덧셈과 곱셈에 대해 명제의 관점에서 생각해보기

왕초보험마의 수학 공부 두 번째 시간이고 지난 시간에는 저희가 어떤 방식으로 어떤 얘기들을 할지를 간략하게 얘기를 했고 오늘부터도 뭐 똑같습니다. 별 다른 거는 없는데요. 제가 지난번에 어떤 같이 생각해보자고 매개체 정도로 덧셈과 곱셈에 대해서 좀 생각을 해보자고 말씀을 좀 드렸어요. 기본적으로 정답이 전혀 없는 질문이거든요. 그리고 각자의 생각의 방향에서 이걸 어떻게 되어야 된다라는 어떤 필요조건이 있는 그런 것도 아니에요. 그래서 혹시 해보신 생각들 중에서 좀 나눠보고자 하시는 것들 있으시면 나누고 시작하면 좋을 것 같습니다. 수학초보님부터 시작해주시면, 어떨까 싶은데요. 
 
이제 처음 시간에 이제 선생님께서 철학과 인제 수학에 대해서 인제 차이점을 인제 질문하셨고 그다음에 인제 덧셈과 곱셈에 대해서 인제 말씀하시고 이제 수업을 마친 거 같아요. 그래서 이제 두 가지를 생각을 하면서 인제 수학은 어떤 수에 대해서 그 철학과 차이가 있는 점이다. 말씀하시면서 어떤 편의성에 대해서 말씀을 하셨잖아요. 우리 인간이 편의성을 포기하기는 참 어려울 거 같다 그래서 제가 인제 말씀을 들으면서 저는 쫌 뭘 생각했냐면 바벨탑 사건을 제일 먼저 이케 떠올렸거든요. 

 

그게 인제 왜 생각이 났냐면 이게 창생이 보면 이제 사람들이 바벨탑이 올라가고 있을 때 하나님께서 언어를 다 이렇게 인제 흐트러뜨리면서 사람을 같은 언어들끼리 인제 다 직면에 흩어졌다 그래서 언어를 다 이제 한 언어로 이렇게 쓰던 것 쓰던 일들이 인제 이런 일들을 하는 걸 보면서 언어를 인제 다 분산을 시켰다 그런 기록이 나왔는데 그 그 숫자에 편의성에 대해서 들으면서 만약 그때 언어가 아니라 어떤 덧셈이나 뺄셈 연산 체계 아니면 어떤 수에 대해서 이렇게 완전히 다른 체계로 만약 분산이 됐다면 인류는 어떻게 살고 있을까? 
 
그런 생각이 그때 저는 쫌 들었거든요. 왜냐하면, 그렇게 이제 바벨탑을 지을 정도 같으면 제 생각에 또 한참은 올라갔을 거 같애요. 건물이 올라가고 그 어떤 도형이나 도식이나 이렇게 수에 대한 개념들이 그래도 상당히 쫌 발전이 되어 있을 거 같은데, 인제 언어만 흩들으셨기 때문에 우리가 결국은 제이 외국어를 다 이렇게 배우면서 하나의 연산 체계를 가지고 있잖아요. 그래서 인류가 발전하는 데는 큰 무리가 없지 않았나 저는 약간 이런 생각이 들더라고요. 만약 언어는 똑같지만 연산 체계가 완전히 다르다면 이케 인류 문명이 이렇게까지 발전할 수 있었을까? 
 
그런 의문을 좀 가지게 됐거든요. 제 마음속에 어떤 게 더 어려운가 생각하면 저는 연산 체계를 바꾸는 게 훨씬 더 어려운 거라고 생각이 들어요. 이 가끔씩 인제 뭐 우수선이 나타났다. 뭐 이런 뉴스를 보면 만약에 그게 사실이라면 우주에서 존재하는 어떤 그 개체들은 우리랑 전혀 다른 연산 체계를 갖고 있는 거 같은 느낌이 들거든요. 왜냐면, 움직임이라든지. 사람들이 보고 나서 이케 하는 말들을 들으면 뭐 쫌 상상 안 되는 만화 같은 그런 움직임을 보여주고 사라지잖아요. 그래서 뭐 그게 있다. 없다. 
 
이걸 떠나서 그래서 약간 그런 식으로 인제 어떤 인간 문명들이 전혀 다른 수를 쓰고 전혀 다른 연산 체계를 가지고 각자 이렇게 문명을 발전시키고 왔다고 하면, 지금처럼 이렇게 우리가 이케 우주를 향해서 날아가고 하는 것들이 가능할까 저는 이제 제일 먼저 수위 편의성에 대해서 생각을 해봤고 오히려 언어를 나누는 것보다 훨씬 더 힘든 일들이 되지 않았을까? 인제 수에 대해서는 생각을 제가 먼저 해봤고요. 그다음에 인제 덧셈과 뺄셈은 언제 쓰냐 이렇게 인제 물으셨던 거 같아요. 그래서 뭐 별 아무 생각 없이 쓰던 걸 갑자기 인제 언제 쓰냐 이렇게 물으니까. 
 
저는 생각하는 게 인제 아주 어릴 때 큰아이가 아주 어릴 때 이제 바둑 대회를 따라와 보니까, 그때는 제가 바둑을 하나도 모르고 있을 때였어요. 이게 시합이 다 끝나니까 일제히 바둑판에 이제 각자 누가 집이 많으냐를 가지고 승패를 결정을 하잖아요. 근데 인제 집들 모양이 뭐 판마다 전부 다 인제 다르니까 근데 전부 다 그걸 보니까, 판에서 사각형을 다 만들고 있더라구요. 
 
집을 계산하기 위해서 그래서 그때 저는 이제 실제로 바둑 드는 거는 또 처음 봤기 때문에 어떻게 저렇게 다 사각형을 만들지 집들이 울퉁불퉁하고 뭐 싸우다가 뭐 이케 난리도 나기도 하고, 이렇게 되는 건데 뭐 어디서 넣고 빼고 뭐 이렇게 하면서 바둑판 위에서 대곡자들이 다 집을 사각형으로 만들어서 이케 개과를 빨리 끝내고 승패를 결정하는 걸 제가 그때 봤거든요. 그래서 언제 덧셈을 하고 언제 곱셈을 하냐? 
 
할 때 그게 제일 쉬운 설명 이 일일이 정말 집을 한 집 두집 세 집 네 집 세고 있으면 한 판 바둑을 끝낼 때 시간이 엄청 걸릴 건데 그 파도하는 사람들이 전부 다 사각형을 만들어가지고 20 집 십 집 이런 식으로 해서 순식간에 개과를 끝내고 승패를 인제 결정을 짓잖아요. 그래서 결국 인제 수의 편의성이라는 거에 이제 결론이 가는 거지만 쌤에서 곱셈으로 가는 거는 어떤 편의성 때문인 때문이 아닌가 생각이 들어요. 
 
뭐 십을 10번을 더하는 거나 십 곱하기 십 하면 수식이 엄청나게 줄어들어 버리니까 결국은 이제 편하기 위해서 이렇게 수를 쓰는 거라면 결국은 덧셈으로 갈 수 밖에 없지 않나 이 생각이 들고 인제 또 사각형을 인제 생각을 해보니까, 제가 이제 직문 수업 들을 때 행렬에 대해서 배운 기억이 조금 나더라고요. 이렇게 사각형 안에다가 숫자를 넣어 가지고 이제 행하고 열을 곱하지 않았나요? 꼭새로 닫아가지고. 그걸 계산을 한다고 하셨잖아요. 
 
그래서 이 곱셈이 이 행렬로 넘어가는 그 과정인가 인제 저는 잘 모르겠지만, 이 생각을 해봤고 그러면 우리가 쓰는 곱셈하고 행렬의 곱셈은 똑같은 건가 생각하니까 그거는 아닌 거 같아요. 왜냐면, 이제 우리가 일반적으로 그냥 실생활에서 쓰는 곱셈은 일 곱하기 이나 이 곱하기 일이 똑같이 똑같잖아요. 답이 근데 행렬일 경우에는 행을 곱 행과 열을 곱하기 때문에 그게 바뀌면은 답이 전혀 달라져 버리잖아요. 그래서 같은 곱이지만 곱셈이지만 이게 전혀 같지는 않구나 약간 이런 생각을 해봤어요. 
 
이런 생각을 해봤고 또 어쨌든 스칼라 곱도 배우고 갑자기 곱셈에 대해서 하니까 뭔가 들은 건 있어 가지고 뭔지는 잘 모르지만 벡터나 뭐 이런 곱에 대해서 이렇게 약간 단어적인 지식이 있는 것 같아요. 수학은 잘 모르지만 그래서 이런 많은 이제 식들이 있잖아요. 뭐 뭘 무슨 식으로 증명하면서 이걸 했다. 뭐 이거 이게 뭐 정리나 공이 비싼 이런 식들이 있잖아요. 그것도 제가 가만히 생각하니까 거의 다 곱셈으로 되어 있는 거 같아요. 
 
그럴 수밖에 물론 없겠지만, 가장 뭐 더 이상 축약할 수 있는 방법이 있는 건지는 모르지만 그래서 결국은 덧셈과 곱셈이 모든 수식의 가장 기초이고 또 약간 인제 엑스와이 축으로 쫌 생각을 해 보면 저 쌤은 약간 수평 개념인 것 같아요. 제 생각에 아무리 더하고 더해도 좀 거북이 거름이고 이제 곱셈은 이게 약간 수직적인 개념이 아닌가 인제 혼자서 이런저런 생각을 좀 해봤습니다. 
 
네 좋습니다. 덧셈 곱셈 얘기하면서 바벨탑 얘기 나오는 거는 상상을 안 해봤는데요. 이런 얘기들 나누고 싶은 겁니다. 그리고 지적해 주신 것 중의 하나가 우리가 통상적으로 쓰는 곱셈을 포함한 연산과 그것을 이제 일단 외계인들이 만약에 존재한다면, 그들이 어떤 사용하는 연산체계는 아마도 다르지 않을까? 라는 말씀해주신 게 있고 그리고 어떤 행렬에서도 곱셈이라는 게 정의가 되었던 걸로 잘 기억을 하고 계시는데 그게 숫자들 간의 곱셈과는 좀 달라 다른 것처럼 느껴진다고 얘기를 해주셨고 그리고 그럼에도 어떤 곱셈의 어떤 그 당위성을 사용하는 당위성은 실제로 이제 많은 편의를 주니까 그냥 덧셈으로 표현하기엔 너무나 이제 긴 것들을 실제로 곱셈으로는 좀 편하게 표현할 수 있는 점에서 난 이제 한 가지 이제 이유가 있어 보인다 요 정도로 정리하면 좋은 것 같구요. 또 다른 분들도 좀 말씀 좀 듣겠습니다. 정답 없는 어떠한 질문이고 답이거든요. 그래서 덧셈과 곱셈에 대해서 어떻게 생각하시는지 혹시 나누고 싶으신 질문들 있으시면 나눠주시면 감사하겠습니다. 
 
그 한 가지만 명확하게 하면 멋지게 안 나누셔도 됩니다. 그냥 본인 생각을 나누시면 돼요. 정답이 정말로 없거든요. 그래서 이렇게 말할 때 내가 어떻게 비칠지를 생각하지 마시고, 어떤 오히려 본인의 어떤 소위 이제 가슴과 마음을 치는 그냥 그런 정서를 얘기하시면 돼요. 약간 정서적인 어떤 것들이랑 닿아있는 게 훨씬 좋습니다. 그러니까 지금 이제 첫 분의 경우는 바벨탑이라는 그 이런 얘기가 나오잖아요. 그러니까 굉장히 일단 각 개개인에 의존되는 거죠. 일단 얘기 나누고 싶으신 분들 있으시면 
 

네 안녕하세요. 이우철입니다. 오늘 마음 수는 사실 청강으로 들어왔는데 이제 얘기가 흥미로워서 조금 얘기를 해볼려고 마이크를 켰고요. 조금 전에 말씀하신 걸 계속 듣다가 그 사람마다 이제 가지고 있는 배경이나 공부해 온 것들 뭐 살아온 경험들에 따라서 이걸 되게 다르게 바라볼 수 있겠다라는 생각이 좀 들더라구요. 
 
