11. 미적분학의 기본정리와 적분의 아름다움

다음 포스팅은 https://youtu.be/QcGKI1DqwrE 의 영상에서 작성한 노트의 핵심을 정리한 것입니다. 여러 오탈자 및 수정 사항들이 있을 수 있습니다. 노트 내용에 대한 디테일한 설명들은 영상을 참고하시길 바랍니다.

 

 

바로 잡습니다 10강에서,

 

$
\begin{aligned}
& \langle\nabla f(p), d\rangle=D_{d} f(p)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(p+h d)-f(p)}{h} \\
& \Leftrightarrow \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(p+h d)-f(p)-h\langle x f(p), d\rangle}{h}=0 \\
& \Leftrightarrow \lim _{h \rightarrow 0}\left\|\frac{f(p+h d)-f(p)-h\langle\nabla f(p), d\rangle}{h}\right\|=0 \\
& \Leftrightarrow \lim _{h \rightarrow 0}\left\|\frac{f(p+h d)-f(p)-\langle\nabla f(p), h d\rangle}{h}\right\|=0 \\
& \Leftrightarrow \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\|f(p+h d)-f(p)-\langle\nabla f(p), h d\rangle\|}{\|h d\|}=0 \\
& \epsilon \lim _{\|k\| \rightarrow 0} \frac{\|f(p+k)-f(p)-\langle\nabla f(p), k\rangle\|}{\|k\|}=0 \\
& \text { }
\end{aligned}
$ : 미분가능성의 정의

 

$p$점으로 향해가는 곡선들로 고려, 따라서 선분 $'hd'$만 고려하는 것보다 강한 조건이다. 

 

강의 11. 미적분학의 기본정리와 적분의 아름다움

 

일변수 함수의 미분의 정의

 

$f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$에 대해 임의의 0이 아닌 숫자 $h$에 대해서 두 점 $(x,f(x))$와 $(x+h,f(x+h)))$를 고려하자.

 

 

만약에 $\frac{f(x+h)=f(x)}{h}$에 대해 $h$를 한없이 0에 가깝게 만든

 

$\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$이 존재한다면 우리는 이 값을 함수 $y=f(x)$의 

 

미분계수(derivative)라고 부르며 $f'(x)$로 표시한다.

 

• 함수 $y=f(x)$로 부터 미분계수 $f'(x)$를 구하는 것을 대개 '함수를 미분한다'고 말한다.
• 미분 가능한 함수는 반드시 연속 $\begin{aligned}& (f(x)=\lim _{h \rightarrow 0}f(x+h))\end{aligned}$이다.

적분 렉쳐들의 목적   미분을 적분의 렌즈로 재해석하는것.

그리고 이러한 해석을 가능하도록 하는 미적분학의 기본정리를 이해하는 것.

 

$f \stackrel{\text { 叫定 }}{\longrightarrow} \nabla f\left(f^{\prime}\right) \stackrel{\text { 封是 }}{\longrightarrow} f$

 

코멘트 미분의 종류가 한가지가 아니듯이 각 미분법에 해당하는 적분법도 각각 다르게 주어진다.

 

적분을 이해하는데 매우 요긴한 몇 기호들

 

부분합 (Summation, $\sum$ ) $n$개의 숫자 $a_1,a_2,...a_n$이 주어질 때에 이들의 합 $a_1+a_2+...+a_n$을 기호로 

$$
\sum_{k=1}^{n} a_{k}
$$로 나타낸다.

 

급수 (Series) 부분합 $$
\sum_{k=1}^{n} a_{k}
$$에서 $n$이 무한대인 ∞인 경우를 지칭하며 $$
\sum_{k=1}^{∞} a_{k}
$$로 표기한다.

 

• 두 실수 $a,b∈\mathbb{R}$, $a<b$가 주어질 때, $\{x\in{R}:a<x<b\}$를 $a,b$로 나타낸다.

일변수 적분의 정의

 

함수 $f:(a,b) \longrightarrow \mathbb{R}$ 가 주어져 있다고 가정하자.

 

적분이 정의하고자 하는 값은 함수 $f$가 만다는 그래프의 면적인 보라색으로 빗금친 영역의 총 면적이다.

 

이 면적을 구하는데 어려운 점은 함수 $f$가 그리는 그래프의 생김새가 직사각형처럼 우리가 면적 (넓이)를 구하는 법을 아는 경우가 아닌 경우들이 더 많을거라는데 있다. 그럼에도 우리는 이미 아주 어렸던 시절에 이를 해결하는 법을 놀이로서 살펴보있다.

