덧셈과 곱셈에 대해 파고들어서 사유해보기

다음 글은 유튜브 채널 수학의 즐거움, Enjoying Math에서 왕초보 엄마의 수학교실의 세번째 시간에 나눈 대화의 핵심을 정리한 것입니다. 자세한 질의응답 및 디스커션 들은 해당 영상에서 확인하실 수 있습니다.

 

저희가 보통 연산이라고 하면 대개 사칙연산으로 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 떠올리곤 합니다. 그러나 생각해보시면 뺼셈은 덧셈으로부터, 나눗셈 또한 곱셈으로부터 파생되기에 실질적으로는 주로 덧셈과 곱셈에 집중하고 있습니다. 그렇다면 이에 대해 더 파고들어서 먼저는 덧셈과 뺄셈의 차이점에 초점을 맞춰볼까요? 사실 이 질문은 당연한 질문은 아닙니다. 결론적으로 말씀드려서 우리가 비록 편의상 사칙연산이라고 부르지만, 엄밀히 말하면 덧셈과 곱셈만 연산에 해당하며 뺄셈과 나눗셈은 수학적으로 연산으로 간주되지 않습니다. 이번 이야기는 이 차이점에 대해 초점을 맞추어보는 것부터 시작해보려 합니다.

 

그러면 제가 질문을 이렇게 해 보겠습니다. 만약에 1부터 2, 3까지 쭉 더해서 100까지 더하면 답이 5050에요. 이 값을 어떻게 계산하셨는지를 염두에 두시면서 반면에 1부터 100까지 빼면 얼마가 나오는지 아시겠나요? 아마 몇 분은 암산하실 수도 있을 수도 있으시겠지만, 덧셈에 비해 쉽지 않죠. 그리고 이 계산하는 과정에서 덧셈과 뺼셈이 어딘가 서로 다르다는 거를 볼 수가 있어요.

 

질문자.

뭔가 기준이 될 수가 없어져서.

 

1부터 10까지 더할 때는 어떻게 하셨나요? 첫 번째 수와 맨 마지막 수를 먼저 더하고, 그 다음에 두 번째 수랑 끝에서 두 번째 수 그 다음에 더하고 이런 식으로 생각하셨죠. 반면에 이러한 방식이 뺄셈에서는 적용이 안 되죠. 저희가 이거를 중학교 때는 어떻게 배웠냐면 빼기를 할 때는 언제나 괄호를 집어넣었는데, 이것은 순서를 신경 써야 되기 때문이에요. 그래서 1-2-3 이라고 말할려면 어떻게 저희가 약속을 해야 되냐면 1과 2를 먼저 빼고 그 다음에 3을 뺀다라고 순서를 저희가 정한 거죠. 그리고 여기서 순서를 바꾸면 답이 달라지죠 예를 들어, 3과 1을 먼저 뺀 다음에 2를 빼면 다른 게 나올 거예요. 즉 기준이라고 말씀하셨던 것은 실제로 순서에 대한 이야기 였던 겁니다. 어떤 걸 먼저 계산할지 아니면 나중에 계산하느냐가 덧셈의 경우에는 상관이 없는 반면에 뺄셈은 분명하게 상관이 있어요. 그래서 일부터 십까지 더할 때는 일과 이를 굳이 먼저 더하지 않아도 됐어요. 일과 십을 더했어도 됐어요. 근데 반면에 일부터 십까지 뺄 때는 순서를 바꾸면 안 돼요. 즉, 덧셈과 뺄셈의 가장 근본적인 차이는 계산 순서를 따져야 하는지 아닌지의 차이 입니다. 

 

중학교 때  뺄셈을 배울 때 괄호 쓰는 법을 중요하다고 강조했어요. 왜냐하면 뺄셈의 경우 순서를 고려하지 않으면 올바른 결과가 나오지 않을 수 있기 때문이에요. 그래서 괄호가 중요하다고 말한 거죠. 하지만 덧셈에서는 괄호를 쓸 필요가 없어요. 덧셈은 어떤 순서로 계산하더라도 결과값이 동일해야 한다는 특성이 있어요. 이를 수학적으로는 결합 법칙이라고 부르는데, 덧셈은 결합 법칙이 성립합니다. 즉, 덧셈에서는 연산 순서에 상관이 없습니다.

