8강. 선형대수학의 꽃, 무지개 정리

다음 포스팅은 https://youtu.be/tn9aiuj6Yko 의 영상에서 작성한 노트의 핵심을 정리한 것입니다. 여러 오탈자 및 수정 사항들이 있을 수 있습니다. 노트 내용에 대한 디테일한 설명들은 영상을 참고하시길 바랍니다.

 

지난시간

 

• 지금까지, 집합과 공리, 함수, 군, 벡터공간과 행렬에 대해 살펴보았다. 특히나, 선형함수간의 합성은 행렬들의 곱셈으로 간주할수 있었고, 행렬 2×2 $\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$의 역핵렬 (역함수)이 정의될 필요충분조건은 행렬을 구성하는 두 벡터 $(a,b),(c,d)$가 평행사변형을 잘 만들 때 인데, 이를 다르게 표현하면 $ad-bc≠0$에 해당함을 회전행렬 및 삼각함수를 활용하여 확인하였다.
• 그런데 말입니다, $ad-bc$를 평행사변형의 면적으로 이해하고자 한 시점에서 우리는 또 한번의 큰 도약을 하고있음을 주목해보자. 언제 어디에 도약이 있었는가? 다음의 중요한 대전제들이 은근슬적 새롭게 깔린 것이다:

1. 각 벡터의 크기를 잴 수 있어야 한다

2. 두 벡터간의 각도를 잴 수 있어야 한다.  (벡터공간을 정의했을 때, 1,2를 할 수 있다고 말한적이 없습니다. 정의는 오직 선형성만 보장합니다.)

 

 

 

• 그러므로 우리는 1,2를 가능하도록 하는 도구로 내적 (inner product)을 도입합니다.

정의  벡터공간 $\mathbb{R}^{2}=\{(x, y) \mid x, y \in \mathbb{R}\}$에 대해서

내적은 <$\cdot,\cdot$>: $:\mathbb{R}^{2}\times\mathbb{R}^{2}\longrightarrow \mathbb{R}$

        $\langle(a, b),(c, d)\rangle=\langle(c, d),(a, b\rangle\rangle$

은 두 벡터를 받아서 실수값을 출력해주는 함수 중에서 아래의 조건들을 모두 만족할때 내적이라 부른다:

 

1. 임의의 벡터 $(a,b)\in\mathbb{R}^{2}$에 대해서

 

$<(a,b),\cdot>:\mathbb{R}^{2}\longrightarrow \mathbb{R}$

                            $(c,d)|\longrightarrow<(a,b),(c,d)>$

 

는 선형함수이다.

$
\begin{aligned}
& \left\langle(a, b),\left(c_{1}, d_{1}\right)+\left(c_{2}, d_{2}\right)\right\rangle \\
& \quad=\left\langle(a, b),\left(c_{1}, d\right)\right\rangle+\left\langle(a, b),\left(c_{2}, d_{2}\right)\right\rangle \\
& \left.\langle(a, b), K \cdot(c, d)\rangle=K\left\langle(a, b),\left(c_{1} d\right)\right\rangle\right)
\end{aligned}
$

2. 임의의 두 벡터 $(a,b),(c,d)$에 대하여

$\langle(a, b),(c, d)\rangle=\langle(c, d),(a, b\rangle\rangle$

 

3. 임의의 벡터 $(a,b)$에 대해

$<(a,b),(a,b)>$는 항상 보다 크거나 같으며 0이 될 떄는 오직 $(a,b)=(0.0)$일 때이다.

   내적 $<\cdot,\cdot>$이 주어질 때, 우리는 임의의 벡터 $(a,b)$의 크기를 

$
\begin{aligned}
& \sqrt{\langle(a, b),(a, b\rangle\rangle}
\end{aligned}
$으로 정의하고 $||(a,b)||$로 표기한다.

