수학적으로 맞는 말을 한다는 것의 의미

다음의 글은 유튜브 채널 '수학의 즐거움, Enjoying Math'의 매주 월요일 수업 왕초보 엄마의 수학교실의 두번째 수학 수업에서 일부 내용의 핵심을 축약한 것입니다. 자세한 디스커션을 살펴보고자 하시면 해당 영상을 채널에서 확인하실 수 있습니다. 

 

저희는 초등학교 때 사과 한 개와 사과 한 개를 양 손에 들고 있는 것을 '1+1=2'로 '추상화' 하자고 배웠습니다. 그러면 '1+1=2' 라는 추상적인 문장은 더이상 사과의 갯수에만 국한 되어서 적용되지 않고 수많은 예시들을 품는 문장이 됩니다. 이는 구체적인 예시에서 일반적인 개념을 도출하는 방식 입니다. 수학적으로 생각해보기 위해 첫 번째로 해야 할 일은 수학적으로 명확한 개념보다는 나에게 와닿는 구체적인 예시를 통해 생각하는 것입니다. 수학 하는 사람들은 이런 사고 방식을 대수적 사고 방식이라고도 말합니다. 대수라는 용어는 대신할 때 숫자를 대체하는 것을 지칭하며, 예를 들어 x와 y에 대해 덧셈과 곱셈을 수행하는 것을 대수학(Algebra) 이라고 합니다. 중학교 때부터 이미 우리는 x를 도입하여 덧셈과 곱셈을 수행하고, 이차방정식을 해결하는 등의 과정에서 이러한 사고 방식을 자연스럽게 갖고 있었습니다. 그래서 하나는 수학적인 생각을 할 때, 나의 관심 대상으로부터 출발하여 단순하고 명확한 예시를 통해 관찰하는 방식을 적용하는 것입니다. 다만 더 나아가서, 구체적인 것을 관찰한 후에 그만두는 것은 충분하지 않습니다. 수학은 결국 문장을 수학적인 명제로 만들어야 한다는 것을 의미합니다. 이는 문장을 참, 거짓 또는 흑백으로 명확하게 나타내야 한다는 의미입니다. 수학에서는 모호하거나 다양한 해석이 가능한 문장을 원하지 않고, 명료하게 참 또는 거짓으로 해석할 수 있는 문장을 원합니다. 따라서 관찰을 통해 만들어낸 출력은 이러한 문장을 표현하는 것입니다. 그러나 여기서  말하는 '문장'은 옳은 문장인 여부가 아니라, 참과 거짓이 명확한 문장을 의미합니다.

 

그래서 코에 걸면 코걸이, 귀에 걸면 귀걸이를 원하는 게 아니에요. 예를 들어, 수학 초보님께서 말씀해 주신 것과 같이 숫자의 덧셈과 행렬의 곱셈은 전혀 다른 것이라는 문장이 전형적인 수학적인 명제에 해당하는 예시가 되는 거예요. 그래서 곱셈에 대해 생각해보면, 이것은 답이 정해져 있는 것이죠. 그러니까 알고 모르고는 다음 문제일 뿐입니다. 어떤 것들을 수학적으로 만들어야 하는 문장이 되어, 이게 진짜로 같은 건지 다른 건지를 판단하기 위해서는 같은 근거를 대야 합니다. 일반적으로는 이를 "맞으면 증명하라"라고 표현하지만, 수학에서는 모든 문장이 맞는 문장들만을 다룹니다. 이렇게 말씀드리는 문장은 옳은 문장이라는 의미가 아니라, 옳고 그르기가 명료한 문장이라는 의미입니다. 그리고 다시 반복해서, 구체적인 것을 관찰한 다음에 이에 대한 일반적인 문장을 수학적으로 명제로 만들어야 한다는 것은, 이 문장이 참이냐 거짓이냐를 흑백으로서 명료하게 제시 가능한 형태로 만들어야 함을 내포합니다. 괜찮으신가요? 

 

그런데 맞는 문장들만 쓰는 이유는, 틀린 문장을 쓰면 의미가 없어지기 때문입니다. 예를 들어, 초등학생 정도 되는 아이가 공부를 안 하고 싶은데 공부를 시키고 싶다고 할 때, 어떻게 해야 할까요? 보상으로 꿰잡습니다. 이런 문장에서 "이거 하면 이거 해줄게"라는 문장은 수학에서 전형적으로 쓰이는 수학적인 문장입니다. 핵심은 무엇인가요? '이거 안 하면' 내가 어떻게 하든 나는 거짓말을 한 적이 없다는 것입니다. 이러한 문장을 활용하는 단적인 예로, 가령 엄마가 아들에게 "너가 100점을 받으면 게임기를 사줄게, 너가 이거 하면 이거 해줄게"라는 문장에서 100점을 받았어요. 그런데 엄마가 마음을 바꿔서 이번 시험 말고 다음 시험까지 100점 맞으면 게임기를 사줄게라고 하면, 아이는 난리가 나겠죠. 즉,  문장이 거짓을 말했다는 뜻입니다. 그러니까 아이는 주장할 수 있어요. "왜 약속을 안 지키냐" 고요. 그런데 만약 100점을 못 받았어요. 사실 이것도 엄마의 계획 중의 하나죠. 게임기를 사주지 않아도 되니까요. 가령 99점 정도 받았어요. 다음에 사줄게 100점 받아와 라고 말해도 아이는 약속을 못 지켰다고 클레임할 수 없습니다. 비록 억울하겠지만요. 기준을 정하고, 이 기준을 통과하지 않으면 안 되는 그런 요소들이 분명히 존재합니다. 