그래서 저는 어떻게 이걸 생각할까라는 것을 생각을 하면서 말씀하시는 걸 들었는데 저는 본질적으로 저는 전 사회화학을 많이 공부하다 보니까, 이게 역사적으로 왜 시작됐고 뭐 어디에서 무엇 때문에 만들어졌는지가 참 궁금한 사람인데 덧셈도 그렇고 곱셈도 그렇고 우리가 뭔가의 양을 세기 위해서 하는 연산인 것은 같은데, 제 생각에는 곱셈의 장점은 덧셈은 같은 대상 한 가지만을 꾸준히 연속적으로 더 하는 건데 곱셈은 다른 개념의 두 기준을 한 번에 더할 양을 측정할 수 있는 개념을 도입할 수 있게 해주지 않나 그런 생각을 좀 해봤어요. 
  
이제 사실 뭐 이제 전에 직문수 같은 거 할 때 적분이나 미분 얘기를 설명을 해주실 때 적분과 미분의 역사를 이제 배경 스토리를 해주셨던 게 좀 기억이 나는데 적분이 미분보다 먼저 생긴 이유가 그 옛날에 이집트 이런 데 나일강의 땅을 재기 위해서 측량하기 위해서 먼저 그런 서메이션의 개념이 생겼다 근데 그거를 더하기 위해서는 면적을 계산하는 방법이 필요했고 그래서 적분에 가까운 개념들이 뭐 생겼다 이런 식으로 나오다 보니까, 어떤 높이라던가 면적 올케 사람이 갖고 있는 공간상에서의 개념들 혹은 저희가 뭐 경제활동을 할 때 화폐 단위라던가 재화의 교환 이런 것들을 계산하는 하기에 용이한 방법 중의 하나로 자연스럽게 덧셈에서 발전해 나간 것이 곱셈이 아닌가라는 생각을 해봤습니다. 
 
네 교환 코민트 감사드리고 네 직문서에서 다루기도 했었지만 맞는 거 같애요. 그래서 약간 적분이라는 것 자체도 결국에는 덧셈과 곱셈을 토대로 만들어지는 개념인데 결국엔 적분은 그러니까 굉장히 그냥 연산에 대한 이야기인데 방금 그 왕초 수학 초보님께서 말씀해 주신 것과 같이 바둑에서 소위 이제 어떤 집을 더 할 때도 완전히 똑같은 거를 사실상은 하고 있는 것처럼 생각이 들어서 어떻게 보면 각자 다른 배경에서 다른 얘기를 다른 온 매개체를 토대로 얘기하고 있는데, 결국 같은 얘기를 사실 이제 하고 있는 한 가지 좀 재미있는 반면이 좀 보여지는 것 같습니다. 또 다른 분들도 말씀드리겠습니다. 
 
나는 어떻게 언제 내가 덧셈과 곱셈을 사용하지라는 생각으로 이 문제를 접근을 해 봤는데요. 사실은 창의적이게 하고 싶었는데, 네 어려워서 제 일상에 접목시켜 봤는데 저 쌤은 쌤은 제가 물건 살 때 예를 들어서, 뭐 마트에서 연필도 사고 과일도 샀는데 그거를 일반적으로 생각을 하면 연필 가격이 1200원이면 1200원을 먼저 드 내고 그리고 과일 가격이 5000원이면 5000원을 두 번 내면 되는 거잖아요. 
 
따로따로 결제인데 그거를 좀 한 번에 하면은 일이 줄어드니깐 더셈을 활용을 해서 네 좀 편의도 높이고 시 시간이나 비 시간 비용 이런 걸 단축할 수 있겠다. 생각을 해서 더 편 네 그럴 때 사용하는 것 같았구요. 그래서 곱셈은 월급 계산할 때 아니면은 내가 지금 쫌 재학교 그랬으면 겁셈은 좀 큰 단위의 수를 계산할 때 그리고 예측 하고 싶을 때 사용하더라구요. 
 
뭔가 덧셈은 아무래도 큰 단위다 보니까, 곱셈이 큰 단위다 보니까, 덧셈은 쫌 눈앞에 있는 거 또 가까운 미래에 있는 거 이런 것들 사용을 한다고 하면, 곱셈은 좀 큰 단위 그리고 예측하고 싶은 네 사용하는 것 같아서 두 둘 다 계산을 위한 연산이고 편의성을 높여준다는 공통점이 있지만 네 방금 말했던 단위의 차이나 또 숫자의 차이나 객체의 차이가 있는 것 같다고 생각했습니다. 
 
그 사실 해주신 말씀에서 약간 좀 독특한 포인트가 있는데요. 그러니까 뭐냐면 덧셈과 곱셈에 대해서 생각하시는 바를 이야기를 하실 때 약간 거리감에 대해서 말씀을 해주신 부분들이 좀 있어요. 그래서 약간 덧셈은 쪼끔 가까운 뭔가에 대한 나처럼 생각하시는 반면에 곱셈은 뭔가 먼 거에 대해서 처리하는 듯한 그런 약간의 어떻게 보면 제가 연산에 대한 얘기를 하고 있는데, 그런 거리감에 대한 거를 생각하시면서 얘기를 하시는 분이 굉장히 좀 재밌는 어떤 사유의 어떤 그 그게 부분이 있는 것 같애요. 여기도 쫌 이따가 다 같이 한번 얘기해 주면 좋을 것 같구요. 네 그다음에 성현 선생님 말씀 듣겠습니다. 
 
저는 되게 정말 단순하게 생각했는데 저한테 2학년짜리 딸이 있거든요. 근데 지금 덧셈을 배우고 있는데, 이제 이 학기에 되면 곱셈을 배우게 될 거거든요. 그래서 이제 이제 슬슬 준비를 하잖아요. 그래서 곱셈이라는 건 말이야. 이런 거야. 이렇게 얘기를 해줘야 되는데 긍까 뭐 오빠한테 주워드는 것도 있고 하니까 곱셈은 똑같은 거 계속 더하는 거지 뭐 이렇게 얘기는 해요. 그래서 얘가 진짜 말은 이렇게 하는데 그게 무슨 의미인지 알고는 있는 걸까 하는 생각도 하기도 했고 그리고 제가 이제 실생활에서 생각을 해봤는데 제가 사실 요즘 다이어트 중이라서 칼로리 계산에 좀 민감하거든요. 그래 가지고 이제 다이어트 도시락을 먹기 시작했는데 이제 그거 이제 정확하게 칼로리가 계산이 돼 있으니까. 내가 하루에 이만큼 먹었구나 한 끼 두끼 세 끼 이만큼이면은 내가 운동한 거 계산해 가지고 계산하기 편하네 그냥 그럴 때 곱셈이 편하다고 생각을 하죠. 
 
이제 덧셈은 그리고 이제 불규칙하잖아요. 뭐 일 들어 늘었다가 이도 늘었다가 삼도 늘었다 이렇게 될 수 있는데, 곱셈은 그렇지 않고 이제 꾸준히 늘어난다고 이제 생각이 되더라구요. 그래서 약간 그래서 벡터의 그런 화살표 방향 이제 이동 그런 것도 좀 생각이 났었어요. 저는 
 
네 좋습니다. 지금 하신 말씀도 굉장히 구체적으로 관심을 갖는 어떤 연산을 하시는 부분들에 대한 얘기와 또 아울러서 또 역시 송일 선생님도 약간 기하학적인 습관에 대해서 쪼끔 어떠한 이제 나눠주시는 부분들에서 쪼끔 비슷한 점이 있었어요.

저는 수업하기 시작 전에 한 20분 정도 생각을 해봤는데 제가 언제 곱셈과 덧셈을 하는지 저 같은 경우는 뭔가 좀 간단한 거나 평소 많은 부분들은 거의 다 덧셈으로 처리를 하다가 그러다가 이게 좀 복잡해지거나 뭔가 이게 계속 반복이 되는 그런 계산들이 있을 때에는 그걸 곱셈으로 바꿔서 계산을 하더라고요. 그래서 좀 뭔가 처음엔 덧셈만 있다가 뭔가 거기서 이렇게 하면 더 편해지는구나 뭔가 반복되는 패턴이 있구나라는 거 발견이 되면서 곱셈이 나오지 않았을까? 뭔가 이런 생각을 했었습니다. 

저는 곱셈을 하는 게 구구단에요. 영향이 되게 크지 않았나 어떠한 어떠한 한 수를 가지고 몇 배 하면 어떻게 되는 것일까를 우리가 생각을 하다 보니까, 가령 뭐 30일하면 내 월급이 얼마나 될까를 다 더하지 않잖아요. 이렇게 하나하나 다 더하지 않고 일수라는 어떤 한 자연수 작은 자연수를 가지고 내가 일한 금액을 가지고 곱해서 나온다 나오는 그런 어떠한 작은 수를 가지고 그거를 확장했을 때 얼마 정도 나올 수 있을까를 쫌 생각하지 않나 하는 생각에서 곱셈은 그렇게 생각을 하는 거 같구요. 

덧셈 어떤 게 이제 규칙성이나 이런 것들이 없을 때 그렇게 더하는 거라고 생각이 들었습니다. 

좋습니다. 자 다들 이제 각자의 어떤 생각들에 대해서 잘 말씀을 해주셨는데 수학을 공부할 때에는 기본적으로 다들 이제 사실 오늘 너무 처음 시작에 맞지 않게 뭐라고 해야 되죠. 자신의 생각들을 너무나 잘 나누셔가지고. 할 말은 없는데 수학적인 사고방식이 보통 어떤 식으로 가냐면 먼저 구체적인 게 있거든요. 그래서 어떻게 보면 굉장히 놀랍게 바벨탑이라는 구체화에서부터 오늘 수학의 얘기가 출발할 줄은 상상도 하지 못했는데 어떠한 각자가 신경 쓰는 구체적인 게 있고 구체적인 거를 잘 관찰을 해요. 그리고 관찰한 거를 토대로 해 가지고 특정 특징을 추상적으로 따내는 겁니다. 그래서 이거를 유식한 말로 대수적인 사고방식이라고 부르는데요. 그래서 구체적인 어떤 매개체 혹은 예시에서 출발해서 어떤 특징을 따서 일반화를 하면 그게 내가 생각한 예시만 생각해야 되는 게 아니라, 굉장히 많은 것들을 포괄하는 어떤 방식의 생각이 됩니다. 
 
그래서 가령 예컨대 저희가 초등학교 때 사과 한 개와 사과 한 개를 들고 있는 거를 이렇게 들고 있으면 이거를 일 더하기 이라고 추상화하자 라는 거가 어떻게 보면 단적으로 저희가 이러한 구체적인 걸로부터 일반적인 거를 생각을 끌어내고 있었던 방식이었던 거예요. 그래서 그 수학적인 대상에 대해서 어떤 질문을 할 때 사실 제일 첫 번째로, 해야 되는 거는 오히려 수학적으로 명료한 개념이라기보다는 나한테 와닿는 거를 가지고 구체적으로 투여해서 보는 데 있습니다. 그리고 오늘 면에서는 다들 자연스럽게 그런 식으로 생각을 하고 계시는 것들을 좀 보여주시는 면들이 컸다고 생각해요. 다시 말해서, 이런 사고들을 약간 대수적인 사고 방식이라고 얘기를 합니다. 
 
