴팩트) 공간은 오직 8가지만 존재한다. (Thurston-Perelman)

 

코멘트 우리는 방대한 우주의 본질을 수학적 관점으로 추상화하여 파고들고 있는 것이다.

 

 

 

다음시간 우리가 지금까지 본 이야기들을 전혀 다른 시각에서 본 베른하르트 리만의 관점, 복소함수론