 

그런데 재미 있는 점은 이러한 상황이 발생할 때 입니다. 가령 아이가 백점을 못 받았습니다. 하지만 엄마가 봤을 때, 아이가 충분히 노력을 한 것 같아서 게임기를 사주었어요. 그러면 아이는 화를 낼 수 없으며, "왜 약속을 안 지켰냐"라고 할 수 없습니다. 왜냐하면 엄마는 거짓말한 적이 없기 때문입니다. 엄마가 약속한 것은 어디까지였나요? "100점을 받으면 게임기를 사줄게"였지, "100점을 받지 못할 때 게임기를 안 사준다"는 뜻은 아니었거든요. 이게 정말로 미묘하게 이해되시나요? 공감하시나요? 화를 낼 수 있나요? 우리가 친구들과 대화할 때, "이거 하면 이거 해줄게"라고 했는데, 그 결과가 이루어지지 않았을 때, 내가 이걸 해줬어요. 그건 내 마음입니다. 그러니까 적어도 친구 입장에서 "왜 약속을 안 지키네"라고 할 수 없습니다. 동의하시나요? 그래서 지금 말한 것을 다시 멋지게 말하자면, 가정이 거짓이 되어버려요. 100점을 못 받았잖아요. 그래서 결론은 어떻든 문장은 깨지지 않아요. 이것을 이해하셨나요? 그래서 우리가 수학적인 문장을 만들 때, 가정이 거짓이면 결론은 어떻게 되든 문장은 참입니다.

 

만약에 가정이 충족되지 않았어요. 100점을 못 받았어요. 그래서 게임기를 안 사줬어요. OK죠, 100점을 받았어요. 게임기를 안 사줬어요. 이때는 트러블이 생깁니다. 약속을 지키지 않았으니까요. 그런데 100점을 못 받았다. 즉, 가정이 깨졌어요. 그러면 결론은 게임기를 사줘야 되는 겁니까? 안 사줘야 되는 겁니까? 이때는 아무래도 상관없는 거예요. 왜냐하면, 조건이 충족되지 않았으니까. 그래서 보통 문장은 많은 경우에 수학적인 문장들은 그냥 "이거다"가 아니라 "이거일 때, 즉 어떤 근거하에서 이거일 때 이거다"라는 형식을 취할 경우들이 굉장히 많아요. 꼭 그래야 되는 것은 아니지만, 동의하시나요? 그리고 여기서 굉장히 재미있는 부분은 가정이 성립하지 않으면 문장은 언제나 옳습니다. 동의하시나요? 그러면 가정이 깨졌다고 가정을 하겠습니다. 그러면 문장 자체는 언제나 참이 됩니다. 

 

그러면 예를 들어, 저희가 삼단논법을 알잖아요. 근데 한 문장이 거짓이라고 해 보세요. 즉, 어떤 시점에서 가정이 거짓이 되었어요. 그러면 나머지 문장들은  읽을 필요도 없는 거예요. 가정이 깨진 시점에서는 나머지 내용은 알 바 아니게 거짓된 가정 이하의 전체 내용이 참이 되기 때문입니다. 동의하시나요? 이게 사람들이 해리포터를 읽을 때 화나지 않는 이유입니다. 글은 처음부터 '거짓' (false) 이었거든요. 하지만 작가는 거짓말 한 적이 없어요. 공상소설이 왜 우리가 거짓말로 인식하지 않느냐 처음부터 가정이 뻥이거든요. 볼드모트가 부활해서 해리포터와 싸우든 어떤 얘기를 하더라도 상관이 없는 겁니다. 즉, 저희가 공상소설을 쓸 수가 있는 거예요. 하지만 이거는 저희가 어떤 진리로서 받아들인다는게 아니며 단지 문장이 결과적으로 거짓이 아니라는 거를 동의할 뿐인 거죠. 그래서 이 지금 구조를 보면, 저희가 수학적인 명제들을 기술할 때 문장이 단 하나가 틀리는 순간 나머지는 읽을 필요가 없어지게 돼요. 그래서 수학적 진리라는 것은 100프로 맞거나 안 맞거나 둘 중 하나밖에 없습니다. 그리고 그렇기 때문에 각 문장들을 만들 때 맞고 틀리고에 있어 타협은 불가능한 게 기본적인 수학적 사고 방식이에요. 왜냐하면, 하나가 어그러지는 순간 나머지 문장들의 참 거짓은 아무래도 상관 없기 때문입니다.