그래서 대수라고 한 거는 대신할 때 숫자 대신하는 거를 지체하는 거 그래서 저희가 엑스 와이 이런 데다가 덧셈 곱셈을 한다고 할 때 이걸 대수학이라고 부르고 이것도 중학교 때부터 저희가 엑스를 도입해 가지고 덧셈 곱셈을 해서 뭐 이차방정식 이런 걸 풀고 있었던 시점에서 이미 사실은 자연스럽게 갖고 있었던 어떠한 생각의 방식이었던 거예요. 자 그래서 하나는 수학적인 생각을 할 때 저희가 내가 관심 있는 구체적인 매개체에서부터 단순 명료한 구체적인 매개체 출발해 가지고 생각을 어떤 이제 잘 들여다 어떤 잘 관찰을 하는 방식으로 잘 들여다본다는 거 각 첫 번째구요. 괜찮으시죠. 앞으로도 질문은 바뀌겠지만, 질문들에 따라 가지고 그럼 일단은 나한테 굉장히 와닿는 얘기 어떤 대상을 토대로 얘기를 해야 이게 소위 말해서 외계어가 되지 않습니다. 괜찮으시죠. 본인만 알아듣는 얘기가 아니라 남들도 충분히 알아듣도록 얘기가 될려면 부책임 매개체가 같이 공감이 적어도 가야 되는 가야 되는 거죠. 그게 첫 번째구요. 
 
그리고 이제 두 번 두 번째로, 구체적인 거를 관찰을 한 다음에 그래서 내 어떤 나름의 어떤 방식들을 가지고 관찰을 한 다음에 그냥 좋구나 해서 끝나면 어떻게 보면 그냥 그런 거죠. 그쵸. 그래서 여기서 한 발자국을 더 가기 위해서는 수학을 공부한다고 했을 때 수학은 결국에는 문장을 수학적으로 명제로 만들어야 된다는 것은 어떤 얘기냐면 트루나 펄스 혹은 흑백으로서 명료하게 명료하게 이 문장은 맞다. 이 문장은 틀리다로 간결한 문장으로 만들면 이게 수학적인 암이 됩니다. 동의가 되시나요? 그래서 이럴 수도 있고 저럴 수도 있고를 수학에서는 원하지 않고 이거던가 저거던가 그래서 관찰을 또대로 해 가지고 내가 아웃풋으로 만들어내야 되는 것은 내가 지금 실제로 하고 있는 관찰이 요런 문장을 말하는 것이다. 근데 제가 말씀드리는 이 문장이라는 것은 옳은 문장이라는 의미가 아니구요. 옳고 그름이 명료한 문장이라는 의미인 겁니다. 
 
그래서 코에 걸면 코걸이 귀에 걸면 귀걸이를 원하는 게 아니에요. 그래서 아까 예컨대 수학 초보님께서 말씀해 주신 것과 같이 이게 내가 생각하는 숫자의 덧셈과 행렬의 곱셈이라는 거는 다른 거 같애 이런 문장이 전형적인 수학적인 문장, 즉 명제에 해당하는 예시가 되는 거예요. 그래서 내가 곱셈에 대해서 생각을 해보다가 이거 그러니까 이거는 답이 정해져 있는 거예요. 그러니까 내가 알고 모르곤 그다음 문제이고 어떤 이런 게 이제 수학적으로 만들어야 되는 문장이 되어서 이게 그럼 진짜로 같은 거야. 다른 거야. 그러면 같으면 같은 근거를 대야 되죠. 이거를 보통 조금 유식하게 하면 맞으면 증명하라고 보통 과에서는 수학과에선 얘기를 하지만 그러니까 맞으면 근거를 적합하게 제시를 해야 되는 문제인 거고. 괜찮죠 그리고 그렇지 않으면 안 그렇자라는 근거도 제시를 해야 돼요. 근데 보통 수학에서는 그러니까 각 문장들을 어떤 식으로 만들기로 하느냐면 모든 문장들이 맞는 문장들만 얘기하겠죠. 원해요. 
 
자 그래서 제가 조금만 더 이 부분을 얘기를 하고 각자의 어떤 생각들을 다시 한번 오늘 나온 얘기들을 같이 대화를 좀 해보고 싶은데요. 일단은 얘기부터 하고 싶습니다. 왜 맞는 문장들만 써야 되느냐 수학적으로 왜 맞는 문장들만 써야 되냐면 틀린 문장을 쓰면 의미가 없어지기 때문이야 무슨 말이냐면 제가 여기 어머님들이 몇 분 계시잖아요. 부 학부모님들 몇 분 계시잖아요. 그래서 보면 제가 이제 되게 좋아하는 예시로 어떤 예시를 드냐면 예를 들어, 초등학생 정도 되는 아이가 있다고 했을 때 아이가 공부를 안 해가지고 공부를 시키고 싶어요. 혹은 예를 들어서, 다이어트가 어려운데 다이어트를 시키고 싶어요. 그러면 저희가 어떻게 합니까? 보상으로 꿰입니다. 이거 하면 이거 해줄게 이게 저희가 아주 전형적으로 써먹는 수학적 문장입니다. 핵심은 뭡니까? 이거 화면에 있는 거죠. 근데 뒤집어서 뭐가 있는 겁니까? 이거 안 하면 내가 어떻게 하든 간에 내 마음인 거죠. 
 
그래서 직접적으로는 니가 100점을 받 받으면 게임기 사줄게 니가 이거 하면 이거 해줄게 그러면 100점을 받으면 게임기 사줄게 라는 문장에서 100점을 받았어요. 근데 내가 마음을 바꿔서 이번 시험 말고 다음 시험까지 100점 맞으면 게임기 사줄게 라고 하면, 애가 난리가 나겠죠. 즉 수학적 문장이 거짓을 말했다는 뜻입니다. 그러니까 아이는 주장할 수 있어요. 왜 약속을 안 지키냐 맞죠. 근데 만약에 100점을 못 받았어요. 사실 이것도 노림수 중의 하나죠. 그래서 게임키를 안 찾았어요. 99점 정도 받았어요. 다음에 사줄게 100점 받아와 그러면 아이는 약속을 못 지켰다고 클레임 할 수 없잖아요. 억울할 거는 알지만 그럼에도 불구하고, 이게 어떤 의미에서는 훈육도 약간 이런 면이 있죠. 기준을 정해놓고, 이 기준을 통과하지 않으면 안 되는 그런 요소들이 분명히 있죠. 근데 늘 삶의 어떤 해프닝은 이것들이 저대로 종합이 안 될 때인 거 같애요. 그런데 100점을 못 받았어요. 
 
근데 엄마가 봤을 때 얘가 충분히 노력을 한 거 같애 그래서 게임기를 사줬어요. 그러면 아이는 화를 낼 수 없 왜 약속을 안 지켰냐라고 할 수 없죠 왜 내가 100점 못 받았는데 게임기 왜 사줘 할 수 없어요. 엄마는 거짓말한 적이 없습니다. 엄마가 약속한 건 어디까지예요. 100점 받으면 게임기를 사줄 게였지 100점을 안 받을 때 게임기를 안 사주겠다는 뜻은 아니거든요. 이거 말이 되게 미묘하죠. 공감하시나요? 화낼 수 있나요? 저희가 친구들이랑 대화를 할 때 이거 하면 이거 해줄게 라고 했어요. 이 결과 안 됐어요. 근데 내가 이거 해줬어요. 그건 내 맘입니다. 그러니까 적어도 친구 입장에서 왜 약속을 안 지키네 라고는 할 수가 없죠. 동의가 되세요. 그러니까 제가 지금 말한 거를 좀 다시 멋지게 얘기를 하면 가정이 거짓이 되잖아요. 100점을 못 받았잖아요. 그러면 결론은 어떻게 돼도 문장은 깨지지 않아요. 이 9조 이해 가시나요? 그래서 저희가 수학적인 문장을 만들 때 가정이면 결론이다. 
 
형식으로 이프이면 된 형식으로 만들고자 하는데 만약에 가장이 충족이 안 됐어요. 100점을 못 받았어요. 그래서 게임기를 안 사줬어요. OK죠 100점을 받았어요. 게임기를 안 사줬어요. 이때는 트럭이 생깁니다. 약속을 안 지킨 거니까 맞죠. 그런데 100점을 못 받았다. 즉 가정이 깨졌어요. 그러면 결론은 게임기를 사줘야 되는 겁니까? 안 사줘야 되는 겁니까? 이때는 아무래도 상관없는 거예요. 왜냐하면, 조건이 충족이 안 됐으니까. 그래서 보통 문장은 많은 경우에 수학적인 문장들은 그냥 이거다가 아니라 이거일 때, 즉 어떤 근거하에서 이거일 때 이거다라는 형식을 취할 경우들이 굉장히 많아요. 꼭 그래야 되는 것은 아니지만, 동의가 되시나요? 그리고 여기서 굉장히 어떤 재미있는 부분은 가정이 성립하지 않으면 문장은 언제나 옳습니다. 동의가 되시나요? 자 그러면 가정이 깨졌다고 가정을 하겠습니다. 그러면 문장 자체는 언제나 참인 거가 동의가 되시나요? 
 
그러면 문장들이 만약에 논리적으로 예를 들어, 저희가 삼단논법이나 이런 것들을 알잖아요. 근데 한 문장이 거짓이라고 해 보세요. 즉 어떤 시점에서 가정이 거짓이 되었어요. 그러면 나머지 문장들은 전부 다 뭐가 될 수밖에 없어요. 전부 참일 수밖에 없어요. 뭐 할 필요 없이 나머지 문장 읽을 필요도 없는 거예요. 가정이 깨진 시점에서는 나머지 내용은 알 바 아니게 되기 때문입니다. 동의가 되세요. 이게 사람들이 해리포터를 읽을 때 화나지 않는 이유입니다. 처음부터 거짓이었거든요. 그러니까 작가는 거짓말 한 적이 없어요. 공상소설이 왜 우리가 거짓말로 인식하지 않느냐 처음부터 가정이 뻥이거든요. 그런 거 없거든요. 처음부터 그러니까 그다음에 어떤 얘기를 해도 상관없는 거예요. 처음부터 기차역 사 곱하기 3분의1 칸이 있다고 해도 아무 상관없거든요. 왜냐하면, 애시당초 거짓이었으니까. 애시당초 과정은 깨지고 있었으니까. 그러면 그다음에 어떤 얘기든 볼드모토랑 싸우든 어떤 얘기를 하더라도 상관이 없는 겁니다. 
 
즉 저희가 공상소설을 쓸 수가 있는 거예요. 하지만 이거는 저희가 어떤 진리로써 선택하는 것은 아니죠. 그냥 문장 자체가 거 어떤 문제가 없다라는 거를 동의할 뿐인 거죠. 결이 이해가 가시나요? 제가 그래서 해리포터를 읽고 나서 나도 호그와트 마법학교에 갈래라고 하지는 않게 되는 이치인 거죠. 재미있게 봤다. 이것과 근데 그게 실존한다라는 의미랑은 전혀 밝혔잖아요. 세관이 웅장할 수 있는 것과는 별개로요 괜찮나요? 그래서 이 지금 구조를 보면 저희가 명제를 토대로 어떤 것들을 기술할 때 문장이 단 하나가 틀리는 순간 나머지는 읽을 필요가 없어지게 돼요. 그래서 수학적 진리라는 것은 100프로 맞거나 안 맞거나 둘 중 하나밖에 없습니다. 그리고 그렇기 때문에 각 문장들을 만들 때 맞고 틀리고에 있어 가지고는 타협이 불가능한 게 기본적인 수학의 생각의 방식이에요. 왜냐하면, 하나가 어그러지는 순간 나머지는 아예 안 되기 때문에 이해가 되시나요? 
 