바로 직사각형들로 계속 그래프를 채워넣어서 (이미 아는)이 직사각형의 넓이들을 더해나가면 된다.

 

 

 

 

 

 그래프의 면적을 9개의 직사각형으로 분할한 경우이다. 각 직사각형의 면적은 밑변이 $x_k-x_{k-1}$ $(k=1,...,9)$이고 높이는 함수값인 $f(x_k)$이나 $f(x_{k-1})$중에서 적당히 고른다.

 

직사각형들의 면적의 합을 표현하면 

$f(x_0)(x_1=x_0)+f(x_1)(x_2x_1)+...+f(x_8)(x_9-x_8))=\sum_{k=1}^{9} a_{k}$$=\sum_{k=1}^{9} a_{k}f(x_{k-1})(x_k-x_{k-1})$이고

$x_k-x_{k-1}$=△$x_{k-1}$로 표기하면

$\sum_{k=1}^{9} a_{k}f(x_{k-1})$이 된다.

 

• 여기서 직사각형들의 면적의 합과 그래프의 실제 면적은 정확히 일치하진 않는다 (초록색으로 빗금친 면적). 이는 그래프에 직사각형들을 '무한히' 분할하여 면적을 계속 더해나감으로서 해결 할 수있다. (즉, $$\sum_{k=1}^{9}$$ 가 아니라 무한대인 ∞에 대한 $\sum_{k=1}^{∞}$ 를 사용)

이렇게 하는 경우 부분합 기호 $$\sum_{k=1}^{∞}$$ 대신에 $\int_a^{b}$로, 그리고 △$x_{k-1}$대신에 $dx$로 적는다. 즉

 

$\int_a^{b}f(x)dx$라고 적고, 함수 $f$를 $a$부터 $b$까지 적분한다고 말하며, 이는 함수 $f$의 그래프의 면적을 의미한다.

 

코멘트 적분은 언제나 잘 정의되는 것은 아니며 함수 $f$의 성질에 의존한다. 가령 위에서 정의한 적분은 함수 $f$가 연속이라는 전제 하에서 잘 정의되며 이 적분을 리만적분 (Riemann Integral)이라고 부른다. 일반적으로 연속이 아닌 함수들 위에서 적분을 정의하는 방법을 다루는 수학을 측도론 (measure theory)라고 부른다. 수학교실에서 관심을 갖는 함수들은 미분가능한 함수들로 이 경우에는 반드시 연속함수인게 보장된다.

 

비록 적분은 그래프의 면적을 의미하는 점에서 중요할 수 있지만 정의를 토대로 구체적으로 계산이 가능한 것과는 다소 거리가 있다. 그런데, 이 애매한 간극을 구체적으로 메꾸어주는 정리를 미적분학의 기본정리 (Fundamental Theorem of Calculas)라고 부른다. 

 

미분과 적분의 관계(미분기하학의 기본정리)

미분 가능한 함수 $f:(a,b)longrightarrow\mathbb{R}$가 주어질 때, 우리는 함수 $f$의 미분 $f'(x)가 x∈(a,b)$에서 $f$의 기울기에 해당함을 알고 있다.

 

 

즉 $h$가 0 근처이면 $f(x+h)\approx{f}(x)+hf'(x)$이다. 

즉, $f(x_k)-f(x_{k-1})\approx{f'}(x_{k-1})\triangle{x}_{k-1}, k=1,...n$이 된다...$(*)$

이제 $(a,b)$를 $n$등분하여 $a=x_0<x_1,...<x_n=b$로 두자.

그러면 $f(b)-f(a)=f(x_n)-f(x_0)$=$(f(x_n)-f(x_{n-1}))+f(x_{n-1})-f({x_2})+(f(x_{n-2})-...)$ 

$(...-f(x_1))+f(x_1))+f(x_1)-f(x_0))$=$$\sum_{k=1}^{n} $$$(f{x_k})-f(x_{k-1}))\approx \sum_{k=1}^{n} f'(x_{k-1})\triangle{x}_{k-1}$

즉, $(a,b)$를 $n$등분하면 $f(b)-f(a)$는 $\sum_{k=1}^{n} f'({x}_{k_1})\triangle{x}_{k_1}$로 근사할 수 있다. 여기서 '근사'가 되는건 $n$이 유한한 값이기 때문이다. 이제 적분을 정의한 방식대로 $n$ 을 무한대 ∞로 늘리면

$\sum_{k=1}^{n} f'(x{k_1})\triangle{x}_{k-1}$은 $\int_a^{b}f'(x)dx$가 된다.