반면에 뺄셈은 결합 법칙이 성립하지 않습니다. 예를 들어, A - B - C를 A - (B - C)로 바꿀 수 없다는 것이죠. 따라서 뺄셈에서는 연산 순서에 의존성이 있습니다. 수학적으로 연산을 정의할 때는 연산 순서에 관계없이 결합 법칙이 성립하는지 여부를 필요조건으로 두는데, 이를 고려하여 뺄셈은 엄밀히 말하면 연산이 아닙니다. 사실 뺄셈은 덧셈에서 파생된 개념으로 음수를 더함으로써 나타낼 수 있습니다. 따라서 사칙연산이라는 표현은 정확하지 않습니다. 뺄셈은 덧셈에서 파생되는 것이라고 말할 수 있습니다.

 

지금까지 본 구체적인 관찰들을 수학적인 명제로 설명하면, 덧셈과 곱셈은 결합 법칙이 성립한다는 것입니다. 그러나 뺄셈과 나눗셈은 결합 법칙이 성립하지 않으므로 이들은 연산으로 간주되지 않습니다. 이는 덧셈과 곱셈으로부터 파생되는 개념으로 이해할 수 있습니다. 여기까지 말씀드린 내용에 관련하여 질문이나 코멘트가 있으시면 듣겠습니다.

 

질문자. 

결합 법칙과 분배 법칙은 어떻게 다른가요?

 

아주 좋은 질문입니다. 지금까지는 덧셈과 곱셈의 공통점인 결합 법칙에 대해 말씀드렸을 뿐입니다. 그러나 이 과정에서 덧셈과 곱셈을 동시에 고려하고 있는 것은 아니며 단 하나의 연산에 대해 생각하고 있었습니다. 덧셈이라면 덧셈에 대한 결합 법칙을, 곱셈이라면 곱셈에 대한 결합 법칙을 각각 생각했던 것이죠. 그런데 우리가 친숙하게 사용하는 분배 법칙에 대해서도 살펴보면 (a + b) * c는 a * c + b * c로 분배된다는 것이죠. 이것은 연산이 총 두 개를 고려하고 두 연산이 서로 호환성이 있다는 것입니다. 그래서 분배 법칙은 교환법칙과는 다른 이야기가 되는 거죠. 연산을 두 개를 고려하고 연산 간의 호환성을 고려하는 것을 의미 합니다. 

 

지금까지 덧셈과 곱셈을 얘기하고 있고 적어도 결합법칙, 연산 순서에 무관한 점이 공통점이라는 점에서는 이해가 가는 것 같아요. 그리고 여기서 그렇구나 해서 끝낼 수도 있지만 여기서 좀더 파고들어보고 싶습니다. 조금 다른 의미에서 좀 불편한 점이 그럼 뺄셈과 나눗셈은 좀 어쨌든 덧셈 및 곱셈과 다르다는 거잖아요. 그래서 이에 대해서 더 파고들어보고 싶어요. 지금까지 우리들이 사칙연산이라는 말을 굉장히 사용해왔는데, 이 단어가 이제 새로운 인지 가운데 조금 불편하게 여겨지신다면 뒤집어서 이렇게 물어보고 싶습니다. 그러면 뺄셈은 도대체 무엇인가요? 연산은 아닙니다. 보통은 연산을 정의할 때 레퍼런스에 따라서 조금씩 차이가 있긴 하지만 결합 법칙이 성립하는 연산을 보통 연산이라고 정의합니다. 물론 예외가 있어요. 예외가 있지만 그래서 꼭 비교적 엄격하게 설명하는 것만은 아닙니다 (추가설명 : 물리학 및 기하학에서 흔히 쓰이는 리대수 연산은 통상적으로 곱셈으로서 간주되나 이는 결합법칙이 성립하지 않는 예외적인 연산입니다). 그리고 똑같은  질문으로서 그러면 나눗셈은 무엇인가요? 