자 그래서 오늘 대화에서도 어떤 그래서 제가 오늘 두 가지를 좀 강조하고자 했던 것인데 하나는 내가 어떤 것들을 생각할 때 나만의 구체적인 매개체로부터 생각하는 것이 기본적으로 생각이 어떤 수학적인 생각이 어떤 방식이 되어진다 배수적인 사고라고 말씀을 드렸구요. 그리고 또 하나는 그래서 그렇게 생각하는 것들을 토대로 해 가지고 우리가 사과들을 관찰해서 일 더하기 일이 이라는 걸 만들어내고자 할 때 이 문장 자체를 옳고 그름이 명료한 문장으로 만들 필요가 있다. 수학이 아니면 그렇게 안 해도 돼요. 근데 수학의 경우는 이제 분명히 어떤 그런 특징을 갖는다는 거죠. 동의가 되시나요? 그래서 문장을 명료하게 만든 다음에 그다음에 그거에 대해서 이게 맞고 틀리고를 헤아려보는 정서로 가게 되는 겁니다. 그래서 내가 어떤 문장에 대해서 맞고 틀리고를 신경 쓰는지는 굉장히 중요한 부분들에 대해서 그래서 사실 오늘은 명제로 할 만한 것들이 굉장히 많이 나왔어요. 
 
대화들 중에 그래서 하나는 실제로 덧셈 어떤 분 어떤 말씀들을 많이 하셨냐면 제가 쪼끔 해 추하를 어떤 추출해 볼게요 그 예를 들어서, 곱셈이 좀 편하다 그리고 좀 빠르다 그거에는 이걸 제가 수학적인 문장으로 만들어 본다고 하면, 그거에는 일단 이것들은 수학적으로 맞고 틀리고를 얘기하기 되게 애매하죠. 그러니까 이 문장이 어떤 별로다 이런 말이 아니라 굉장히 의미 있는 관찰인데 근데 이거에 대해서 이게 맞아 틀려라고 되묻기는 애매한 문장들이라는 거예요. 그러니까 여기서 한 걸음을 더 가볼 생각을 하게 되는 거예요. 내가 이거를 정 이게 뭔가 덧셈은 좀 가까운 걸 다루는 정서인 것 같고, 곱셈은 좀 아닌 것 같은 근데 이거는 상대방이 사실 동의를 하든 안 하든 어떤 의미에서 상관이 없죠 왜냐하면, 명료하게 이건 뭐 옳다 그르다가 아닌 그래서 이렇게 만드는 점에 생각해 본다면 저는 문장을 이렇게 만들 수 있을 것 같아요. 곱셈은 사실은 덧셈으로부터 만들어지는 것이다. 
 
즉 무슨 말이다. 곱셈은 필요 없다. 이런 문장이 되는 거예요. 문장은 제가 한 가지 관계 이렇게 꼭 이렇게 생각해야 된다는 말이 아니라 문장을 옳고 그름을 정확하게 만들어내기 위해서 그런 정서에서 지금 이게 실제로 굳이 곱셈을 할 필요는 없지만, 덧셈만 가지고는 좀 불편하니까 그러니까 곱셈을 도입할래라는 말을 수학적인 명제로 바꾸어 본다면 그럼 사실은 곱셈은 정말로 덧셈으로부터 만들어지는 것이다. 라는 문장이 되는 거죠. 그러면 이거는 실제로 맞고 틀리고를 얘기해야 되는 문장이 되어집니다. 괜찮나요? 
 
자 이런 방식으로 그리고 아까 행렬의 곱셈과 숫자의 곱셈은 다른 것 같아 이런 문장들 그리고 아까 이제 바벨탑 얘기 나오면서 이게 언어를 흐트러뜨리는 어떤 성경의 창세기의 어떤 이야기와 근데 숫자를 흐트러뜨리는 거에 대한 거는 합의가 인플리케이션 전혀 다른 것 같고, 굳이 말하면 숫자를 흐트러뜨리는 게 훨씬 더 임팩트가 사실 더 큰 문제였을 수도 있을 것 같아 이런 문장들도 사실은 쫌 더 명료하게 해볼 수 있는 거예요. 이런 의미에서 그래서 이게 그러면 정말로 그러면 이렇게 더 파가 들어올 수 있는 거죠. 그러면 우리가 다른 나라에 사는 사람들은 기본적으로 다른 언어를 구사한다고 할 때 그럼 우리가 정말로 같은 연산들을 쓰냐 이거예요. 물어볼 수 있는 거죠. 그니까 언어만 다른 게 아니라, 실제로 그러면 연산하는 방식은 다 똑같다라는 걸 대전제로 하고 있는 건데 이게 정말로 맞느냐 왜냐하면, 우리가 조선시대 때 어떤 수학들은 쪼끔 달라 보였잖아요. 
 
딱 예컨대 그리고 어떤 소위 이제 서양 문물들을 받아들인다고 했잖아요. 근데 여기서 제가 어떤 말씀드리고자 하는 포인트는 그냥 제가 만든 문장을 같이 얘기를 하고자 하는 그런 정서라기보다는 기본적으로 구체화해서 추상화로 넘어가는 것과 추상화로 넘어갔을 때는 나만의 어떤 내가 관심을 갖는 문장으로 바꿀 필요가 있다는 거죠. 뭐가 되는 명제로서 옳고 그름이 명료하게 떨어져 떨어지는 그러면 그거는 조사할 수가 있게 되는 겁니다. 동의가 되시나요? 자 그래서 오늘은 얘기들 중에서 몇 가지 그 관심들이 있으신 명제들을 좀 같이 좀 조사를 좀 해볼까 하거든요. 그래서 혹시나 이거를 지금 만드는 과정을 같이 좀 연습을 좀 하고 싶어요. 그래서 오늘 나온 얘기들 중에서 가장 혹시 불편한 거 있으신가요? 또 나는 이런 부분들이 좀 불편하다 그리고 뒤집어서 얘기합니다. 
 
다 뭐 다 아는 얘기고 다 뻔한 얘기고 이렇게 얘기한다는 거는 소위 말해서 무색무취 무미로 느낀다는 거는 본인 마음에 하나도 와닿는 게 없다는 듯이 약간 이제 수학을 할 때 굉장히 제가 재밌게 생각하는 포인트는 뭐라고 해야 되죠. 긍까 그 뭐라고 쪼끔만 관점을 틀어서 봐도 내가 모르는 얘기들이 계속 나오거든요. 분명히 내가 충분히 호기심을 가질 만한 측면들인데 이런 것도 내가 한 번도 생각을 안 해봤구나라는 것들이 계속 나오는 거 같거든요. 그래서 무색무취 무취로 만약에 느끼신다면 이거는 그냥 내 호기심과 맞닿아 있지 않을 뿐이에요. 단순히 그래서 이거는 본인의 호기심의 방향에서부터 그걸 저는 불편함이라고 표현을 하거든요. 그래서 오늘 혹시 덧셈과 곱셈에 관련된 여러 가지 얘기들 나온 것 중에서 좀 이런 부분들은 좀 어떤 좀 나한테 불편하다 이런 부분들을 좀 더 대화가 되었으면 좋겠다는 부분도 있으면 몇 가지는 좀 같이 좀 얘기를 좀 해 볼까요? 그래서 당연히 발언권은 수학 초보님부터 일단 드리겠습니다. 
 
저는 특별히 불편하다 이런 생각은 못 했고 다 뭐 이 다 이해도 됐거니와 생각을 다 비슷비슷하게 하고 있다. 이 생각은 자 제가 여러분들 얘기를 들으면서 생각을 했거든요. 결국은 인제 덧셈으로는 좀 불편하니까 곱셈을 하는 게 아닌가 약간 결론은 이렇게 가는 거 같아요. 그렇게 가는 거 같고, 만약 곱셈이 없다면 얼마나 불편할까 저는 생각을 해봤거든요. 
 
아까 바둑판 얘기도 했지만, 처음서 끝까지 집을 하나씩 세워있는 그런 셈이 되는 건데 그래서 결국은 사람들이 곱셈을 생각할 수밖에 없었을 거고. 제가 아까도 여러 곱에 대해서 이제 들은 기억이 난다고 했는데, 그런 것들이 자꾸 발전되면서 그런 곱셈들이 나오지 않았을까? 저는 제 나름대로 이렇게 그냥 추 그냥 추측을 해봤고 
 
제가 두 번이나 드렸지만 역시 그런 걸 전혀 이게 인제 모르고 있으니까. 뭐라고 이렇게 말씀을 드리기는 조금 어려운 것 같습니다. 

네 좋습니다. 제가 화면을 공유를 한번 하겠습니다. 지금 해주신 얘기를 정리하면 이렇게 질문을 정리할 수 있습니다. 그래서 덧셈만으로 곱셈을 만들 수 있다. 단지 어떤 편의성이 문제일 뿐 자 그래서 일단 제가 여쭤보고 싶은 것은 이게 맞는 문장 이제 여기서부터는 이제 수학적인 명제로써 다루고 있는 겁니다. 이게 맞는 문장이라고 생각하시나요? 틀린 문장이라고 생각하시나요? 
 

틀린 문장 입니다. 

왜 틀렸다고 생각하시죠. 

덧셈으로도 곱셈을 만들 수 있으니까. 
 
그거는 이 질문과는 별개입니다. 저는 그냥 단순히 기준이 덧셈만으로 그럼 좋습니다. 제가 여기서 이거를 덧셈 뺄셈이라고 말을 하겠습니다. 그래서 덧셈이 아니라 덧셈과 뺄셈 덧셈과 뺄셈으로 그니까 둘 다 하겠다는 겁니다. 근데 곱셈이랑 나눗셈은 없다라고 생각을 하는 가운데 덧셈과 뺄셈만 있으면 곱셈을 만들 수 있겠느냐라는 명제입니다. 그래서 그게 맞냐 틀리냐라는 점입니다. 
 
아닌 거 같습니다. 
 
왜지요? 
 
곱셈은 뭐든지 다 곱할 수 있으니까. 덧셈 뺄셈 아니라 
 
혹시 다르게 생각하시는 분들 있으신가요? 다 대충 동의하시나요? 그런 느낌인가요? 대부분 
 
곱셈 나눗셈이 없다고 해도 다 곱할 수 있지 않나 덧셈 뺄셈 아니라도 
 
백을 열십으로 빼 나가면 샘을 만들 수 있지 않을까 싶은 생각이 들어 
 
일단 맞으면 근거를 정확하게 드시면 되고 틀리는 것도 틀리는 근거를 드시면 됩니다. 찍는 느낌이라기보다는 본인의 어떤 근거를 제시하는 측면에 가깝습니다. 
 
저는 맞을 거 같다고 생각이 드는데 왜냐하면, 뺄셈으로도 곱셈을 만들 수 있는 게 백을 했을 때 십씩 빼면 이 곱셈이 될 수 있다고 생각을 합니다. 있기 때문입니다. 
 
예 다른 분들은 어떠신가요? 
 
그냥 제가 인제 직문수를 들은 것을 쪼끔 생각을 해보면 이런 연산식 안이라도 곱셈은 다 할 수 있지 않나요? 뭐 가령 팩터도 약간 곱셈 개념이고 또 뭐 혼수나 여러 가지를 다 배웠는데 이런 연산 아니라도 곱셈은 다 할 수 있다고 생각이 들어가서 이게 거짓인 것 같습니다. 
 

자 어떤 연습을 계속 같이 하는 건데요. 맞으면요 근거를 들어야 된다는 거를 멋지게 말하면 맞으면 증명하라, 즉 근거를 제시해서 근거로부터 그럴 수밖에 없다라는 거를 논리적으로 보이라는 것이구요. 틀리면 보통 어떻게 얘기하냐면 관례를 찾아라 영어로 이걸 카운터 이그잼플이라고 부르거든요. 그래서 수학에서는 맞고 틀리고가 같은 중요들을 가져요 어떤 문장이 있을 때 이거는 맞아 이거는 틀려 라는 거 자체가 그 언제나 이제 수학에서 알고자 하는 부분이 되기 때문에 그래서 맞으면 어떤 합리적인 근거를 토대로 해 가지고 보여야 되는 것이고. 틀리면 안 되잖아. 이 구체적인 예시를 봐봐 보통 이런 식으로 어떤 이제 거짓됨을 얘기하는 편이에요. 아까 그 이상 선생님께서 해주신 얘기들을 한번 같이 한번 생각을 해보면 생각의 방식은 약간 이런 거죠. 
 