  내적 $<\cdot,\cdot>$이 주어질 때, 우리는 임의의 두 벡터  $(a,b)$, $(c,d)$의 사잇각 $\theta$의 코사인 함수 $cos\theta$를 다음의 관계식으로 정의한다:

 

$\langle(a, b),(c, d)\rangle=\|(a, b)\| \cdot\|(c, d)\| \cos \theta$

 

  임의의 두 벡터 $(a,b)$, $(c,d)$에 대해 <$(a,b)$, $(c,d)$>

$=\left(\begin{array}{ll}a & b\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}\langle(1,0),(1,0)\rangle & \langle(1,0),(0,1)\rangle \\ \langle(0,1), C(1,0)\rangle & \langle(0,1),(0,1)\rangle\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}c \\ d\end{array}\right)$

기준의 해당하는 내적 <$\cdot,\cdot$>에 의해 결정되는 2×2 행렬

 

즉 내적 <$\cdot,\cdot$>을 할당하는 것은 위에 해당하는 행렬을 하나 결정하는 것과 같다.

 

예시 (dot product, Euclidean geometry)

$
\begin{aligned}
& \left(\begin{array}{cc}
\langle(1,0),(1,0)\rangle & \langle(1,0),(0,1)\rangle \\
\langle(0,1), (1,0)\rangle & \langle(0,1),(0,1)\rangle
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right) \text { 로 선택 } \\

& \text { 그러면}\langle(a, b),(c, d)\rangle=\left(\begin{array}{ll}
a & b
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
c \\
d
\end{array}\right)
\end{aligned}
$

$
=\left(\begin{array}{ll}
a & b
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
c \\
d
\end{array}\right)=a c+b d .
$ 내적에 해당하는 행렬로 $\left(\begin{array}{ll}1 & 0\\ 0 & 1\end{array}\right)$ 을 선택한게 무슨 의미인지 좀 더 구체적으로 살펴봅시다.

벡터 (1,0)의 크기 $

\begin{aligned}
& :\|(1,0)\|=\sqrt{(C 1,0),(1,0))} \\
& =\sqrt{\left(\begin{array}{ll}
1 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right)}=1
\end{aligned}$ 

 

 

 

유사하게, 벡터 (0,1)의 크기도 1이다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

두 벡터 (1,0),(0,1)간의 각도 $\theta$를 구해보자.

☆에 의하여

 

코사인이 반지름 1이고 중심이 원점인 원 위에서 만드는 직각삼각형의 밑변임을 상기하자.

 

 

$cos\theta=0$이려면 밑변이 0이므로 $\theta=±90^º$여야 한다.

 

 

 

 

즉, 두 벡터 (1,0)과 (0,1)은 서로 직교한다:

 

 

 

 

 

 

예시 2

 

$
\left(\begin{array}{cc}
\langle(1,0),(1,0)\rangle & \langle(1,0),(0,1)\rangle \\
\langle(0,1), (1,0)\rangle & \langle(0,1),(0,1)\rangle
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
3 & 1 \\
1 & 3
\end{array}\right) \text { 로 선택}$

 

• $
  \begin{aligned}
  & \text { }\left\|\left(\begin{array}{l}
  1,0
  \end{array}\right)\right\|=\sqrt{\left(\begin{array}{ll}
  0 & 1
  \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
  2 & 0 \\
  0 & 3
  \end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
  1 \\
  0
  \end{array}\right)}=\sqrt{\left(\begin{array}{ll}
  2 & 3
  \end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
  1 \\
  0
  \end{array}\right)}=\sqrt{2} \\
  \end{aligned}$

 

• $
  \begin{aligned}
  & \text { }\left\|\left(\begin{array}{l}
  0,1
  \end{array}\right)\right\|=\sqrt{\left(\begin{array}{ll}
  0 & 1
  \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
  2 & 0 \\
  0 & 3
  \end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
  0 \\
  1
  \end{array}\right)}=\sqrt{\left(\begin{array}{ll}
  0 & 3
  \end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
  0 \\
  1
  \end{array}\right)}=\sqrt{3} \\
  \end{aligned}$

 

 

 

 

 

 :에시 1과 비교해보자. 같은 두 벡터 (1,0),(0,1)에 대해 내적을 바꾸어주니 해당 벡터들의 크기가 바뀌었다.

