20. 추상대수학 (a) 순환군의 분류

다음 포스팅은 https://youtu.be/1yQ52OSB_Cc 의 영상에서 작성한 노트의 핵심을 정리한 것입니다. 여러 오탈자 및 수정 사항들이 있을 수 있습니다. 노트 내용에 대한 디테일한 설명들은 영상을 참고하시길 바랍니다. 

Recall that any group $G$, take any $x \in G$.

Span $(\{x\})$:=$\cap H=\{x^{n}|n\in Z\}$ called the cyclic group generated by $x$, denoted by $<x>$. 


e.g) $\begin{aligned}
& (\mathbb{Z},+)=\langle 1\rangle=\langle-1\rangle . \\\end{aligned}$
                        $\begin{aligned}&\{[0], \cdots,[n-1]\} \\\end{aligned}$

$\begin{aligned}& \text { e.g) }(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z},+)=\langle[1]\rangle\end{aligned}$

$\begin{aligned}{[a]+[b]=[a+b] }\end{aligned}$

$\begin{aligned}& +\begin{array}{l}x=n q_{0}+a . \\y=n q_{1}+b\end{array} \\\end{aligned}$
$\begin{aligned}& x+y=n\left(q_{0}+q_{1}\right)+a+b\end{aligned}$

Q. Classify all cyclic groups upto group isomorphisms.

Ans. $\mathbb{Z}, \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}$.



Proposition 1. Given a group $G$, tare any $x \in G$.

Then $\langle x\rangle$ is either isomorphic to $(Z,+)$

or isomorphic to $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z},+)$for some $n \in \mathbb{N}$. 

Proof. Note that there are possibilities:


Case(1) there is no $ i=j, i, j \in \mathbb{Z}$ s.t  $x^i=x^j$
Case(2) there exists $\neq i=j, i, j \in \mathbb{Z}$ s.t $x^i=x^j$

In Case 1,

$
\text { define } \begin{aligned}
\Phi:\langle x\rangle & \longrightarrow \mathbb{Z} . \\
x^{n} & \longrightarrow n .
\end{aligned}
$


By the assumption of (1), $\Phi$ is well-defined
$i.e,\text {if } x^{n}=x^{m} \Rightarrow n=m) $

Claim: $\Phi$ is a group isomorphism.

Homomorphism)

$\begin{aligned}
& \Phi\left(x^{n} * x^{m}\right)=\Phi\left(x^{n}\right)+\Phi\left(x^{m}\right) \\& \Phi\left(x^{n+m}\right)=n+m\end{aligned}$

$1-1)$ If $x^{n} \neq x^{m}$, then $n \neq m$.

$i.e, \Phi\left(x^{n}\right) \neq \Phi\left(\mathrm{x}^{m}\right)$

onto) Take any $n \in \mathbb{Z}$. Then $\Phi\left(x^{-n}\right)=n$. (v)

Thus $\langle x\rangle \simeq \mathbb{Z}$ in $\operatorname{case}1$

In case (2), $\exists i \neq i$, $i,j \in \mathbb{Z}$ such that $x^{i}=x^{j}$. 

$\begin{aligned}
\Leftrightarrow & \text { We may assume } i>j . \\
& x^{i} \cdot\left(x^{j}\right)^{-1}=e . \\
\Leftrightarrow & x^{i-j}=e, i-j \in \mathbb{N}
\end{aligned}$

Let $S=\left\{n \in \mathbb{N} \mid x^{n}=e\right\}$. Then $S \neq \varnothing$

By well-ordering principle, $\exists n_{0}=$ min ${S}$


Define $\begin{aligned}
\varphi:\langle x\rangle & \longrightarrow \mathbb{Z} / n_{0} \mathbb{Z} . \\
x^{n} & \longrightarrow[n]
\end{aligned}$


If $x^{n}=x^{m}$, then $\varphi\left(x^{n}\right) \stackrel{?}{=} \varphi\left(x^{m}\right)$
$[n]=[m] \Leftrightarrow n-m=n_{0}-k \text {. }$
$x^{n-m}=e,$

Then $n-m=n_{0} \cdot k+l, l \neq 0 . \quad l<{n_0}$

Then $x^{n-m}=x^{n_{0} k+l}=x^{n_{0} k} \cdot x^{l}=x^{l}$



Thus $n-m=n_{0} \cdot K \cdot(V)$

Therefore, $\varphi$ is well-defined.

Claim: $\varphi$ is a group isomorphism.

Homomorphism) $\forall n, m \in \mathbb{Z}$,

$\begin{aligned}& \varphi\left(x^{n} * x^{m}\right)=\varphi\left(x^{n}\right)+\varphi\left(x^{m}\right) \\
& \varphi\left(x^{n+a}\right) \\& {[n+m]=[n]+[m]}\end{aligned}$

1-1)  If $\varphi\left(x^{n}\right)=\varphi\left(x^{m}\right)$ i.e, $[n]=[m]$

$\Rightarrow n \in[M], \exists l_{0} \in \mathbb{Z}$ s.t $n=n_{0} l_{0}+m$.

$\Leftrightarrow n-m=n_{0} l_{0} . \quad n=m+n_{0} l_{0}$.

$
\Rightarrow x^{n}=x^{m+n d l_{0}}=x^{m} \cdot\left(x^{n_0}\right)^{l_{0}}=x^{m} .
$

Onto) Take any $[n] \in \mathbb{Z}$ /$n_{0}z$
$\varphi\left(x^{n}\right)=[n]$

Proposition 2. Let $G=\langle x\rangle, x \in G$.

If $H \leq G$, then $\mathrm{H}$ is cyclic

(i.e, the sub gp of a cyclic gp is cyclic)

proof. $\left.S=n\in \mathbb{N} \mid x^{n} \in H\right\} \neq \varnothing$.

by w.o, $\exists \min S=$ : $m_0$

claim: $H=\left\langle x^{m_{0}}\right\rangle\left(=\left(x^{m_{0}}\right)^{k} / k \in Z\right)$

$
⊇: x^{m_{0}} \in H \Rightarrow\left(x^{m_{0}}\right)^{k} \in H, \forall K \in \mathbb{Z}
$

since $H$ is a gp 

reverse inclusion: let $x^{n} \in H$, for some $n \in \mathbb{Z}$. 

Then by the division algorithm,

$
\begin{aligned}
& \exists q \in \mathbb{Z}, r \in\left\{0, \cdots, m_{0}-1\right\} \\
& \text { s.t } n=m_{0} q+r, r=n-m_{0} q .
\end{aligned}
$

Then $x^{r}=x^{n-m_{0} q}=x^{n} *\left(\left(x^{m0}\right)^{q}\right)^{-1} \in H$.

$\text { i.e, } x^{r} \in H, r \leq m_{0}-1< m_{0}$

 unless $r=0$.

$
\begin{gathered}
\Rightarrow x^{n}=x^{m_{0q}+r}=x^{m_{0} q}=\left(x^{m_{0}}\right)^q \\
i.e., x^{n} \in\left(x^{m_{0}}\right)
\end{gathered}
$