사실 더하고냐 빼고냐 자체보다는 예를 들어, 102라는 숫자가 있으면 우리는 이거를 십이라는 거를 총 10번 더 하면 돼 근데 이거는 아까 이해진 선생님이었나요? 이 예시를 이제 드신 분이 다른 분들이셨죠 어떤 십 곱하기 10조금 더 다른 예시를 또 생각해보면 예를 들어, 12란 숫자가 있으면 이거는 오를 두 번 곱하는 걸 수도 있지만 오를 두 오를 두 번 더한 걸 수도 있지만 오를 그냥 이를 곱했다고 해도 되니까. 그쵸. 지금 이런 구체적인 관찰을 일단 보고 있는 거죠. 이러면 우리가 덧셈으로 표현하는 거를 그냥 곱셈으로 표현을 바꾸면 되는 거니까 덧셈과 곱셈으로 덧셈과 뺄셈으로 곱셈을 만들 수 있는 것처럼 보인다라는 그런 논리였던 거잖아요. 이 논리가 맞나요? 이거 두 개가 같은 거는 이거는 맞죠. 이거는 분명히 맞아요. 이게 맞으니까. 
 
이거를 만드는 거는 얘만 있으면 돼라는 말이 맞나요? 제가 이제 여기서 이제 저희가 중학 서학을 좀 도입하도록 하겠습니다. 그러면 이제 더 이상 숫자로 생각하지 않고 제가 문자 저희가 참 많이 다루었던 엑스라고 해볼게요 그러면 엑스를 두 번 더 하면 우린 이거 뭐라고 받아들일 거예요. 이엑스라고 받아들이죠. 자 여기서 이엑스에서 쓰이는 이와 엑스 사이의 연산은 곱셈입니까? 곱셈이죠. 그쵸. 엑스를 두 번 곱했다. 엑스를 엑스에다가 이를 곱했다는 뜻입니다. 괜찮나요? 만약에 세 번 더 했어요. 그러면 저희 이거 삼 엑스라고 쓸 거죠. 동의가 되시죠. 이것도 뭘로 바꾼 거예요. 곱셈으로 바꾼 거예요. 괜찮나요? 
 
그러면 예를 들어, 저희가 이렇게 빼면 저희가 이거 엑스에다가 한 번 엑스를 뺐으니까. 마이너스 까 엑스랑 마이너스 엑스는 사라지고 얘만 남죠 당연하죠. 얘만 남아요. 그러면 저희가 마이너스 엑스는 어떻게 해석하고 있나 이것도 곱셈으로 해석하고 있습니까? 곱셈으로써 어떻게 연속하고 있어요. 마이너스 일 곱하기 엑스로 써 해석하고 있는 거죠. 맞나요? 자 충분히 생각하시면서 질문에 답해 주시길 바랍니다. 그러니까 덧셈과 뺄셈으로 곱셈을 만들 수 있다는 거예요. 생각을 좀 듣겠습니다. 되나요? 그 기본적으로 저희가 비판적인 시각을 가질 때에는 모든 걸 다 포괄하도록 만들어야 되는 거죠. 빈틈이 없어야 돼요. 동의가 되시나요? 그러니까 보통 소위 이제 사기꾼들이 말하는 방식인 거죠. 
 
보여주고 싶은 것만 보여주죠 그렇지 않나요? 그래서 내가 지금 생각하는 방식의 빈틈이 없어야 되는 거죠. 맞죠. 그래서 지금 적어도 저희가 보고 있는 방식은 덧셈을 토대로 해서 곱셈이 만들어지는 분명히 아주 좋은 관찰인 게 맞아요. 맞죠. 근데 저는 거기서 한 발쯤 더 묶고 있는 거죠. 그러니까 된다라는 의미예요. 네 일단 여기서 얘기를 좀 듣겠습니다. 생각들을 듣고 싶은 겁니다. 이혜지 선생님 얘기하시려고 하셨나요? 
 
네 저도 선생님이 적어주신 이 예시들을 떠올려서 네 맞다고 생각은 했어요. 
 
네 좋습니다. 또 다른 분들도 있으신가요? 안 그러면 제가 여기서 지금 보여드리는 거를 쪼끔 더 관찰을 해보도록 할게요 새로운 예시를 추구하는 게 아니라, 여기에 지금 어떤 판단의 방식이라면 여기 지금 곱셈이 있습니다. 괜찮으시죠. 에이 지금 현재 곱셈이 있고 뭐로 곱했냐면 이 숫자들을 곱했죠. 맞죠. 이 숫자들을 곱했죠. 이 곱하는 이라는 건 어디서 등장합니까? 여기에 이거를 두 번 더한 거에 등장하는 게 이 였고요. 이 경우는 세 번이고요. 이 경우는 마이너스 1번이라고 대충 봐도 무방한 거 같죠 대충 괜찮나요? 자 그러면 저희가 제가 이제 문자를 하나 더 도입하도록 할게요 제가 이걸 에이 곱하기 엑스라고 쓸게요 방금 위에서 봤던 세 가지는 에이가 각각 이랑 삼이랑 마이너스 1일 때였어요. 
 
그러면 이건 어떤 의미가 돼야 되는 거냐면 엑스를 몇 번 해야 되는 거예요. 에이 번 해야 된다는 의미여야 될 거예요. 그게 말이 됩니까? 
 
그 지금 설명해 주시는 내용이랑 이제 고민을 좀 해봤는데 저는 이거를 저희가 학교에서 수학을 배우는 순서에 대해서 같이 생각을 해봤어요. 그니까 덧셈이나 곱셈을 저희가 너무 이미 받아들이고 있는 상황에서 이걸 비판적으로 보는 게 좀 쉽지 않은 일인 거 같은데, 보통 초등학교에서 배우는 곱 덧셈 곱셈과 중학교에서 배우는 덧셈 곱셈 고등학교에서 배우는 덧셈 곱셈의 차이는 연상하는 수의 차이가 있지 않습니까? 그니까 자연수만을 대상으로 했을 때와 정수를 대상으로 했을 때와 실수를 유리수 무리수 실수 복소수 이렇게 갈 때 연산의 대상이 달라지면 저 명제가 참인지 거짓인지가 저는 달라질 수 있다고 생각을 합니다. 
 
예 그게 정답입니다. 네 그래서 사실 이 명제는 어느 수들을 기준으로 얘기하느냐에 따라서 참가 거짓이 바뀔니다. 그래서 이 문장은 사실은 여전히 명제가 아니에요. 왜냐 내가 지금 생각하는 게 자연수냐 정수냐 유리수냐 이거에 따라서 이 답은 밖의 이듬입니다. 그래서 참고로 정수집합이면 이거 참입니다. 근데 정수를 벗어나면 참이 아닐 수밖에 없는 게 예를 들어서, 2분의1 곱한다고 하죠. 삼 2분의1 은 너무 쉬운 숫자니까 뭐 어떤 게 좋을까? 예를 들어서, 파이 번이라고 해보죠. 무리수 파이는 무리수입니다. 여기서 이 파이만큼 더하거나 곱한다는 개념은 조금 이상하죠. 맞죠. 그래서 실제로 저희가 일반적으로 임의의 숫자, 즉 이걸 보통 실수라고 얘기를 합니다. 
 
수익선상에 놓여있는 모든 숫자라고 하면, 덧셈과 뺄셈으로 곱셈을 만들 수는 없어요. 근데 만약에 수익선 전체 숫자가 아니라 요. 어떤 0일 이 마이너스 일 마이너스 얘네들만 계속 보고 있다면 그때는 덧셈만으로 곱셈이 만들어지는 건 사실이 그래서 여기서 저희가 깨달은 한 가지 암이 어떤 거냐면 우리가 어떤 관찰을 했을 때 이게 덧셈 그니까 곱셈은 약간 편의의 문제인 것 같애라는 어떤 느낌을 받았을 때 그러면 실제로 덧셈만으로 곱셈을 만들어줄 수 있겠네라는 수학적인 문장을 만드는 거를 고려해 볼 수가 있고 맞죠. 근데 그거를 명확하게 해보면 뭘 알 수가 있냐면 이거는 내가 어떤 것들을 모으느냐에 따라서 바뀔 수가 있구나까지 관찰을 하게 되면 이제 한 가지 명확한 명제에 대해서 알게 된 거죠. 그래서 영일이 마이너스 일 마이너스 이것들만 모은 소위 정수들의 경우는 이 질문 일은 잠이고요. 
 
근데 그거보다 더 모으면 불가능하다는 거가 보이는 거죠. 왜냐하면, 어떻게 더하고 빼더라도 파이 번 곱하는 거를 만드는 건 불가능할 테니까요? 괜찮나요? 자 그래서 제가 일단 한 가지 보여드렸습니다. 그니까 앞으로도 이제 계속 저희가 이 훈련을 할 거거든요. 훈련이라기보다는 이미 하고 계신 거예요. 근데 제가 약간 모티베이션을 좀 드리겠습니다. 저희가 어떤 공부를 하고 싶다. 이거보다는 그 여러분들이 저를 포함해 가지고 하루하루를 살면서 구체적인 것들을 보잖아요. 뭐 뉴스가 되었든 아니면 내가 친구와의 대화가 되었든 부모와의 대화가 되었든 어떤 뭐 책들이 되었든 뭐 신문 기사가 되었든 아니면 그냥 어떤 인터넷 커뮤니티가 되었든 뭐 유튜브가 되었든 뭐 여러 가지들을 저희가 구체적인 것들을 접하죠. 그러면 저희가 그걸 접하면서 어떤 거를 받냐면 느낌을 받죠. 이거 이런 거 같애 예를 들어, 저희 그런 거 참 많아요. 
 
사람 저런 거 저런 사람이 이 사람은 이런 사람인 거 같애 어떤 그게 선입견이든 아니든 충분히 타당하게 여겨지는 어떤 저희 나름의 어떤 센서가 동작하는 것들이 있잖아요. 이 사람은 이런 사람이야 나는 이런 사람이야 이 일은 좀 이런 거야. 그니까 해보기도 전에 이미 이럴 거라고 저희가 어느 정도 충분히 어느 정도 맞을 거라고 사실 기대되어지는 관찰들을 갖고 있어요. 맞죠. 그런데 관찰들이 옳고 틀리고는 중요한 문제니까 중요한 문제예요. 이럴 수도 있다와 옳고 그르고는 다른 문제거든요. 그니까 직관적으로는 충분히 타당한 관찰을 열 다이아몬드 원석으로 했다고 해 가지고 그게 정말로 맞는지는 별개예요. 
 
그리고 실제로 내 어떤 의사결정에서 만약에 내가 직관적으로 타당하게 생각했던 게 사실은 관례가 존재한다면, 즉 논리적으로 구멍이 있다면 내가 의사결정하는 거에서 나는 분명히 그거를 신경을 쓸 수밖에 없습니다. 제가 그냥 어제 제 의사 결정을 한 가지 그냥 예로 들어드리면, 그니까 어떤 본으로서 말씀드리는 견지가 아니라 저도 이걸 똑같이 하는 사람으로서 말씀을 드리는 것인데 어제 이제 그 저는 이제 지금 2월요일 새벽이거든요. 지금 캘리포니아 시각으로 그리고 어제 이제 일요일날 이 어떤 그 밖에 사람들은 퇴근이 없어요. 그래서 주말에도 일을 하면서 유튜브로 뉴스 같은 거 이제 보고 이제 논문들 끄적끄작 고치고 있었는데, 삼성전자에 대해서 저는 주식 안 하는 사람입니다. 근데 삼성전자에 대한 얘기가 나오는데 그런 뉴스가 나오는 거예요. 지금 이제 7만 전자를 뚫었는데 더 갈 것 같다라는 그런 유튜브 뉴스를 봤어요. 그리고 분명히 거기서 제시하는 근거들은 꽤나 그럴듯 해요. 
 