 

 

 

 

 

 

 

이 렉쳐의 목적 예시 (3)을 무지개 정리의 관점에서 이해하는것

예시(3) 다음의 그림을 생각하자.

 

 

 

 

 : 가장 긴 축은 $x$축에서 반시계 방향으로 45º 회전한 것으로 이 때 원점으로부터 거리가 4, 그리고 이에 수직인 축은 원점으로부터 거리가 2인 상황

 

 

 

 

 

 

 

 

 

주장: 위 그림을 만들어내는 내적에 해당하는 행렬은

$
\begin{aligned}
& \left(\begin{array}{ll}
\langle(1,0),(1,0)\rangle & \langle(1,0),(0,1)\rangle \\
\langle(0,1), (1,0)\rangle & \langle(0,1),(0,1)\rangle
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
3 & 1 \\
1 & 3
\end{array}\right) \text { }
\end{aligned}$이다.

 

이 주장을 잠시 받아들이자. 이 경우에 두 벡터 (1,0)과 (0.1)은 서로 수직이 될 수 없다. 왜냐하면 ☆에 의하여

 

$\begin{aligned} \langle(1,0),(0,1)\rangle=\|(1,0)\| \cdot\|(0,1)\| \cdot \cos\theta \\\end{aligned}$

 

$\Leftrightarrow 1=3cos\theta$, $cos\theta$=$\frac{1}{3}$이다. $\theta$가 직각인 경우에 $cos\theta$는 반드시 0이므로 직각이 될 수 없다.

위 주장은 회전행렬을 사용하면 확인 할 수 있다. 위 그림에서 가장 긴 축 에 해당하는 벡터 $u_1$은 벡터 (1,0)을 반시계 방향으로 45º회전해서 얻되 내적에 의한 크기가 $\sqrt{4}$가 되어야 하고, 마찬가지로 가장 짧은 축에 해당하는 벡터 $u_2$는 벡터 (0,1)을 똑같이 회전해서 얻되 내적에 의한 크기가 $\sqrt{2}$가 되는, 그러한 내적에 해당하는 행렬이 $\left(\begin{array}{ll}
3 & 1 \\
1 & 3
\end{array}\right)$인지 확인하면 된다.

 

 

그리고 

직각 이등변 삼각형로부터 cos45º=sin45º=$\frac{1}{\sqrt2}$이다.

그러므로 $U_{1}=\left(\begin{array}{l}\cos 45^{\circ}-\sin 45^{\circ} \\ \sin 45^{\circ} \cos 45^{\circ}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{ll}1 & -1 \\ 1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)$ $=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)$,

 

$
\begin{aligned}
& \left\|U_{1}\right\|^{2}=\left\|\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right\|=\left(\begin{array}{ll}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
3 & 1 \\
1 & 3
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{array}\right) \\
& =\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ll}
1 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
3 & 1 \\
1 & 3
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
1 \\
1
\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ll}
4 & 4
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
1 \\
1
\end{array}\right)=4 \text {, } \\
& \left\|U_{2}\right\|^{2}=\left\|\left(-\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right\|=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(\begin{array}{ll}
3 & 1 \\
1 & 3
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
-\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{array}\right)
\end{aligned}
$이다.

 

$u_1, u_2$의 크기가 각각 $\sqrt4$,$\sqrt2$가 되고 서로 직각으로 만나는지 확인해보자.