 

우리가 아주 오래 전에 어린 시절에 배웠던 방식으로 먼저 우리가 뭐를 제일 먼저 배웠냐면 자연수를 제일 먼저 배웠어요. 1, 2, 3, “…”, 자연수를 제일 먼저 배우고 자연수에 덧셈을 해주면 가령 2+2=4처럼 두 자연수를 더해도 자연수가 보장이 됩니다. 그리고 이 다음에 정수를 추가적으로 배웠습니다. 자연수랑 정수의 차이는 음과 양의 정수를 포함시키는 데 있죠. 이걸 왜 넣었어야 됐나요? 바로 뺄셈을 하기 위해서죠 그리고 여기에서 ‘0’이라고 하는 수는 뭐냐면 ‘기준’에 대한 거죠. 아까 '기준'이라는 단어가 질문에 있었어요. 물론 연산 순서에 대한 기준의 필요에 대해 말씀하셨지만, 바로 ‘0’이 덧셈이라는 연산에 대한 기준으로서 역할을 하는 거예요. 빼기를 할 때 기준을 만들기 위해서 존재하는 수인 거죠. 동의하시나요? 그리고 음수라고 하는 건 ‘0’과의 관계성에서 만들어지죠. 그걸 다시 한 번 적어보면, ‘a’와 ‘-a’를 더하면 0이 된다. 이 관찰을 놓고 본다면, 영이라고 하는 거는 기준이죠. 그리고 음수란 영이라는 기준을 토대로 정의를 하고 있는 거죠. 가령 거울을 바라보는 것처럼 0이라는 기준이 있고 a라는 숫자가 있으면 -a라는 걸 배치시킨 것입니다. 그리고 이때의 기준인 ‘0’을 대수학(algebra)에서는 덧셈에 대한 ‘항등원’이라고 부릅니다. 지금까지 살펴본 것과 같이 뺄셈은 덧셈의 보완해주는 역할로 덧셈만으로는 얻을 수 없는 개념을 기준인 ‘0’ 및 뺄셈을 통해 확장할 수 있고 이로부터 자연수 집합이 정수 집합으로 확장 됩니다. 뺄셈은 덧셈을 기반으로 하여 확장된 것으로 볼 수 있습니다. 그렇다면 나눗셈에도 비슷한 관찰이 있을까요? 

 

나눗셈은 항등원이 1이 되면 될 것 같습니다. 자연수와 정수에 대해 관찰하면, 덧셈의 항등원인 영과 달리, 곱셈의 기준인 1은 자연수와 정수 모두에 적용됩니다. 임의의 두 정수를 곱하면 반드시 정수가 되는 것도 자연수의 덧셈과 유사합니다. 따라서 나눗셈도 이러한 관찰을 바탕으로 정의될 수 있을 것입니다. 나눗셈은 소위 "분수" 또는 "유리수"를 도입하여 역수의 개념을 적용하면 됩니다. 정수에 나눗셈을 추가하여 분수 또는 유리수를 만들어냅니다. 이를 통해 나눗셈의 기준으로써 역수가 사용될 수 있게 됩니다. 이러한 관찰을 통해 왜 영과 일이 자연스럽게 도입되는지 알 수 있습니다. 즉, 뺄셈과 나눗셈은 수체계를 확장하여 잘 정의되도록 만들어진 연산으로 볼 수 있습니다. 그러나 다른 한편으로는 덧셈과 곱셈은 다른 연산으로 간주해서 생각하는 것도 사실입니다. 덧셈을 뺄셈으로 확장하기 위해서는 ‘0’을 도입하여 ‘a’와 ‘-a’를 더하여 ‘0’이 됩니다. 또한, 곱셈을 기준으로 보면 ‘a’와 역수인 ‘1/a’을 곱해주면 ‘1’이 되는 점에서 나누기라는 개념 또한 도입되었습니다. A로 나눈다는 말은 실상 ‘1’이라는 기준을 토대로 역수라는 개념을 도입하여 곱하면 되는 것이죠. 이런 점에서 현재로서는 덧셈과 곱셈을 각각 뺼셈과 나눗셈으로 확장해나가는 사고방식이 유사한데, 여기서 더 들어가서 탐구해볼 수 있을까요?