지금 어떤 이제 되어지는 동향과 자 근데 그거를 받아들이고 안 받아들이고에 따라 가지고 저희의 어떤 삶의 컨시컨스는 굉장히 중요한 거 아닌가요 그리고 저는 어떤 식으로 생각을 하는 편이냐면 세상에 공짜는 없다. 고 믿는 편이기 때문에 저는 이거를 약간 곱셈이랑 관련된 정서를 갖고 있거든요. 그러니까 저희가 이제 다른 다음 얘기랑 같이 요. 얘기를 드려볼게요 자 질문 투입니다. 자 그러면 질문 일에서 이어지는 것으로 제가 삼성전자 얘기하면서 이 질문 투를 만들고 싶은데요. 그러면 이렇게 얘기하겠습니다. 덧셈 뺄셈만으로 곱셈을 만들 수 있습니까? 없습니다. 동의가 되시나요? 왜냐하면, 저희는 정수만 생각할 게 아니기 때문이에요. 맞죠. 
 
그래서 물론 만약에 정확하게 답을 한다면, 정수의 경우는 되지만 일반적인 어떤 수에 대해서는 사실은 곱셈은 덧셈과 뺄셈만으론 만들 수 없기 때문에 분명히 추가적으로 고려해 줘야 되는 연산으로 보여요. 안 그러면 어떤 이런 식으로 예를 들어, 2분의1 번 곱하거나 파이 번 곱하거나 하는 것들은 만들어내는 게 불가능할 테니까요? 동의가 되시나요? 그래서 질문일은 일단 여기서 닫겠습니다. 혹시 질문 일에 대해서 하고 싶으신 얘기들이 있으시면 나중에 들을게요 제가 이 얘기까지 오늘 같이 좀 얘기를 좀 나누고 싶거든요. 괜찮죠 그러면 질문 일이 생겼기 때문에 거기서 파생되어지는 질문이 생깁니다. 그러면 질문 일에서 저희가 알게 된 게 뭐냐면 곱셈은 필요 조건이라는 거죠. 그러니까 편하니까 쓴다 도 맞는데 그것만 있는 게 아닌 거죠. 편한 것뿐만 아니라 없으면 안 되는 거예요. 그러니까 버리지 못하는 겁니다. 덧셈만 뺄셈만 유사시에는 갖다 쓰면 된다가 아닌 거죠. 또 동의가 되시나요? 질문 일이 그런 의미에서 저희가 이걸 참과 것을 명확하게 한 거는 분명히 저희한테 어떤 생각의 방향을 가르게 합니다. 
 
그러면 그다음 질문으로 그럼 저는 덧셈과 곱셈을 비교하고 싶어요. 비교라는 의미는 말 그대로 차이 혹은 공통점 에 대한 얘기가 자연스러운 질문이 됩니다. 근데 이 질문을 만들기 위해서 기본 대전제는 일단 곱셈이 필요하다가 있어야 되는 거죠. 필요 없으면 굳이 비교할 필요가 뭐 있습니까? 그냥 나오는 건데 하나에서 맞죠. 그래서 필요하다고 하면, 이 두 가지를 비교하고 싶은데 저는 이걸 어떻게 예시를 오늘은 드리고 싶냐면 여러분들의 집이 여기라고 할게요 내 집이에요. 우리집 이라고 할게요 자 그리고 여러분들이 어떤 스케줄이 있다고 해서 약속 장소라고 하겠습니다. 어떻게 보면 저희가 오늘도 약속 장소를 향해서 클릭을 하고 온 거죠. 근데 과정 중에 무수한 많은 어떤 이제 의사결정들이 있어요. 
 

내가 지금 몇 시까지 여기로 올려면 이거를 이때까지 해야 되고 그리고 그다음 날도 다 그거 다 고려하고 오셨을 거라고 생각해요. 단순하지 않죠 의사 결정이 그러면 지금 예를 들어서, 내가 우리 집에서 약속 장소까지 가는 과정에서 예를 들어서, 나 저는 어제 빨래를 했거든요. 저녁에 그래서 일단 빨래를 하고 숙제를 할지 그러니까 저한테 숙제는 약간 논문 같은 거 고치는 그런 건데요. 빨래를 하고 숙제를 할지 아니면 그 그런 것들이 다 어떻게 보면 의사결정에 들어가는 예를 들어서, 길들이 제가 요 정도로 좀 더 단 그냥 좀 더 단순하게 요. 정도라고 할게요 그 중간 과정이 세 개 정도 있었다라고 제가 할게요 그러면 이게 지금 하나 둘 셋 이 중간에 내가 내렸어야 됐던 의사 결정이 세 가지가 있고 그리고 각각의 의사 결정으로부터 이 약속 장소도 있지만 아닌 것도 있을 수 있죠. 저희가 어쨌거나 의지를 들여서 여기까지 온 거잖아요. 맞죠. 아니 안 왔을 수도 있어요. 
 
뭐 힘들거나 바쁘거나 다른 중요한 스케줄이 있거나 그럴 수 있잖아요. 그래서 그중에서 저희 가격 고를 수 있어요. 요렇게 괜찮나요? 그러면 내가 지금 우리 집에서 약속 장소까지 가는 의사결정은 이렇게 세 개 그리고 각각에 대해서 두 개씩 그니까 이거는 총 삼 곱하기에 주목하십시오. 가 육인 것처럼 보여요. 맞죠. 그런데 여기서 이거를 이해 가시나요? 그러니까 지금 총 여기서부터 여기 아이고 여기서부터 여기까지 가는 경우의 수는 하나 여기까지가 아니라 여기서부터 여기까지 가는 총 경우의 수는 이응입니다. 지금 제가 말씀드린 거는 그러면 12342 거 연결 안 했구나 다섯 여섯이죠. 맞죠. 
 
그리고 그거를 여기서는 저희가 요 스테이지에서 삼이라고 썼고 요. 스테이지에서 이라고 써서 곱했죠. 자 제가 이 예시를 토대로 얘기를 좀 하고 싶은데 그러니까 어떻게 보면 이렇게 한 거죠. 제가 지금 구분하고자 한 거는 언제 우리가 더 하고 언제 곱하냐에 대한 정서적인 구분을 좀 하고 싶은데요. 저희가 여기서는 삼이라고 하는 거 받아들이셨었죠. 여기서부터 이 스테이지까지 가는 방법은 총 세 가지가 있어라는 거를 실제로 센 거에서는 어떻게 한 거예요. 더하셨어요. 곱하셨어요. 이 각각의 일1일에 대해서 한 가지 한 가지 한 가지 경우의 수에 대해서 더 하셨죠. 여기서도 한 개 한 개 더 하셨죠. 두 개 한 개 한 개 더 하셨죠. 두 개 한 개 한 개 더 하셨죠. 두 개 근데 여기서 이렇게 가는 것과 여기서 이렇게 가는 요 과정은 어떻게 하셨어요. 곱하셨죠. 곱했죠. 
 
자 되묻습니다. 저희는 언제 더하고 언제 꼽합니까? 이것도 조금의 정답 없는 질문입니다. 이 관찰을 먼저 보여드린 거예요. 분명히 이렇게 할 때 이 과정에서는 이거 일 곱하기 일 곱하기 일이라고 안 하셨죠. 더한다고 하시잖아요. 여기서부터 여기까지 가는 경우의 수는 한 개라고 생각 안 하시죠. 세 개라고 생각하시죠. 그걸 하기 위해선 법 더하기를 해야 되잖아요. 그런데 그리고 여기서 여기까지 가는 각각의 경우는 두 가지는 
 
근데 이것들에 대해서는 지금 요렇게는 총 곱했잖아요. 전 지금 그거 묻는 거예요. 왜 어쩔 땐 더하고 어쩔 땐 곱하느냐 우리가 엇 그러니까 이거는 어떤 지식을 묻는 게 아니라, 우리 의사결정의 방식을 묻는 거예요. 언제 더하고 어떤 기준에서 곱하기로 바뀌느냐 이렇게 하신 거 맞으시죠. 실제론요 저희는 지금 그거를 재해석하고 있을 뿐입니다. 

 

사실 지금 저기 있는 예시 같은 경우는 이제 저희가 제일 쉬운 예시를 보면 지하철 타고 가는 경로랑 비슷한 거잖아요. 근데 그 저의 곱셈을 굉장히 익숙하게 쓰니까 딱 표만 봤을 때 삼 곱하기 이가 바로 나오긴 하지만 근데 앞에 

일 더하기 일 더하기 

연산을 보면 시청역과 합정역과 홍대역은 분명히 다른 역이기 때문에 따로따로 따로 계산을 해 준 것이고. 그다음에 연결돼 있는 뭐 이제 여의도라든가 공덕력이 있다고 하면은 그것도 따른 역이지만 연결이 돼 있어서 또 두 개의 여기 있다라고 한 것인데 제가 생각하기에는 삼 곱하기 이를 저렇게 정의했을 때는 그런 어떤 이름이 붙어있거나 단위가 정확하게 정해져 있어서 구분되는 그런 게 아니라, 같은 것으로 바라봤다라는 사고가 들어있다라고 저는 생각을 합니다. 그래서 사실 저는 저게 정확한 연산은 라고 생각하거든요. 이제 하나하나에 두 경로의 조합이 하나의 길이 되는 거고. 그거를 저희가 고등학교 때 보통 배웠던 조합이랑 같은 개념이라고 저는 생각을 하면서 봤거든요. 

100만 번 맞는 말씀입니다. 근데 여기서 반론의 의미로 진짜 근대라고 말씀드리는 게 아니라, 좀 더 저희한테 정서적으로 와닿게 이 질문을 명료하게 만들고 싶은 거예요. 그래서 우리가 언제 더 하고 언제 곱하는지를 좀 더 명확하게 하고 싶습니다. 정서적으로 공감이 가시나요? 자 왜 더 하셨 여기서 제가 다시 얘기합니다. 이거 더 하셨죠. 이거 더했어요. 근데 이렇게 넘어가는 거에선 곱했죠. 그렇게 하고 계시지 않으셨어요. 그래서 왜라고 전 묻고 있는 거예요. 자 더하는 거에서는 제가 오늘은 시간상 한 5분에 17분 정도 얘기를 하고 또 어떤 쭉 돌아가면서 얘기를 하고 마무리를 할까 해요. 지금 보면 네 어려운 질문들입니다. 지금 드리는 질문들이요. 그리고 어떻게 보면 가장 원형에서부터 하나하나 만들고자 하는 거 근데 중요한 질문인 거 이해 가시나요? 
 
이거 왜 더하는 거가 우리 굉장히 빈번하게 하는 일이잖아요. 예를 들어서, 내가 지금 스케줄이 어떤 여기서부터 내가 지금 이럴 수도 있고 이럴 수도 있고 이럴 수도 있어 그거 더 하고 계시죠. 근데 이 스 그다음 스케줄 당하는데 그다음에 또 다른 스케줄의 경우의 수가 있으면 그다음 곱하셨죠. 그럼 내가 지금 요런 경우 수들이 이제 딱 정확하게 육아이 되는 상황처럼 그럼 그중에서 내가 지금 뭘 고를까 이런 문제는 저희한테 굉장히 빈번하게 어떤 형태만 조금 다를 뿐이지 본질적으로는 이런 거를 생각을 하잖아요. 이거 왜 더하냐면 얘네들은 하나를 고르면 나머지를 포기해야 되는 상황 선택의 문제입니다. 얘네들은요, 일 더하기 일 더하기 일이라는 거는 이거를 하는 순간 나머지 길들은 버려야 돼요. 동의가 됐어요. 내가 지금 이 스테이지에서 이 스테이지까지 가고자 할 때 하나를 그중에서 골랐어요. 고르는 경우가 지금 총 세 가지죠 근데 고른 시점에서 내가 이 길을 정한 시점에서는 나머지 길은 갈 수 있어요. 없어요. 그거는 더해집니다. 
 