$
\begin{aligned}
& \left\|U_{1}\right\|^{2}=\left\|\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right\|=\left(\begin{array}{ll}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
3 & 1 \\
1 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right) \\& =\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ll}1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}3 & 1 \\1 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}1 \\1\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ll}4 & 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}1 \\1\end{array}\right)=4 \\\end{aligned}$

 

$
\begin{aligned}
& \left\|U_{2}\right\|^{2}=\left\|\left(-\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right\|=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(\begin{array}{ll}
3 & 1 \\
1 & 3
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
-\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}}
& =\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ll}
-1 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
3 & 1 \\
1 & 3
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
-1 \\
1
\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ll}
-2 & 2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
-1 \\
1
\end{array}\right)
\end{array}\right)
\end{aligned}=2$

 

 

 

$
\begin{aligned}
& \left\langle u_{1}, u_{2}\right\rangle=\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(\begin{array}{ll}
3 & 1 \\
1 & 3
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
-\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{array}\right) \\
& =\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ll}
1 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
3 & 1 \\
1 & 3
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
-1 \\
1
\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ll}
4 & 4
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
-1 \\
1
\end{array}\right)=O \Leftrightarrow \cos \theta=0 \Leftrightarrow \theta=±90˚
\end{aligned}$

 

이 계산을 손으로 직접 해보신 후에 생각해 보시면 눈치챌 수 있는 관찰, elementary하되 non-trivial deep observation은 다음과 같다: 

 

1) 내적에 해당하는 행렬은 항상 $\left(\begin{array}{ll}a & b\\ c & d\end{array}\right)$ 형태이다 (내적조건(2))

즉 변수의 개수가 $a,b,c$ 세 개이므로 조건 3개가 있어야 한다.

 

2) 우리가 그러한 세가지 조건을 부여했었는가? 그러하다. 그림을 다시 생각해보자.

 

 

조건 1) 벡터 $u_1$의 크기는 4이다.

조건 2) 벡터 $u_2$의 크기는 2이다.

조건 3) $u_1,u_2$는 서로 수직이다.

 

3) 즉 내적에 대응하는 행렬을 결정하는 것은 조건 1)-3)을 만족하는 두 벡터 $u_1,u_2$를 결정하는 것과 같고, 이는 위의 예시 (1)-(3)에서 타원형 그림을 하나 그리는 것과 같다.

 

4) 두 벡터 $u_1,u_2$와 내적에 해당하는 행렬 $\left(\begin{array}{ll}a & b\\ c & d\end{array}\right)$의 관계는 다음의 계산으로 부터도 발견할 수 있다. 

 

$
\begin{aligned}
& \left(\begin{array}{ll}
3 & 1 \\
1 & 3
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
\frac{4}{\sqrt{2}} \\
\frac{4}{\sqrt{2}}
\end{array}\right)=\sqrt{4}\left(\begin{array}{c}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{array}\right)=\sqrt{4 \cdot u_{1}} \\
& \left(\begin{array}{ll}
3 & 1 \\
1 & 3
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
-\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
\frac{-2}{\sqrt{2}} \\
\frac{2}{\sqrt{2}}
\end{array}\right)=\sqrt{2}\left(\begin{array}{c}
\frac{-1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{array}\right)=\sqrt{2 \cdot u_{2}}
\end{aligned}$

 

즉, 내적에 대응하는 행렬 $A$는 타원의 장축과 단축을 구성하는 벡터 $u_1,u_2$와 다음의 관계식을 만족하고 있다:

$Au_1=4u_1$, $Au_2=2u$,

또한,

$u_1,u_2$는 타원의 장축과 단축을 구성해야 하므로 영벡터가 아니다.

이 관찰을 토대로 우리는 $u_1,u_2$ 및 이 벡터들이 크기에 다음의 이름들을 부여한다.

 

정의 2×2행렬 $A$에 대하여, '영벡터가 아닌' 벡터 벡터 $u∈R^2$가 어떤 실수 $\lambda$에 대해서 $Au=\lambda{u}$

를 만족하면 $u$를 고유벡터 (eigenvector), $\lambda$를 

고유치 (eigenvalue )라고 부른다.

 

예시 (1)행렬 $ A=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ 에 대해 $U_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right), U_{2}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right)$은 고유벡터 들이며 각각의 고유치는 모두 1이다. 

