19. 선형대수학에서 추상대수학으로 (b) 대수적 구조를 보존하는 함수

다음 포스팅은 https://youtu.be/9TtGaY5COlg 의 영상에서 작성한 노트의 핵심을 정리한 것입니다. 여러 오탈자 및 수정 사항들이 있을 수 있습니다. 노트 내용에 대한 디테일한 설명들은 영상을 참고하시길 바랍니다. 

Recall that $(\mathbb{R},+),\left(\mathbb{R}_{>0}, X\right)$ are groups.
                                      
Let $\exp :(\mathbb{R}, +) \longrightarrow\left(\mathbb{R}_{>0}, X\right)$
                          $x \longmapsto e^{x}=\exp (x)$

Then we know

$\begin{aligned}
& \exp (x+y)=e^{x+y}=e^{x} \times e^{{y}}=\exp (x) \times \exp (y) \\
& \exp (0)=e^{0}=1 \\
& \exp (-x)=e^{-x}=\left(e^{x}\right)^{-1}=(\exp (x))^{-1}
\end{aligned}$

Thus the group operations are preserved by exp.

In particular, the identify of $(\mathbb{R},+)$ goes to the identify of $(\mathbb{R}>0, x)$.

Also, each inverse element of $x$ in $(\mathbb{R}, +)$ goes to the identify element of $\exp (x)$ in $\left(\mathbb{R}_{>0}, X\right)$.

More, $f$ is $1-1$ and onto.

Hence $(\mathbb{R}, +) \stackrel{\text { exp }}{=}\left(\mathbb{R}_{>0,}, X\right)$. (as groups).

Definition. Given $(G, *),(H, 0)$ groups,

we call $f: G \rightarrow H$ is a group-homomorphism if $\forall g_{1}, g_{2} \in G, f\left(g_{1} * g_{2}\right)=f\left(g_{1}\right) \circ f\left(g_{2}\right)$

 

Given a group monomorphism $f: G \longrightarrow H$,

$f$ is called a group monomorphism if $f$ is $1-1$.

$f$ is called a group epimorphism if $f$ is onto.

$f$ is called a group isomorphism if $f$ is 1-1 onto.

 

If $f: G \longrightarrow H$ is a group isomorphism, write $G \stackrel{f}{\cong} H$. We say G Is isomorphic to $H$.

In other words, $G$ and $H$ have the same group structure.


Definition. Given $\left(R_{1}, +_{1}, X_{1}\right),\left(R_{2}, +_{2}, X_{2}\right)$ rings, 

$f: R_{1} \longrightarrow R_{2}$ is a ring-homomorphism

$$
\begin{aligned}
& \text { if } \forall r_{1} r_{2} \in R_{1}, f\left(r_{1}+r_{2}\right)=f\left(r_{1}\right) +_{2} f\left(r_{3}\right) \\
& f\left(r_1 \times r_2\right)=f\left(r_{1}\right)\times _{2} f\left(r_{2}\right).
\end{aligned}
$$

Definition. Given a ring $R$, and $R$-Modules

$\left(M_{1}, +_{1}, \cdot\right),\left(M_{2}, +_{2}, \cdot_{2}\right) \text {, }$

$f_{:} M_{1} \longrightarrow M_{2}$ is a module-homomorphism
if $\forall m_{1}, m_{2} \in M_{1}, f\left(m_{1}+m_{2}\right)=f\left(m_{1}\right)+f\left(m_{2}\right)$ 
and $\forall r \in R, \forall m \in M, f(r . m)=r . f(m)$

Remark. Given a Module homomorphism $f: M_{1} \longrightarrow M_{2}$

$\begin{aligned}
f\left(r_{1} m_{1}+r_{2} m_{2}\right) & =f\left(r_{1} m_{1}\right)+f\left(r_{2} m_{2}\right) \\
& =r_{1} f\left(m_{1}\right)+r_{2} f\left(m_{2}\right)
\end{aligned}
$

$\therefore$ (called linearity 

Definition. $\mathbb F$ field, $V. Ss  \  V.W/F$

We say $\Phi: V \longrightarrow W$ is a linear transformation

if $\Phi$ is a module-homomorphism.

$e^{-x}=\left(e^{x}\right)^{-1} \text {. }$

Proposition. Given $f:(G, *) \longrightarrow(H, 0)$ a gp homo. 

(1) $f\left(e_{G}\right)=e_{H}$.

(2) $\forall g \in G, f(g-1)=(f(g))^{-1}$

(3) $f^{-1}\left(\left\{e_{H}\right\}\right)$

$=\left\{g \in G \mid f(g)=e_{H}\right\} \leq G$.

$=$ : Kerf the kernel of $f$

(4) Kerf $=\left\{e_{G}\right\}$ if and only if $f$ is $1-1$ 

(5) $\operatorname{Im} f \Rightarrow f(g) \mid g \in G\} \leq H$

Proof. Exercise!

Remark. $\Phi: V \longrightarrow W: \operatorname{lin} \cdot \mathrm{+r} / \mathbb{F}$.

Then $\operatorname{ker} \Phi=\{u \in V \mid \Phi(u)=0\} \leq V$.

$\operatorname{Im} \Phi \leq W$.

Recall that from Zorn's lemma, every $V.S$ has a basis.

Call dim Ker $\Phi=$ the nullity of $\Phi$.

         $\operatorname{dim} \operatorname{Im} \Phi=$ the rank of $\Phi$.

Later, nullify $+\operatorname{rank}=\operatorname{dim} V$.

(rank-nullity theorem).