 

지금 다루는 생각의 방식을 수학에서는 대개 ‘대수적인 사고’라고 부르는데, 이는 주어진 숫자 뿐만 아니라 문자에 대해 일반적으로 연산을 어떻게 해나갈지에 대한 이야기를 대수학 이라고 합니다. 지금 머릿 속으로 한창 덧셈과 곱셈을 비교하며 생각하고 계실 텐데, 한가지 관찰을 공유해보고 싶습니다. 예를 들어, ‘a’와 ‘1’를 곱하면 ‘a’입니다. 이는 얼핏 보면 너무나 당연한 사실이지만 우리는 이를 다르게 해석하여 ‘a’ 한 번 곱한 것으로 해석해서 ‘a^1=a’라 표현했고, 여기서 a의 위에 붙힌 ‘1’을 ‘a’의 차수 (power) 라고 부르는 것을 보신 적이 있습니다. 가령 a^1xa^1=a^2과 같이 두 ‘차수’ 1과 1을 ‘더해서’ 새로운 차수 2가 된 것으로 해석하고 있습니다. 실상 우리가 수행한 연산은 곱셈 인데 실제로 계산하는 방식은 덧셈을 사용하고 있습니다. 어딘가 묘하지 않으신가요? 비록 곱셈으로 계산 할 수도 있지만, 실상 계산의 방식으로는 덧셈으로 생각하고 있습니다. 분명히 덧셈은 덧셈이고 곱셈은 곱셈으로 둘은 다른 연산 인데도요. 둘간의 어떤 관계가 있다고 해야 할까요. ‘2^2x2^3=2^5’가 됩니다. 곱셈을 하고 있는 것을 덧셈으로 바꿔서 보고있음을 인지하실 수 있으실 겁니다.

 

그러면 여기서 좀더 나아가서 덧셈과 곱셈이 맺고있는 관계를 좀 더 살펴보고 싶어요. 위의 차수에 대해 좀더 살펴보시면 양수 ‘a’에 대하여 a^0=1 이고, a^{-1}=1/a 임을 볼 수 있습니다. 이상한 일이 생긴 것 같아요. 아까 말한 것을 다시 설명하겠습니다. ‘0’은 덧셈의 항등원이고 ‘1’은 곱셈의 항등원입니다. 맞죠? ‘a^0=1’은  덧셈의 항등원인 0이 곱셈의 항등원인 1로 바뀌었다는 의미입니다. 덧셈의 기준이 곱셈의 기준으로 바뀐 상황인 것이죠. 맞나요? 혹시 a^{-1}=1/a이 지칭하는 바가,덧셈의 항등원인 0을 기준으로 만들어진 음수가, 곱셈의 항등원인 1을 기준으로 하는 역수 1/a 가 됨을 의미함이 보이ㅅ나요? 즉, 덧셈과 곱셈이 서로 호환이 되고있음을 알려줍니다. 

이 관계를 대개 지수법칙이라고 부릅니다. 이 관찰의 이면에는 어떤 것이 있는가요? 덧셈과 곱셈이 사실은 굉장히 신기하게 연결되어 있다는 것을 가르쳐줍니다. 이를 음미해보면, 덧셈과 곱셈은 어떻게 보면 서로 별개이고  상관이 없는 것 같지만, 두 연산을 하는 방식이 서로 굉장히 긴밀하게 관련되어 있다는 것을 보여주고 있습니다.

 

이러 관찰들은 덧셈과 곱셈이라는 두 연산이 신기한 방식으로 관계를 맺고 있다는 것을 보여줍니다. 대개 덧셈은 덧셈이고 곱셈은 곱셈 이며 서로 다른 것 정도로 치부 됩니다. 수학적으로, 예를 들어 유리수라고 하면, 덧셈을 가지고 곱셈을 만들 수 없다는 것을 알고 있습니다. 그러나 이게 뭔가 안에서 기묘하게 연결되어 있고, 우리는 수를 다루는 사고 방식에서 이러한 관계들을 인지하지 못하는 중에 굉장히 많이 사용하고 있다는 것입니다. 이러한 관찰을 통해 우리가 실제로 이러한 방식으로 생각하고 있는 것들이 많다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 이 수업에서는 이러한 사고 방식을 어떻게 실제로 활용하는지 살펴볼 것입니다. 다음 시간의 숙제는 오늘 다룬 관찰들에 대해 한차례 생각해보고 어떻게 느끼셨는지 공유하는 것이며, 다음 내용은 이번 시간에 대화한 내용들을 다시금 새롭게 추상화 하여 논의할 예정입니다.