 

(2) 행렬 $A=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 0 & 3\end{array}\right)$ 에 대해 $U_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right), U_{2}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right)$은 고유벡터 들이며 이들의 고유치는 각각 2와 3이다.

 $\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 0 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 0 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right)$

 

(3) 행렬 $A=\left(\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 1 & 3\end{array}\right)$ 에 대해 $\left.U_{1}=\left(\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\right), U_{2}=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ 는

고유벡터들이며 이들의 고유치는 각각 4와 2이다.

 

 $\left(\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 1 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)=4\left(\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 1 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)$

 

아까 우리는 내적에 대응하는 행렬을 결정하는 문제는 조건 (1)-(3)을 만족하는 두 벡터 $u_1,u_2$를 결정하는 것과 같은 문제임을 알았다. 여기서 후자에 해당하는 정보량은 (서로 직각으로 만나는) 두 고유벡터  $U_{1}, U_{2} \in \mathbb{R}^{2}$및 이들의 고유치들 $\lambda_{1}, \lambda_{2} \in \mathbb{R}$ 에 해당한다. 그러면 정말로 고유벡터들과 고유치들만 알면 내적에 해당하는 행렬이 정해지는가?

 

마법1 두 고유벡터 $U_{1}=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right), U_{2}=\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)$ 및 이들의 고유치 4,2 를 고려하자.

 

두 고유벡터를 각각 열 (column)으로 사용하는 행렬

 

$Q=\left(\begin{array}{ll}U_{1} & U_{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)$ 과

 

두 고유치 4,2 를 2×2 행렬의 대각선 성분으로 갖는 행렬  $D=\left(\begin{array}{ll}4 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right)$를 고려하자

 

행렬 $\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ 의 역행렬은 $\frac{1}{ad-bc}=\left(\begin{array}{ll}d & -b \\ -c & a\end{array}\right)$임을 환기하자.

 

연습문제 $Q$의 역행렬 $Q^{-1}=\left(\begin{array}{ll}\frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2} \\ -\frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2}\end{array}\right)$ 

 

이제 "$Q D Q^{-1}$"를 쌩뚱맞게 계산해보자

 

$Q D Q^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}4 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)$

$
=\left(\begin{array}{cc}
\frac{4}{\sqrt{2}} & -\frac{2}{\sqrt{2}} \\
\frac{4}{\sqrt{2}} & \frac{2}{\sqrt{2}}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
-\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
3 & 1 \\
1 & 3
\end{array}\right): 
$이는 우리가 찾던 내적에 해당하던 예시 (3)의 그 행렬이다.

 

즉 내적에 해당하는 행렬의 정체는 $Q D Q^{-1}$ 였던 것이다.

 

마법 1의 이유 $Q=\left(\begin{array}{ll}U_{1} & U_{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)$ 의 의미에 대해 살펴봄으로서 단서를 얻을 수 있다.

 

예시 (3)에서 $\cos 45^{\circ}=\sin 45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}$임을 알았고, 또한 $R^{2}$에서 벡터를 반시계 방향으로 $\theta$ 만큼 회전시켜주는 선형함수가 바로 회전행렬 $\left(\begin{array}{cc}cos\theta & -\sin\theta  \\ \sin\theta  & cos\theta\end{array}\right)$ 임도 렉쳐 7에서 배웠다.

 

$Q=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)$ 의 정체는 바로 $\left(\begin{array}{cc}\cos 45^{\circ} & -\sin 45^{\circ} \\ \sin 45^{\circ} & \cos 45^{\circ}\end{array}\right)$, 즉 $45^{\circ}$ 만큼 '반시계' 방향으로 회전시키는 행렬이다.

 

그러면 $Q^{-1}$은 무엇인가?  $45^{\circ}$만큼 시계 방향으로 회전시키는 행렬이다. 이제 $Q D Q^{-1}$의 뜻을 알 수있다.