 

지금까지 우리는 다음의 중요한 정리에 대해 살펴본 것이다:

 

미적분학의 기본정리 (Fundamental Theorem of Calculus)

미분가능한 함수 $f:(a,b)\longrightarrow\mathbb{R}$가 주어져있다고 가정하자.

그러면 다음이 성립한다: $\int_a^{b}f'(x)dx=f(b)-f(a)$

 

미적분학의 기본정리 (FTC)에 대한 관찰들

(1) $(**)$의 좌변은 함수 $f':(a,b)\longrightarrow\mathbb{R}$의 그래프가 만드는 면적을 의미함을 우리는 알고있다.

그런데 말이 쉽지, $\int_a^{b}f'(x)dx$에 해당하는

값을 적분의 정의로부터 실제로 구하는건 매우 어렵다는 것을 알수있다.

그런데 FTC는 $\int_a^{b}f'(x)dx$는 고작 $f(b)$와 $f(a)$만 구할 수 있으면 두 함수값의 차이로 구체적으로 알아낼 수 있음을 알려준다.

 

(2) 즉, $\int_a^{b}f'(x)dx$ 을 구하는 방법은 다음과 같다.

 

Step 1.  $f'(x)$의 형태로부터

Step 2. $f(x)$를 구한다. 즉 미분하면 이미 주어진 함수 $f'(x)$가 되는 새로운 함수 $f$를 찾는다.

Step 3. 구한 함수 $f$의 두 함수값 $f(b)$와 $f(a)$의 차이를 계산해주면  $\int_a^{b}f'(x)dx$를 얻는다.

 

질문 FTC를 토대로  $\int_a^{b}f'(x)dx$를 정말로 계산하려면 매우 문제가 되는 전제가 필요한 것처럼 보입니다. 바로 $f'(x)$로부터 $f(x)$을 구할 수 있어야 한다는 것입니다. 만약에 $f'(x)$의 형채가 너무 지저분해서 $f(x)$를 구할 수 없다면 FTC는 무용지물 일까요?

 

예시1. 상수함수 $f(x)=c$ (모든 $x$값에 대해 함수값이 $c$를 미분하면 $f'(x)=0$이다. 

 

$\begin{aligned}& f'(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim _{h \rightarrow 0}\frac{c-c}{h}=(0)\end{aligned}$ 

즉, $f(x)=c\longrightarrow{f'(x)}=0$ 

 

예시2. 자연수 $n$에 대해 함수 $f(x)=x^n$을 미분하면 $f'(x)=nx^{n-1}$이다.

 

두 실수 $a,b$에 대해서 $a^n=b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+b^{n-1})$을 사용하면, 

$$
f^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}, \begin{aligned}
& a=x+h \\
& b=x
\end{aligned}
$$

$\stackrel{(*)}{=} \lim _{h \rightarrow 0} \frac{(x+h-x)\left((x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2} x+\cdots+x^{n-1}\right)}{ h}$

$=n x^{n-1}$

 

 

이하 예시들의 유도는 생략한다.

 

예시 3.   $f(x)=sinx$을 미분하면 $f'(x)=cosx$이다.

예시 4.   $f(x)=cosx$을 미분하면 $f'(x)=-sinx$이다. 

예시 5.   $f'(x)=f(x), f(0)=1$이 되는 함수는 지수함수인 $f(x)=e^x$밖에 없으며 여기서 오일러수 $e\approx{2.71...}$는 무리수에 해당한다.

 

예시 6.  두 미분가능한 함수 $f(x),g(x)$와 상수 (a,b)에 대해서 $af(x)+b(x)$의 미분은 $af'(x)+bg'(x)$이다. 

 

다시 FTC에 대한 질문으로 돌아가자 (즉, $f(x)$를 못 구할때)

구체적인 계산들을 살펴봅시다.

