13. 대수학: 군,환,체,가군,벡터공간, 대수의 정의

다음 포스팅은 https://youtu.be/6DP6UQ2sPus 의 영상에서 작성한 노트의 핵심을 정리한 것입니다. 여러 오탈자 및 수정 사항들이 있을 수 있습니다. 노트 내용에 대한 디테일한 설명들은 영상을 참고하시길 바랍니다. 

 

Algebra - Group, Ring, Field, Vector Space, Module, Algebra

Definition. Given a set $S$,

We say $*: S \times S \longrightarrow S$ is a binary operation

if $*$ satisfies for any $x, y, z \in S$,

$
(x * y) * z=x *(y * z)
$
(this is called the associative law).

We call $(s, *)$ the semi-group.

Example. $S=\mathbb{N}, *=+.(a+b)+C=a+(b+c)$

Non-Example. $S=N$ with the subtraction : not binary operation.

Example. $S=\{0,1\}$ with the binary operation $*$ defined by $0*0=0, 0*1=1*0=0, 1*1=1$.


Definition. Given a Semi-group, $(M, *)$,

If $\exists e \in M$ s.t $\forall a \in M, a * e=e * a=a$

we will call $e$ the identify of $M$ and Call (M,$*$) the monoid.

Definition. Given a monoid $(G, *)$, we say $G$ is a group if $G$ satisfies the following: $\forall x \in G, \exists y \in G$ s.t

$$
x * y=y * x=e
$$

Examples.

(1) $(\mathbb{N},+)$: Semi-group, not a monoid.

$
\because a+e=e+a=a, e=0 \notin \mathbb{N} \text {. }
$


(2) $(\mathbb{N}, x):$ monoid, but not a group

( $a \times e=e \times a=a, e=1$.

$
\left.a \times x=x \times a=e=1, \quad x=\frac{1}{a}\right)
$


(3) $(\mathbb{Z},+)$ : group.

$
\begin{aligned}
& a+e=e+a=a \Rightarrow e=0 \in z \\
& a+x=x+a=0 \Rightarrow x=-a \in \mathbb{Z}
\end{aligned}
$

(4) $\underbrace{\left(\mathbb{N},+\right)}_{\text {semi-gp }} \subseteq \underbrace{(\mathbb{Z},+)}_{\text {group }}\subseteq \underbrace{(Q,+) \subseteq(\mathbb{R},+)}_{\text {gps. }}$


(5) 
$\mathbb{Z}-\left\{0\right\}$ is a semi-group, contained in $\mathbb{Q}-\left\{0\right\}$ which is a group. 

(6) $\left(G L_{n}(R), X\right):$ group matrix-multiplication

$
\begin{aligned}
& =\left\{A \in M a t_{n \times n}(\mathbb{R}) \mid \operatorname{det} A \neq 0\right\}
\end{aligned}
$

(7) Given set $A$, let $F=\{f: A \longrightarrow A \mid f$ is 1-1 and onto $\}$ Then $F$ is a group with the binary operation given by the composition of functions. 

Remark. (1) Given a monoid, such $e$ is unique.

(2) Given a group, for each $a \in(G, *)$, there exists

unique $x \in G S$ - $t \quad a * x=x * a=e$

(Exercise)

Definition. Given a group $(G, *)$.

We say $(G, *)$ is a commutative group if

$
\forall x y \in G, \quad x * y=y * x
$

If $*=+,(G,+)$ is called the abelian group.

Remark. There is an operation which does not satisfy the associative law (but commonly used in Physics).

e.g) Lie-bracket. $[,][[A, B], C] \neq[A[,[B, C]]$

Definition. $A$ set $R$ is a ring if $R$ is equipped with the addition + and multiplication

$$
\begin{aligned}
& +: R \times R \longrightarrow R \\
& \because R \times R \longrightarrow R
\end{aligned}
$$

Such that

(1) $(R, +)$ is an abelian group,

(2) $(R, \circ)$ is a semi-group,

(3) $+, \circ$ is compatible,

$$
\text { i.e., }\left\{\begin{array}{l}
(x+y) \cdot z=x \cdot z+y \cdot z \\
x \cdot(y+z)=x \cdot y+x \cdot z, \forall x, y, z \in R
\end{array}\right.
$$

Definition. We say a ring $(F,+, \circ)$ is a field if $\mathbb{F}-\left\{0\right\}$, \circ $\}$ is a commutative group.

e.g) $(\mathbb{R},+, x)$ is a field 
e.g) $(\mathbb{Q},+, x)$ is a field

Definition. Given a ring $R, M$ a set,

we say $M$ is a $R$-module if

$M$ is equipped with the addition $+$ and the scalar multiplication 

$$\mathrm{R} \times M \longrightarrow M$$$$
\underset{\text { s scalar }}{(r, M)} \longrightarrow rM
$$

1) $(M, +):$ adelian group

2) $\left(r_{1}+r_{2}\right) \cdot m=r_{1} m+r_{2} m, \forall  r_{1}, r_{2} \in R, m \in M$

3) $r \cdot\left(m_{1}+m_{2}\right)=r \cdot m_{1}+r \cdot m_{2} \quad \forall r \in R_{1}, \forall m_{1} m_{2} \in M$

4) $O_{R} \cdot m=O_{M} \quad \forall m \in M$

5) $\left(r_1 r_{2}\right) \cdot m=r_{1} \cdot\left(r_{2} \cdot m\right) \quad \forall r_{1}, v_{2} \in R, \quad \forall m \in M$ 


Definition. Given a field $\mathbb{F}$ , We say $V$ is a vector space over $\mathbb{F}$ if $V$ is a $\mathbb{F}$-module.

Definition. Given a ring $R$ and a set $A$, we say A is the algebra if $A$ has 3 operations : with compatability

$$
\left\{\begin{array}{l}
+: A \times A \longrightarrow A \\
X: A \times A \longrightarrow A \\
\circ: R \times A \longrightarrow A
\end{array}\right.
$$