 

 

Step 1 $Q^{-1}$에 의해 벡터를 시계 방향으로 $45^{\circ}$ 회전시킨다.

 

 

Step 2 Step 1 에서 시계 방향으로 $45^{\circ}$ 회전된 백터 $\left(\begin{array}{l} x \\y\end{array}\right)$에 대해 D에 의해 $x$ 성분은 4배, $y$ 성분은 2배 키운다. $\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right)|\longrightarrow$$\left(\begin{array}{l}4x \\2y\end{array}\right)$

 

Step3 Step2 에서 얻은 $\left(\begin{array}{l}4x \\2y\end{array}\right)$를 도로 반시계 방향으로 $45^{\circ}$ 회전시켜서 Step1의 시계방향으로 회전시킨 효과를 없애준다.

 

 

마법 2 (선형대수학의 '꽃')

우리가 지금까지 예시(3)의 행렬 $\left(\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 1 & 3\end{array}\right)$ 가

$Q D Q^{-1}, Q=\left(u_{1} u_{2}\right), D=\left(\begin{array}{ll}\lambda_{1} & 0 \\ 0 & x_{2}\end{array}\right)$가 되었던 것은 이 행렬에만 국한된 관찰이 아님을 무지개 정리라 한다.

 

무지개 정리 (Spetral Theorem) 임의의 세 실수 $a,b,c∈R$에 대해 

행렬 $A=\left(\begin{array}{ll}a & b\\ c & d\end{array}\right)$ 가 주어져 있다고 가정하자.

그러면 언제나 $A$의 고유벡터 $u_1,u_2$및 이들에 대응하는 고유치 $\lambda_1,\lambda_2$가 존재하고, $A=QDQ^{-1}$가 된다여기서 $Q=(u_1,u_2)$, $D=\left(\begin{array}{ll}\lambda_{1} & 0\\ 0 & \lambda_{2}\end{array}\right)$ , $Q^{-1}$, $Q$의 역행렬이다.

 

마법 3 위의 무지개 정리는 2×2 행렬에 대한 것이다. 당연히 (그렇지 않으면 재미 없으니까) 무지개 정리는 임의의 자연수 $n$에 대해 $n×n$ 행렬에 대해서도 성립한다.

이 경우는 $Q=(u_1,u_2...u_n)$, D는 diagonal matrix로 대각성 성분으로 $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$을 갖는다. 

 

선형대수학은 $n×n$ 행렬의 무지개 정리를 이해하는데 주안점이 있는 수학으로 특히 무지개 정리는 특이값 분해 (Singular Value Decomposition)과 관련하여 온갖 응용학문에 방대한 어플리케이션 들이 있다. e.g) 통계학의 Principal Component Analysis, Dimension reduction,...

그러나 여기서 끝난게 아니다. 놀랍게도, 그리고 매우 비자명하게도 무지개 정리는 심지어 $n$이 '무한대' 일 때도 성립한다. 대개 이를 힐베르트 공간 이론 (Hilbert Space Theory)라고 부르며, 이 이론은 양자역학의 표준공리를 구성하는 핵심 블록이며, 20세기 수학 이론들 중에 가장 성공을 거둔 이론으로서, 많은 수학자들에게 간주되어진다. 가령 기계학습 및 통계학에서는 힐베르트 공간이론은 'RKHS'라는 이름으로 무수히 사용된다.

 

 

고유치와 고유벡터 찾기 (무지개 정리에 의해 존재함을 알고 있다.)

 

2×2 행렬 $A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$가 주어져 있을때, 고유치 $\lambda∈R$및 고유벡터

$u∈R^{2}$는 $Au=\lambda u$ 를 만족해야 한다.