• $\int_{0}^{1} x^{n} d x=$ ? $x$을 적분하면 $\frac{1}{n+1}x^{x+1}$이므로 $((\frac{1}{n-1}x^{n+1}))'=x^n)$ $x=1,0$에서의 이 함수값의 차이는 $\frac{1}{n+1}1^{n+1}-\frac{1}{n+1}0^{n+1}=\frac{1}{n+1}$이다. 즉 $\int_{0}^{1} x^{n} d x=\frac{1}{n+1}$이다. 
• $\int_{0}^{\pi}cos{xdx}=$ ? $cos x$를 적분하면 $sinx$이므로 FTC에 의해서 $\int_{0}^{\pi}cos{dx}=sin{pi}-sin{0}=0-0=0$이다. Q. $\int_{0}^{\pi}cos{x}^{2}dx=? $cos(x^2)$을 적분할 줄 모르므로 (즉, 미분해서 $cos(x^2)$이 되는 함수를 모른다) FTC를 그대로 적용할 수 없다. 그러면 이 경우에는 무엇을 기대할 수 있는가?

테일러 급수 (Taylor Series)

함수 $f(x)$를 다음과 같은 급수의 형태로 표현할 수 있다고 가정하자. 

함수 $\begin{aligned}& f(x)=a_{0}+a_{1} x^{\prime}+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}+...+ \\& =\sum_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{k}\end{aligned}$ (급수 표현, $x^0=1$사용)

여기서 $a_0,a_1,a_2,...$는 모두 숫자 (실수)들인데, 이 숫자들을 구체적으로 결정해보자.

$f(x)$에 $x=0$을 대입하면 $f(0)=a_0$이다. $a_1$을 구하기 위해 $f(x)$을 미분하면 (위의 예시 1,2,6 사용)

$f'(x)$=$a_1+2a_2x+3a_3x^2+...$

$f'(x)$에 $x=0$을 대입하면 $a_1=f'(0)$이다. 

$f'(x)$을 한번 더 미분하면 $(f''(x)$, 이계도 함수라 부른다)

$f''(x)=2a_2+3a_3x+...$가 되어서, $x=0$을 $f''(x)$에 대입하면 $a_2=\frac{f''(0)}{2\cdot{1}}$이 된다.

이 방식을 반복하면, $f(x)$를 $k$번 미분한 함수를 $f^(k)(x)$로 표기하면, 임의의 자연수 $k$에 대해 

 

$a_k=\frac{f^(k)}{k(k-1).......2\cdot{1}}$를 얻는다. 

 

여기서 분모 $k\cdot(k-1)......2\cdot{1}=k!$ (kfactorial)로 적자. 우리는 지금까지 다음을 유도한 것이다.

 

$f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{k}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k !} x^{k}$

 

이 형태를 ($x=0$에서의) 함수 $f$의 테일러 급수 (Taylor Series) 라고 부른다.

 

FTC + Taylor Series 테일러 급수를 갖는 $f$에 대해,

 

$
\begin{aligned}
& \int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{b} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k !} x^{k} d x \\
& =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k !} \int_{a}^{b} x^{k} d x \\
& =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k !}\left(\frac{1}{k+1} b^{k}-\frac{1}{k+1} a^{k}\right)
\end{aligned}$

 

결론 미분해서 $f(x)$가 되는 함수 $F(x)$ $(F'(x)=f(x))$를 비록 모르더라도 여전히 적분값 $\int_{0}^{1} f{(x)} d x$을 테일러 급수를 토대로 계산할 수 있다. 그런데 테일러 급수는 미분할 줄만 알면 계산할 수 있다. 즉 미분을 토대로 적분을 알아낼 수 있는 것이다.

 

정의 함수 $f(x)$가 테일러 급수 $$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k !} x^{k}$$로 표현 가능할 때 함수 $f$를 해석적 함수 (analytic Function)이라 부른다. 

 

해석적 함수의 예시: $sinx,cosx,e^x,...$

 

테일러 급수로부터 알 수 있는것: 오일러 공식 (Euler Formula)

 

$sinx,cosx,e^x$의 테일러 급수를 계산해보면

 

$
\begin{aligned}
& \sin x=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{(2 k+1) !} x^{2 k+1}, \\
& \cos x=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{(2 k) !} x^{2 k}, \\
& e^{x}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k !} x^{k}
\end{aligned}$을 얻는다.

 

이 테일러 전개들과 허수 $i(i^2=-1)$을 종합하면 다음의 놀라운 수식이 나온다: $e^{ix}=cosx+isinx$ 특히 $x=pi$을 대입하면

$e^{ipi}=-1$이 된다. 즉, 음수, 파이, 오일러수, 허수의 관계식이다.

 

 

 

 

 

 

 

다음 시간 다변수 미적분학의 기본 정리