맞죠. 즉 선택의 문제가 걸려 있어요. 덧셈에 대해서는 하나하나 더한다는 게 무슨 얘기예요. 각각이 다 선택의 문제인 거예요. 그것들을 더하고 있는 거죠. 곱하는 건 언제 얘네들도 여전히 선택의 문제로 여기서 가는 게 각각 두 가지 선택이 존재하죠. 선택하는 경우의 수들은 저희가 각각들을 다 더해서 카운팅합니다. 그러고 있지 않으세요. 내가 오늘 된장찌개를 먹을 수도 있고 김치찌개를 먹을 수도 있어 이거 어떻게 해요. 선택의 문제니까 저희는 내가 오늘 먹을 수 있는 음식은 두 가지 중에 하나야 총 두 개 이렇게 생각하잖아요. 자 그러면 내가 점심 때 먹을 수 있는 게 된장찌개 김치찌개 중에 하나면 두 개 내가 저녁에 먹을 게 비빔밥이나 또띠아나 피자 중에 먹고 싶어 또 역시 선태의 문제니까 세 개 그러면 내가 점심과 저녁에 먹을 수 있는 경우의 수는 총 몇 개예요. 6개죠 왜요 점심과 저녁은 서로가 선택의 문제예요. 아니에요. 
 
점심은 선택의 문제고 저녁은 저녁으로 선택의 문제지만 점심과 저녁은 저희가 선택의 문제로 전 점심도 먹어야 되고 저녁도 먹을 거예요. 즉 연속적으로 혹 동 계속 순서적으로 일어나는 것들에 대해선 저희가 어떻게 알고 있어요. 곱하고 있어요. 즉 저희가 여기서 여기까지 가는 선택의 수가 몇 가지예요. 세 가지고요. 여기에서 여기까지 가는 선택의 수가 각각 몇 가지예요. 각각에 대해서 두 가지예요. 선택이 된 시점에선 그렇게 선택 그리고 각 이것 얘네들의 선택은 별개의 문제예요. 그래서 이렇게 한 다음에 이렇게 선택하는 총경과 곱해져서 삼 곱하기 이라고 해서, 육이 됐던 겁니다. 그러니까 정리하면 덧셈은 선택의 문제였고 곱셈은 선택된 것들을 다 존중하는 가운데 다 총수를 헤아리는 방법이었던 거죠. 동의가 되세요. 
 
물론 저는 지금 말한 건 되게 어떤 수학적으로 면제로 얘기하는 성격보다는 이 지금 질문들을 보는 가운데 구체적으로 헤아리면서 내가 이걸 어떻게 그리고 지금 아까 이상 선생님께서 채팅방에 남겨주신 말마따나 쉬운 질문인데 어렵죠 저희가 어렵다라고 하는 거는 저희가 외계어로서 이해하지 못하는 질문이 어려운 것이 아니에요. 뭐 저희가 왜 운동하는 거 좋은 거 하지만 다 안 해요. 어렵기 때문이에요. 이 정서를 공 어떤 납득을 하셔야 돼요. 그래서 실제로 저희가 수학적으로 실력이 올라간다는 건 어떤 거냐면 굉장히 어려운 문제를 그냥 외계어로 풀어 써 놓은 문제를 잘 푸는 게 아니라, 이런 식으로 단순한 것들 가운데 이걸 저는 파고든다 라고 표현을 하거든요. 하고 들어보면 어려워요 내가 어떻게 인지해야 되는지도 불명확한 경우들이 대부분이에요. 근데 거기서 파고드는 거가 굉장히 에너지가 많이 들거든요. 두뇌 에너지가 많이 들어가요 그래서 인간의 기본적으로 신진대사의 20프로 정도가 두뇌로 쓰입니다. 
 
그래서 저희가 생각을 많이 하면 굉장히 진 빠지는 느낌들 받으시죠. 그래서 그런 것들이 어떻게 보면 할 만한 것들이지만 하는 게 실제로 어려워요 그니까 운동하는 거 어려운 거랑 전 굉장히 비슷한 정서라고 생각해요. 어떻게 보면 두뇌 운동이라고도 볼 수가 있는 정서죠 자 그래서 제가 오늘 다음 시간에도 여전히 저희는 덧셈과 곱셈에 대해서 이 관점에서 다시 한번 생각해보기로 원하거든요. 조금 더 제가 어떻게 생각해야 되는지를 알려드린 겁니다. 그리고 이 와 다 왕험수 덧셈 곱셈 얘기하다가 끝날 거거든요. 어떤 센에서 끝날 거냐 덧셈 곱셈 얘기하다 보면, 미적분학 서양대 수학 이런 거 왜 나올 수밖에 없는지가 다 이해가 되게 돼 있어요. 가장 기본 원형에서부터 출발해가지고 그리고 이 관점하에서 이게 틀리게 되신 건데 예를 들어, 지수함수 로그함수 다항함수 이런 거 보시면, 다르게 보이기 시작하실 거예요. 
 
전혀 이게 알고 보면 다 요 덧셈 곱셈을 어떻게 존중할지에 대한 문제를 사실 내가 보고 있었던 것이 지나지 않는 거였구나 그리고 거기서 아까 그 바둑판에 어떤 개갈을 할 때 영역을 어떤 사각형으로 만드는 거나 적분에서 그런 의미로 본다라는 거 이게 알고 보면 이게 다시 결국 다 얘기에 지나지 않는 거 있으니까. 이거를 내가 어떻게 드릴링 했어. 어떤 파고들어서 추상하는지는 내 직관과 통찰을 만들어내는 핵심이 됩니다. 그리고 그냥 마지막 얘기로 제가 아까 7만 전차 얘기를 했는데요. 그래서 곱셈은 저희가 편이의 문제라고 해 아까 많은 분들이 느끼신다고 하셨잖아요. 그리고 곱셈이 큰 수를 만들기가 편하니까 편이라고 표현을 한 거잖아요. 덧셈보다 빠르게 곱 어떤 거를 쉽게 큰 숫자를 만들어내는 그러면 저희가 실제로 돈을 많이 벌고 싶어요. 예를 들어서, 그러면 실제로 연산 과정이 어떻게 된다는 거냐면 곱셈이 많아야 된다는 뜻이죠. 큰 숫자에 의한 곱셈이 많아야 돼 그런 얘기는 덧셈은 어떤 거예요. 선택에 대한 거예요. 
 
곱셈은 선택된 각각이 많아야 돼요. 어떤 의미에선 병렬로써 이거 선택하고 이걸 동시에 다 하고 있어야 되는 거죠. 즉 뭐냐면 선 그렇게 누적이 되는 건 기본적으로 시간이 누적이 되어야 되는 결과예요. 이거를 한 다음에 그다음에 이것도 해야 되고 이것도 해야 되는 거를 그걸 수행해주는 게 곱셈이잖아요. 즉 높은 가치를 주는 거는 시간과 기본적으로 내공이 많이 들어간 문제 왜냐하면, 한 번만 선택을 해 가지고 되는 게 아니거든요. 곱셈은 한 번 선택한 거를 계속해 줘야 돼요. 즉 저는 이 곱셈의 어떤 철학만 생각해도 뭘 알 수가 있냐면 인간 세상이 공짜는 없다는 걸 알 수가 있어요. 그 누구도 나한테 높은 가치가 있는 거를 그대로 줄 리가 없어요. 왜냐하면, 높은 가치가 되기 전까지는 굉장히 많은 과정을 거쳐서 거기까지 간 거거든요. 그래서 만약에 나한테 이거 좋은 거야. 라고 준다고 하면, 그거를 믿을 수 있는 자라고 생각해보면 이제 너무나 명확하게 그럴 리가 없다라는 걸 볼 수가 있게 되는 겁니다. 
 
어떤 의미냐면 저희는 결국에는 다 이기적인 사람들이 다 자기중심적인 사람들이고 심지어 저는 부모랑 자식관계라고 하더라도 다 똑같다고 생각해요. 이게 물론 어떤 부모가 자식한테 퍼주려는 마음 자체 숭고함과는 별개의 의미에서 다 결국엔 이기적인 사람들인데 그러니까 결국에는 나한테 뭔가 좋은 것들이 주어진다는 거 여기서는 주는 거에 대한 전제가 나한테 보이지 않는 한 사실은 굉장히 조심할 수밖에 없다는 거죠. 그러니까 세상에 공짜는 없어요. 그러니까 나쁘기만 한 것도 없고 좋기만 한 것도 있을 리가 없기 때문에 전제들을 확인해서 근데 전제들의 확인의 과정에선 이 인류가 축정 어떤 측정이 되는 과정에 대해서 내가 정확하게 이해하는 나한테 왜 이런 높은 돈을 줄까 왜 나한테 이런 돈밖에 주지 않을까? 이게 단순히 어떻게 보면 그냥 어떻게 보면 가치를 그냥 숫자로 어떤 환원한 거지만 숫자를 환원한 거에 이미 철학적인 것들을 볼 수가 있는 거죠. 그래서 저는 많은 경우에 여기서 사기에서 걸리는 이유가 여기 있다고 생각 그래서 유튜브 보면 다 무슨 말들 대부분 합니까? 
 
돈 많이 버는 법 10억 버는 법 뭐 알면 알려주겠어요. 여러분들이라면 알려주겠어요. 여러분들이라면 그냥 내가 10억을 멀쩡히 버는 법이 있으면 여러분의 가장 친한 친구한테 그거 아무 이유 없이 알려주시겠어요. 저는 알려줄 리가 없다고 생각합니다. 친구를 친하게 생각하지 않는다거나 그럴 이유가 없잖아요. 너무너무 당연한 거 아닌가요 그러면 나한테 그걸 준다라고 하는 높은 가치 여러 가지를 곱해 가지고 줘야 되는 거를 그냥 내가 나한테 준다고 하면, 그럴 리가 있겠습니까? 그러니까 오히려 공짜가 없다는 전제하에서 확인해야 되는 거죠. 내가 왜 저렇게 나한테 어떤 걸 주려고 하냐? 뭐 어떤 것들이 전제되어 있는 것이냐 곱셈들이 전제가 돼 있는 거죠. 왜요 세상에 공차는 없으니까. 그래서 저희는 요런 얘기들을 요 시간에 계속 할 거고요. 그래서 다음 시간에도 덧셈과 곱셈에 대해서 한번 다시 한번 생각해 보세요. 그래서 어떤 거를 근데 저는 좀 원하냐면 이번에는 구체적인 거를 가지고요. 수학적인 명제를 한번 만들어 보십시오. 
 
명제를 만들어 보라는 의미는 맞고 틀리고를 명료하게 하는 문장을 만드는 뜻입니다. 이거 계속 수학을 하는 건 이 생각의 연장이거든요. 어떠한 내가 관심 있는 대상이 있어요. 구체적인 걸 봐요. 거기서부터 추상화를 어떤 일 더하기 일이라는 게 있어요. 사과 두 개를 가지고 이렇게 생각한다. 그러면 일 더하기 일이냐 이런 것들이 명제에 해당하겠죠. 그쵸. 얘기하다 보니까, 제가 얘기를 많이 한 꼴이 되었는데 이런 식으로 계속 방향을 드리는 거 오늘은 처음 시간이다. 보니까, 어떤 생각의 어떤 길로써 말씀을 드린 것뿐이에요. 그래서 이 질문들을 가지고 들여다보면서 이게 이런 식으로 동작하는 거구나라는 걸 내가 정서적으로 납득을 한 다음에 그다음에 생각해 보면 굉장히 많은 생각들을 하게 되는 거죠. 네 그래서 저는 어제 유튜브 보면서 실만전지하니까 더 갈 거라는 뉴스를 보고 참 저런 기러기들이 따로 없다라는 생각을 했어요. 얼마나 많은 사람들이 저걸 위해 인생을 꼬라 꼴아박을까? 라는 생각이 저는 들더라구요. 
 