 

$
\begin{aligned}& \Leftrightarrow\left(\left(\begin{array}{ll}a & b \\b & c\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ll}\lambda & 0 \\0 & \lambda\end{array}\right)\right) U=\left(\begin{array}{l}0 \\0\end{array}\right) \\& \Leftrightarrow\left(\begin{array}{cc}a-\lambda & b \\b & c-\lambda\end{array}\right) U=\left(\begin{array}{l}0 \\0\end{array}\right)_{...}(*)\end{aligned}$

 

고유벡터는 정의상 언제나 영벡터 (0,0)이 아니라고 했다.

그러므로 만약에 행렬 $\left(\begin{array}{ll}a-\lambda & b \\ b &c-\lambda\end{array}\right)$의 역행렬 $\left(\begin{array}{ll}a-\lambda & b \\ b &c-\lambda\end{array}\right)^{-1}$이 존재한다면 $\left(\begin{array}{ll}a-\lambda & b \\ b &c-\lambda\end{array}\right)$의 역행렬은 존재하지 않아야 한다. 다시 말해서  $\left(\begin{array}{ll}a-\lambda & b \\ b &c-\lambda\end{array}\right)$의 행렬식 $(a-\lambda)(c-\lambda)-b^2$은 반드시 0 이어야 한다. 

 

다시 예시 (3)으로 돌아가보자. $ A=\left(\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 1 & 3\end{array}\right)$ $\Rightarrow$  $\left(\begin{array}{ll}3-\lambda & 1 \\ 1 &3-\lambda\end{array}\right)$ 의 역행렬은 존재하지 않아야 한다.

 

$\Leftrightarrow(3-\lambda)(3-\lambda)-1$=0
$\Leftrightarrow(3-\lambda)(3-\lambda)-1$=0
$\Leftrightarrow \lambda^{2}-6\lambda+9-1=0, \lambda^{2}-6\lambda+8=0$,
$\Leftrightarrow(\lambda-4)(\lambda-2)=0,\lambda=4,2$

 

$\lambda=4$일 때, $(*)$에 의하여

 

$
\begin{aligned}
& \left(\begin{array}{cc}
3-4 & 1 \\
1 & 3-4
\end{array}\right) u=\left(\begin{array}{l}
0 \\

\end{array}\right), u=\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right) \text { 라 두면 } \\
& \left(\begin{array}{ll}
-1 & 1 \\
1 & -1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
0 \\

\end{array}\right) \Leftrightarrow\left(\begin{array}{l}
-x+y \\
x+y
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
0 \\
0
\end{array}\right) .
\end{aligned}
$

 

즉 $x=y$이기만 하면 된다. $x=y=\frac{1}{sqrt2}$로 택하면 

예시 (3)의 $u_1$과 공일한 고유벡터 및 고유치를 얻는다.

 

$\lambda=2$이면, $(*)$에 의하여

 

$
\begin{aligned}
& \left(\begin{array}{cc}
3-2 & 1 \\
1 & 3-2
\end{array}\right) u=\left(\begin{array}{l}
0 \\
0
\end{array}\right), u=\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right) \text { 라 두면 } \\
& \left(\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
0 \\
0
\end{array}\right) \Leftrightarrow\left(\begin{array}{l}
x+y \\
x+y
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
0 \\
0
\end{array}\right) .
\end{aligned}
$

즉  $x=-y$ 이기만 하면 된다. $y=\frac{1}{\sqrt{2}}, x=-\frac{1}{\sqrt{2}}$로 택하면 예시 (3)의 $u_2$와 동일한 고유벡터 및 고유치를 얻는다. 

 

마무리 코멘트 고유벡터 및 고유치를 구하기 위해서는 행렬식이 0이 되어야 한다는 사실에 의존합니다. 2×2 행렬이 평행사변형을 구성할 수 없는 '문제적인 상황' 이어야만 중요한 정보를 얻는 것입니다.

별 탈이 없는 상황이 아니라 문제가 있는 상황에 직면해야 비로소 무지개는 그 색들을 드러내게 됩니다. 여러 측면에서 곱씹게 됩니다. 

 

 

 

 

다음시간 사실 지수함수는 삼각함수로 표현된다.

미분법과 테일러 급수