그리고 기자를 쓴 사람은 그걸 공짜로 썼을까요라는 생각이 저는 들더라구요. 자 오늘 얘기들 여러 생각들을 이제 해보셨을 텐데 생각들 해보신 것들 자유롭게 나누고 어떤 한 10분 안에 얘기를 마치도록 하겠습니다. 저 괜찮으시면 수학 초보님부터 말씀해 주시면, 감사하겠습니다. 
 
이제 곱셈에 대해서 오늘 굉장히 쫌 새롭게 느껴지는 것들이 있어요. 왜 그게 공짜랑 연결이 되는지도 쫌 새롭게 생각을 해봤고 인제 하지만 어떤 수에 관해서 가치를 논하는 거는 굉장히 오류라고 생각을 해요. 뭐 곱셈을 아무리 열심히 해서 어떻게 됐든지 거기에는 가치 있다. 이렇게 말을 하면 안 될 거 같애요. 제 생각엔 그거는 그냥 우리 생활에서 하는 소리지 수학자가 이거는 같이 있어 이렇게 말해버리면 다 비자명하다 이렇게 저도 같이 말하고 싶어요. 이상입니다. 
 
네 자본주의가 가치 있는 것이냐라고 하면, 당연히 비판적으로 보는 게 맞다고 생각합니다. 어떤 철학적인 의미에서 돈이 최고가 아니라는 가치에 대해서는 저도 공감을 하구요. 근데 그거는 또 다른 의미에서도 가치 영역이죠. 네 말씀하신 바는 저도 공감을 합니다. 또 다른 분들도 말씀 듣겠습니다. 
 
제 물론 제가 그냥 수업 듣고 생각나는 것들은 일단은 우리가 중고 이거 교육을 어렸을 때부터 받아왔었던 그런 교육적인 내용들이 너무 머릿속에 팍 박혀 있으니까. 아주 기본적이고 근원적인 질문을 받았을 때 생각나는 것이 그냥 딱 하나밖에 생각이 안 나는 그런 좀 오류가 좀 있었 있지 않았나 아까 가령 덧셈과 뺄셈으로 곱셈을 나눌 수 있느냐라고 했을 때 저는 정수만 생각을 했는데 정수 아니고 무리수 실수 뭐 여러 가지가 있다라고 생각했을 때 한 함 한 대 얻어맞은 거 같은 쫌 그런 그런 게 있었거든요. 
 
근데 그렇게 제가 왜 생각을 했을까라고 생각했다면, 고 곱셈 구구단 배울 때의 사고 고 정도 수준에서 그냥 고착화된 거 같다는 생각이 쫌 들었구요. 그래서 아주 기본적이고 근원적인 좀 깊은 질문의 내용들을 제가 좀 꿰뚤지 못하고 있다라는 생각을 좀 하게 됐습니다. 
 
네 좋습니다. 이렇게 떠들고 있는 저도 안다고 생각하고 떠드는 거 아닙니다. 잘 모릅니다. 근데 계속 호기심이 닿아 있는 방향대로 내가 이렇게만 틀어도 잘 모르는구나라는 그렇게 보고 있는 것이죠. 그래서 외계어를 배우는 정서와 수학을 배우는 정서가 아니라 이 단순한 거 의미에 있는 함의들을 보는 방식인 거 같고요. 저는 이게 수학에 있어서 그런 정서가 있거든요. 어떤 내가 이렇게 보는 거에 대한 내 정서가 있고 이게 사람과 사람 간의 관계성을 가질 때도 그게 있더라구요. 그러니까 어떤 저희가 아는 바만 나누는 게 아니라, 사실 정서도 교감을 하잖아요. 사람은 다르니까 그래서 이에 어떤 근데 정서를 교감할 때는 상대방의 전제들을 보는 거죠. 상대방은 어떤 걸 소중하게 생각하고 그리고 소중하게 생각하는 거에 대한 관류를 부과하는 방식이 나랑 다르고 근데 이제 상대방을 존중한다는 그런 것들에 대한 존중이 포함이 되지만 근데 그렇다고 모든 걸 다 허용할 수 있는 건 또 아니잖아요. 
 
그래서 이게 어떻게 보면 덧셈과 곱셈이라는 것만 생각해보더라도 또 굉장히 어떤 그니까 재미있으죠 이제 수학적인 생각이라는 게 굉장히 실질적인 어떤 부분들에 있어 저희 사고들을 많이 장악하고 있어요. 사실은 굉장히 중요한 부분입니다. 또 다른 분들도 말씀하실 거 있으시면 되겠습니다. 
 
저는 오늘 좋았던 게 덧셈에 대해서 한번 다시 생각해본 게 되게 좋았어요. 선택에 대해선 저도 생각을 한 번도 못 해봤는데 그거랑 연결해서 생각을 해보니까, 정말 이게 생활 속에서 저희가 뭐 연구하는 수학자는 아니니까 우리가 봐온 내용들을 결국 어떻게 우리 일상으로 끌어와서 동력으로 쓸 수 있는지가 저는 굉장히 중요하다고 생각을 하는데 아까 7만 전자 얘기하실 때 저도 똑같이 생각하고 있었거든요. 근데 그거를 오늘 배운 거랑 연결을 해서 생각을 해보면 결국 중요한 거는 내가 이거를 바라보는 것을 어느 정도까지 내가 이해하려고 하느냐의 범주를 정하려면 그중에 핵심이 무엇인지를 내가 정확히 판단할 수 있어야 된다라는 게 수학적 사고에서 가져올 수 있는 가장 큰 교훈인 것 같아요. 
 
제가 보기에는 그래서 같은 경우는 주식을 볼 때 거래량이랑 그 그 재무제표에 있는 비용 항목들을 굉장히 많이 보는 편인데 이게 맞나 이 생각이 또 들면서 한번 다시 생각을 해봐야겠다. 뭐 이런 생각이 좀 들고 그랬습니다. 
 
네 실제로 재무제표를 포함해서 어떤 주식의 가격에 오르는 그림을 볼 때 이면에 있는 것들을 헤아리는 것들이 다 원하는 거고. 어떻게 보면 결론을 알죠 인간은 알 수 없을 거라는 거 하자 그럼에도 불구하고, 거기서 그렇구나 하고 말 수 있는 게 아닌 점이 어떤 이 자본주의 사회에서 활동하는 데 굉장히 사실 중요한 어떤 부분들이 되죠. 또 다른 분들도 말씀 더 듣고 마무리하고 싶은데요. 혹시 괜찮으시냐 순서로 송혜림 선생님 박지현 선생님 이재혜 선생님 순으로 듣고 오늘 마무리하면 좋을 것 같습니다. 
 
저는 사실 진리표가 엄청 헷갈렸었거든요. 그랬는데 아까 그렇게 찝어서 설명해 주셔서 쫌 그게 그런 뜻이었구나 쪼끔 네 쪼끔이나마 쫌 더 이어가 이해가 되는 거 같구요. 그 명제화시키는 게 제가 되게 어려워하는 부분이거든요. 사실은 그래서 지금 벌써부터 고민돼요. 제가 내 생활에서 뭘 명제로 삼을 수 있을까? 되게 많이 생각을 해봐야 될 것 같다는 네 그런 말을 남기고 싶네요. 
 
네 좋습니다. 네 그다음에 박지 선생님 
 
저는 아까 전 처음으로 다 이해가 되는 그래도 어느 정도 수업이었던 것 같아 가지고. 좀 좋았는데 네 아까 그런 식으로 왜 저희가 배우는 수학 되게 어려운 것들 많이 배우는데 왜 그런 식으로 파생될 수밖에 없었나 이런 거에 대한 궁금증이 있었는데, 뭔가 이런 식으로 하나하나 덧셈 곱셈 그런 것부터 기초 정의부터 이케 따라 올라가다 보면 그런 좀 궁금증이 해소되지 않을까? 이런 생각이 아까 들었어 가지고 좀 되게 좀 좋게 느껴졌던 것 같습니다. 
 
혹시나 우야시카가 얘기를 하면 저도 이 내용들을 저희가 기초적으로 이걸 영어로 말하면 엘레멘트리하게 얘기를 하는 건데 저는 초등학생들을 가르치고 싶지 않거든요. 초등학생 가르치기 제일 어려워요 왜냐하면, 가장 근원과 다 있어야 되거든요. 그니까 기초적인 거를 오히려 가르치는 건 오히려 훨씬 어렵습니다. 여러 의미에서 오히려 여러 가지 이제 외계어로 떠드는 게 어떤 의미에서 훨씬 더 편하죠. 어떤 도구들이 장착이 되어지면 그래서 오히려 이 근원에서부터 저희가 지금 보는 외교가 어떻게 연결이 되는지를 보게 되면 내가 지금 보는 어떤 이제 공부나 이런 것들도 완전히 견지가 달라질 거라는 거를 사실은 알 수가 있고요. 그리고 더 나아가서 실제로 예를 들어, 예를 들어, 이제 젊은 분들 입장에서 코딩이나 이런 어떤 실무에서 엑셀을 쓰거나 이런 것들을 다 결국 더욱 우파고가 다 하라구요. 이거 그냥 어떻게 재석하는지가 사실 전부예요. 그래서 요것들에 대한 관점들은 결코 기초적이지 않습니다. 
 
저희 쉬운 얘기들 뻔한 얘기들 나눌려고 2시간 만든 게 아니고 이 기본적인 걸로부터 어떻게 너무나 자연스럽게 연결될 수밖에 없는 것들 그리고 거기서 생각의 자이도가 굉장히 높다라는 것들을 각자가 보게 하고자 하는 게 이 수업의 어떤 중요한 목적입니다. 다음에 이혜진 선생님 말씀 듣고 오늘 마무리하겠습니다. 
 
네 주문은 아까 첫 첫번째 질문에서 참 당연히 참인데 라고 생각했던 삶이 있어 네 오늘 수업을 통해서 수학적 사고가 없던 거고. 제가 어떤 거고. 근원으로 타고 올라가는 사고를 하는 것을 배우고 싶어서 사실 이 자리에 온 것도 있는데, 네 부분을 아직은 좀 확 와닿으면서 해나 같이 나가지는 않았지만 내가 이런 사고를 연습하는 시간이 되겠다. 이 왕 함수가 그런 확신을 더 가지게 됐던 시간이었던 것 같습니다. 
 
네 좋습니다. 다음 시간에 숙제를 다시 드리겠습니다. 안 되셔도 괜찮아요. 어떤 연습을 해 보시냐면 그냥 일상 살면서 숫자 아마 생각하고 계실 거예요. 그냥 내가 신경 쓰는 수 숫자가 어떤 덧셈과 곱셈의 과정으로 나오는지를 한번 헤아려 보시구요. 그리고 그것들에서 내가 이미 정답이라고 기정사실화하고 있는 방식이 있을 거예요. 실제로 정당화를 한 적은 없지만, 뭐 당연히 없이 움직이는 거지 당연히라고 했던 거에 대해서 내가 실제로 이것들을 명제로 만들면 옳고 그름으로써 어떻게 명제로 만들 수가 있느냐 라는 거를 한번 시도해 보시길 바랍니다. 그리고 그것들을 시도한 것들을 다음 시간에 또 나누고 거기서 또 한 발자국 가는 거를 얘기하도록 하겠습니다. 오늘 얘기해서 여기서 마무리하도록 하겠습니다.